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第三节可测函数的构造,第四章可测函数,1,可测函数,简单函数是可测函数。可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。,问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？,可测集E上的连续函数为可测函数。,2,鲁津定理,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）。,设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数.,（2）任一点点收敛的可测函数列差不多就是一致收敛列。,（3）任一可测函数差不多就是连续函数。,3,引理：,4,5,证明：由于mE|f|=+=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，,当xEi时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续，显然F为闭集，且有,设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)且f(x)在F上连续。,鲁津定理（Lusin）,6,(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列n(x)在E上一致收敛于f(x)，,由n(x)在F连续及一致收敛于f(x)，易知f(x)在闭集F上连续。,利用(1)的结果知,7,则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得：,(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换,g(x)为E上几乎处处有限可测函数,则使得m(E-F)且g(x)在F上连续。,故，f(x)在F上为连续函数。,8,注1：鲁津定理另外一种形式：,若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)，且supg(x)|xR=supf(x)|xF；infg(x)|xR=inff(x)|xF；（对n维空间也成立）【分】由鲁津定理：,则及R上的连续函数g(x),则且f(x)在F上连续。下面只需将f(x)延拓为R上的连续函数g(x)即可。,若f(x)为上几乎处处有限可测，,9,由于FC为R上的开集，根据R上开集构造，FC可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并：。,bi,ai,则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p91）,10,注2：鲁津定理的逆定理成立。,设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若使得m(E-F)且f(x)在F上连续，则f(x)在E上为可测函数。,11,例1对ER1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在R上的连续函数列使于E。,从而,令，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定
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