二 内积空间PPT课件

第二章内积空间在向量要素在多个区域取值时，扩展到欧几里得空间。 许多欧几里得空间的定义和性质几乎“平滑”地扩展到酉空间。 欧几里得空间和酉空间统称为内积空间。 的双曲馀弦值。 一般来说，已知现实世界是三维欧几里得空间。 在对维度线性空间定义内积后，向量不仅具有长度(模型)，而且具有两个向量之间的角度等几何性质。 特别是有正交概念，我们可以获得许多美丽的结果，如标准正交基、勾股定理、正交投影。 1、欧几里得空间的基本概念，向量空间中向量的长度和角度是由内积定义的，所以在线性空间中导入相关概念，必须推进内积的概念。 因为向量的内积与向量的线性运算无关，所以欧几里得空间实际上是定义特殊的线性空间，即内积的线性空间。 另一方面，内积空间当然可以在任何线性空间中传播该定义，但由于该定义与向量空间的基础有关，所以我们目前不打算这样做。 而是，注意到内积是从两个向量得到的一个数，当然想要决定这种运算的性质，给出线性空间中的内积的公理化定义。 请注意，中的内积明显具有以下性质：并且只有当时等号成立。 的双曲馀弦值。 定义1是实数域上的线性空间。 如果对中的任意两个向量存在所谓和的内积，则满足以下四个条件。 定义内积的线性空间称为实内积空间，称为欧几里得空间。 因此，可以给出线性空间中内积的公理化定义。 例2定义标准内积的是欧几里得空间。 在此，任意的2个向量以及标准内积，将例3中定义的标准内积的集合称为希尔伯特空间，在此，通过将所有平方和收敛的实数列的集合、即向量展开为无限维，在例4中，在向量空间中，对于任意和实际对称矩阵，可以使用实双线性型(bili 特别是二次型。当时是以前的基准内积。 如果关注标准内积是特殊的二次型，函数也可以看作向量，所以内积也可以推广到函数中。 首先考虑折线函数，其内积如果把一般函数看作具有无限段折线的向量，那么此时的内积定义会变成什么样的形式，无限合计是积分！ 证明：例子5的线性空间由以下内积构成欧几里得空间：由于函数的连续性存在邻域，此时，可满足其中任意点的函数值，并发生矛盾。 其他性质明显可以证明。 的双曲馀弦值。 例6在矩阵空间中，对于任意的定义，同样地，如果把矩阵看作从行向量开始依次连接的超向量，根据先前的解析，欧几里得空间中内积也可以得到具有以下性质的内积定义。 此外，在三维空间中，欧几里得空间中的向量的范数(norm )被称为定义7，特别地，被称为单位向量。 此外，任何非零向量可以在归一化或单位化后获得单位向量，二，欧几里得空间的尺度是知道如果在平面几何上馀弦定理成立，则在n维空间上馀弦定理是否成立的证明：任选，显然，在那时取两个向量的线性相关，方程式成立定理8 (柯西华尔兹不等式)是数域上的任意向量，因为该一次二次不等式对于任何常数都成立，所以与高等数学相似，根据柯西华尔兹不等式，被称为与欧几里得空间中的向量的角度。 特别是当时被称为正交或垂直。 所以，馀弦定理成立！ 定理9只要是区域上的欧几里得空间，对于中的任意向量，具有以下三个性质(非负、正态、三角不等式)，而且，欧几里得空间中的范数明显具有以下性质。 只有当时等号成立了。定理10对于区域上的任意向量(如果是欧几里得空间) :范数(norm )具有以下平行四边形的法则、极化常数公式和匹配定理： (3)特别是正交时，最后给出欧几里得空间内积的坐标表示。 中设定的任意组基底，矢量的这个基底下的坐标分别为内积，最后给出欧几里得空间的内积的坐标表示。 定义11欧几里得空间的一个向量群的测度矩阵和Gram矩阵指矩阵，可以证明Gram矩阵是对称正则矩阵。 例12欧几里得空间的内积，用(2)矩阵法计算以下函数的内积： (1)求出自然基的测度矩阵。 解：因为测度矩阵是对称矩阵，所以求出的是(2)和自然基底下的坐标，内积是拓扑空间、线性空间、Hausdorff空间、范数空间、距离空间(测度空间)、拓扑线性空间、完全距离线性空间、距离线性空间、内积空间、Hilbert空间、Banach 欧几里得空间、各种空间的层次关系2 .标准正交基、正交性的重要性怎么强调都不为过，特别是在数值线性代数和微分方程的数值解中，很多重要的算法与正交性密切相关。 这两门学科是工程科学中应用最广泛的数学分支之一。 在欧几里得空间中导入标准正交基时，欧几里得空间内向量的内积运算被变换为我们熟知的向量空间内向量的内积运算。 为了说明此时的内积是标准内积，使用坐标计算内积的公式有最简单的形式。 欧几里得空间中，希望欧几里德空间的测量矩阵也能适当地选择基，使其成为单位矩阵(或尽可能简单)。 一、在标准正交基下，一旦选择了自然基，测量矩阵就将定义一组欧几里得空间的基称为正交基。 如果正交基础的每个基础向量都是单位向量，则该基础称为标准正交基础。 从规范正交基的定义来看，欧几里得空间的一个标准正交基有三个要件： (1)与向量个数等于维的线性无关的向量组(2)是两个正交向量组，即正交向量组，(3)是各向量为单位向量的单位如何求出欧几里得空间的标准正交基？ 定理3欧几里得空间向量群的线性无关的充分条件是矩阵非奇异(可逆)，证明：必要性。 如果线性没有关系，它们也是基本的组。 如果奇怪的话，假设有非零的解，所以就会产生矛盾。 首先，如何判断向量组是否线性无关呢？ 证明：充分性。 如果线性有关，否则，这不是奇怪的矛盾，所以线性无关。 那么，向量组的正交性和线性有什么关系呢？定理4向量组是欧几里得空间的非零正交向量组，一定不是线性的。 证明：有，方程两侧与内积，以及，关注和证明。 根据定理4，在正规正交基中残留有两个要件： (1)是与向量个数维数相等的正交向量组，(2)是各向量为单位向量的单位向量组。 因为我们意识到定理4的逆命题不成立，所以自然地，在没有线性关系的组“踏破山万水，成为基础后，如何成为“更上一层”，成为规范正交基的规范正交基的两个条件下，正交性显然不容易达成。 首先请关注从已知的基得到正交基的方法，把内积作为定义的线性空间(即欧几里得空间)的一个基，作为我们求出的正交基吗？ 当然，我们怎么才能得到呢？ 联想、正交分解，且考虑立即投影后的残差向量，如果设定成立，则认为利用正交性得到的经验计算，其满足。 这为了注意正交性(或称要求)，表示优选继续考虑投影在上面的残差向量。 得到了解、因而可命令、到目前为止在矩阵计算中有基础作用的克施密特正交化方法。经验计算，它满意，定理5是定义内积线性空间(即欧几里得空间)的一个基础，公式建立的是正交基。 另外，对明显正交化获得的正交基进行再单元化而获得的标准正交基在向量空间上使用矩阵语言，上述正交化过程在这里是单位上三角矩阵。 在单位化后，因此，其中有上三角矩阵。 如果设定QR分解、定理6(QR分解)矩阵列全秩，则存在单位正交列矩阵(各列都是单位列向量，并且两正交)和上三角可逆矩阵，并与线性无关。 所以施密特正交化过程中存在单位正交列向量群，矩阵列满秩，所以列用矩阵表示，即，二、标准正交基的一些性质证明为什么总是取标准正交基的理由很简单！ 定理7是定义内积的线性空间(即欧几里得空间)的一组标准正交基，对于任意向量，有效的向量的坐标分量是该向量和该基向量的内积，定理8是定义内积的线性空间(即欧几里得空间)的一系列标准正交基，对于任意两个向量也就是说向量的内积是(标准正交基底下)坐标的内积。 已知在向量空间中，将标准正交基设定为列向量的矩阵是正交矩阵。 在线性空间中，基底不一定能构成矩阵，但两组基底之间的迁移矩阵是可逆矩阵。 在欧几里得空间中，标准正交基未必能组成矩阵，但是标准正交基之间的迁移矩阵必比可逆矩阵特殊。 如果定理9和欧几里得空间的两组标准正交基，则两组基之间的迁移矩阵是正交矩阵。 显然，矩阵的各列是标准正交基底下的坐标，所以两组标准正交基底之间的迁移矩阵作为定理9的证明。 明显地，矩阵的每列是标准正交基底上的坐标，这表明矩阵是正交矩阵，如从定理7中可以看出的。 因此，也是标准正交基，所以根据定理9，标准正交基通过正交矩阵迁移的向量组也一定认为是标准正交基。 由于定理10正交矩阵是从欧几里得空间的标准正交基到向量组的迁移矩阵，所以向量组也是标准正交基。 例如11欧几里得空间的内积是：的一组标准正交基，中的线性变换，所求出的子空间，其下的矩阵表示为对角矩阵。 解：首先意识到自然基没有标记(理由是？ 接下来，很遗憾，应将所确定的正交基标准化为通过线性变换的矩阵表示不是对角矩阵，而不是所确定的标准正交基！ 然而，我们可从起点通过正交矩阵转移到需求的标准正交基。 线性代数知识表明，实对称矩阵可以正交对角化，然后结合线性变换来查找对应的实对称矩阵。 因此，可以对实对称矩阵进行正交对角化，得到正交矩阵。 这里是实对称矩阵！ 这样，将定理10、指令、即需求的标准正交基设为求的正交基的组。 显然，例12欧氏空间的带权内积应该应用正交化过程从：自然基中得到正交基。 解：对所有多项式的系数进行了整数化，切比雪夫多项式：3，正交投影及其应用，正交性的应用主要通过正交投影实现。 微分方程数值解中的有限元法等频谱法及其大量应用，或者优化理论(主要是极值问题)及其控制、通信、雷达、时间序列分析、信号处理等多学科的应用与正交投影密切相关。 横看岭侧是峰，一句话，这是了解现实世界的想法。 另一方面，正交互补和投影定理，定义1是区域上的欧几里得空间的两个子空间。 向量。 如果两者都存在，则记为与子空间正交。 在两种情况下，都称为子空间和正交。注意：构成与中的所有子空间正交的向量的集合的子空间被称为正交补充，即描述是否存在欧几里得空间的正交补充的定理2假设为数域上的欧几里得空间的子空间，只有存在的正交补充能够进行正交分解，因此正交分解是特殊的正交和分解。 证明：存在性。 假设是一组标准正交基，与任意、指令和的所有向量正交。 理由。 因此，证明：唯一性。 假设一切都是正交互补的，任意的，有的，因此。 说同样的话。 因此，定义3为区域上的欧几里得空间的子空间。 向量。 只要有，就被称为上述正交投影(OrthogonalProjection )，定理4 (投影定理)若设为区域上的欧几里得空间的子空间，则在任意方向上存在唯一的正交投影。 二、正交投影的应用，定义5是区域上欧几里得空间的子空间。 子空间上对给定向量的最佳逼近是指将定理6 (最佳逼近定理)作为数域上的欧几里德空间的子空间，给定的上述最佳逼近的充分条件是上述正交投影。 证明：至少有一个向量，所以需要。 上面的最佳近似，如果不正交，就是命令，并且，所以。 因此，这不是上面的最佳做法。 发生矛盾。 证明：充分性。 然后，对于任意的，基于匹配定理，有，所以设为上述的最佳近似。 例7 (不兼容的线性方程式的最小平方解)对于不兼容的线性方程式，该方程式没有正确的解，所以我们必须设法在某种意义上找到最佳近似解。 的双曲馀弦值。 如果有近似解，则称为方程的最小二乘法。 这个方法被称为最小二乘法。 很明显，用于获得不兼容方程的最小二乘解的问题是通过找到下一个向量，从而距向量的距离比到子空间中的另一个向量的距离短，这是向量上的最佳近似。 根据最佳近似定理，满足最小二乘解，得到命令，即法方程式，从高等数学的分析学的角度来看，多变量函数的最小值满足条件，即写入矩阵形式，是法方程式还是正规方程式， 用代数多项式曲线拟合下一个数据：发现这个数据的变化趋势接近抛物线，如果求代数多项式，把这个数据代入线性方程，求法方程，%ex201.mx=1345678910； y=1054211234； p=polyfit(x，y，2) %polyfit计算适合x，y的多项式，将多项式的系数从次数高的到低的保存在向量p中，参数值2是多项式的次数plot(x，y，b，x，polyval(p，x )， -r)%polyal根据x的值返回拟合多项式p的y的值，首先考虑泰勒展开式，绝对误差，另一种想法是从自然基应用正交化过程得到标准正交基，可以得到正交多项式近似，取的话，绝对误差是例9 (傅立叶级数的应用) 由于是例10 (矩阵的值域与零空间的关系)，次数线性方程式明显等价，所以求出方程式的解向量是求出所有与向量组正交的向量。 换句话说，是求出联立方程式的解空间的正交补充空间。 定理11对可选，且一般矩阵的值域和零空间具有以下关系：证明：所以，由于同样可以证明的4，正交变换，正交的重要性，相应的正交变换很重要。 Householder变换(即反射变换)和Givens变换(即旋转变换)是最重要的正交变换，它们的作用主要是利用数值算法构建正交基础。 第一章指出，二维平面的图形只是经过旋转变换和反射变换位置变化，形状和大小不变，所有的长度和角度都不变。 前面也指出，矢量的长度和角度可以通过内积来计算。 因此，变换前后的内积不变，即两向量像的内积与原图像的内积相等。由于二维平面是特殊的欧几里得空间，所以该想法当然也扩展到一般的欧几里得空间中。 定义1欧