顾沛）初中数学中关于合情推理与逻辑推理的教学（下).ppt

初中数学中的合理推理和逻辑推理教学(下)。南开大学顾培，课程标准案例62探究与理解：圆外一点画的圆的两条切线的出现说明通过探究与理解这一结论的证明，学生可以体验到从发现结论到验证结论的过程。在教学中可以参考以下过程：(1)找到结论。在透明纸上画出如图19-1所示的图形：让pa，PB为0的两条切线，a，b为切点。让学生操作：沿着直线OP将图形对折，激发学生思考或组织学生交流。学生可以找到：PA=PB。这是通过示例发现图形属性的过程。通过从特殊到一般的合理推理，启发学生推断切线长度定理的结论。例4:切线长度定理，2，2)证明结论的正确性。如图19-2所示，连接OA和OB。因为PA和PB与O相切，那么 pao= PBO=90，即POA和POB是直角三角形。因为OA=OB，OP=OP，那么POA和POB是全等的。因此，有PA=PB。这是通过演绎推理证明图形属性的过程。由此，我们可以看出似是而非的推理和演绎推理是两种互补的推理形式，两者都是研究图形本质的有效工具。上述证明过程不采用形式三段论，但有助于初学者掌握证明和推理的逻辑。3，我们也看到：几何直觉在合理推理和逻辑推理之间起着“桥梁”作用。几何解可视为合理的推理。几何解的结论在个解中“有唯一解，无解，无限解”是符合逻辑推理的。然而，几何解并不像“唯一解”结论中的逻辑推理那样准确。因为它是通过交点的坐标被“看见”的。例5:一阶方程二元系统的几何解例6:观察以下类型：a b=1，a2 b2=3，a3 b3=4，a4b4=7，a5b5=11，a10 b10=A.28B.76C.123D.199，示例6:朱瑞年的3页PPT，ab=1，a2 b2=3，a3 b3=4=1 3，a4 b4=7=3 4，a5 b5=11=4 7，a6 b6=7 11=18，a7 b7=11 18=29，a8 b8=29 18=47，a9 b9=47 29=76，a10 b10=76，引用“标准(2011版):标准（2011年版）”的表述，采用“探索与证明”的句型.“定理”在表述具体的课程内容时，从而更好地体现了合理推理和演绎推理的互补、功能互补和有机结合。例如，对圆周角的研究从特殊情况开始，进行合理的推理，对各种情况进行分类，并严格进行逻辑推理。例7:杨的4页PPT，观察和思考观察图中的BA1C、BA2C和BA3C。他们的共同特点是什么？(分析、比较、总结它们的共同特点，揭示周向角的定义)，案例周向角定理的教学设计，A2，A3，A1，o，图2，OBOC.你画BC弧的圆周角度是多少度？试着解释原因。在图3中，BOC=60，你画的BC弧的圆周角度是多少度？为什么？A2，A1，O，A3，图2，A2，A1，O，A3，图3，运算和探索，因此，你发现了什么？发现有数不清的圆周角，只有一个中心角与同一圆弧相反。他们有不同的位置关系。假设与同一圆弧相对的圆周角度等于中心角度的一半。A，O，B，C，B，C，A，O，B，C，A，为了证明这个猜想，我们首先研究圆心在圆心角的内侧(或外侧)和圆心角有特殊位置关系(圆心在圆心角的一侧)的情况(如图所示)。(图径AD，转换到特殊情况)(特殊和一般从特殊情况转换)，A，O，B，C，O，B，C，A，O，B，C，A，D，D，我们再看：几何直觉在合理推理和逻辑推理之间起着“桥梁”的作用，期末考试题，检验对函数基本性质的深刻理解首先用几何直觉，运用合理推理，探索问题解决的途径，运用逻辑推理，严格的问题解决体现：数学是运用粗糙图形进行精确推理的艺术。例8:刘金英老师的6页PPT探索了用几何直觉解决问题的途径。方法1、2、抽象准确性的广泛应用。数学是使用粗糙的图形进行精确推理的艺术。一个层层深入的“切割匹配问题”合理推理和逻辑推理相辅相成，先“思考”后“做”。观念比实践更重要，同时也体现了“转变”的理念。例如，9:教师雷小丽的18页PPT探究了一个与特殊四边形相关的切割和拼写问题。为了创造情境和引导探究，班级应该使用三角形的纸片，切割和拼写不同的特殊四边形，然后排列墙壁海报。请帮忙做这件事。将三角形纸片切割并拼成特殊的四边形。学生的活动和老师的指导往往不是通过动手操作和盲目触摸，而是首先通过“思考”和“做”来解决这些问题。只有“思考”好之后，“做”才能切拼出平行四边形如何？在切割和拼接的过程中，什么改变了，什么没有改变？握杆面积不变握杆面积不变切割成矩形握杆面积不变我们能从现有的结果中得到一个切割和拼写的方法吗？剪切和拼写成矩形，使用现有的结果，剪切和拼写成矩形，让矩形的运动改变，你能得到什么？剪切和拼写平行四边形，剪切和拼写梯形，使用现有的结果，剪切和拼写梯形，使用现有的结果，讨论如何：特殊三角形可以剪切和拼写菱形。划分图形(菱形)，进行逻辑思考，讨论如何将：个特殊三角形切割成正方形。逻辑思维讨论如何将：个特殊的三角形切割成正方形。逻辑思维，或等腰直角三角形(划分一个图形(正方形)，扩展：一个四边形能被切割成一个特殊的四边形吗？延伸问题、深入探究、转变思想、将三角形切割成矩形、将矩形切割成正方形、将任何三角形切割成正方形(难以操作)、延伸问题、深入探究、利用现有结果、划分图形、关联和转换、总结和促进理解。例如，在圆的教学中，结合圆的轴对称性，我们可以发现垂直直径定理及其推论。利用圆的旋转对称性来发现圆中圆弧、弦和中心角之间的关系。用实验操作找出点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；等等。学生通过观察、运算、变换等合理的推理探索图形的本质后，还需要证明所发现的本质，从而将直观运算和逻辑推理有机地结合起来，使推理和论证成为学生通过观察、实验和探索得出的结论的自然延续。这样，学生用合理的推理来补充逻辑推理的能力得以发展。例10:圆的教学，回顾“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”的研究过程。老师问：你认为我们怎样才能研究圆和圆的关系？这是启发学生学习“类比”的合理推理。(4)合理推理的另一个类比在方法和程序方面，例1:圆和圆的位置关系，回顾了关于“单变量方程”的讨论和研究过程。老师问：你认为我们怎样才能学习二次方程？这是启发学生学习“类比”的合理推理。示例2:讨论例3:分数运算的讨论，正比例函数初等函数次级函数反比例函数的概念、研究内容和研究方法(见“从函数图像看”和“证明”)，例4:函数研究，具体说明如下：例：类比研究问题函数研究正比例函数初等函数次级函数反比例函数概念反映概念教学的一般过程研究内容：函数图像， 函数性质的研究方法增加和减少：绘制函数图像，观察和归纳对函数性质的讨论三步观察图像，结合图表描述变化规律(上升和下降)，用自然语言描述变化规律，用数学语言描述变化规律回到解析公式(希腊，1955)。 为了与外星人接触，宇宙飞船带来了地球上人类的代表性物体，例如5:毕达哥拉斯定理作为“宇宙语言”，45、合理的推理常常能为我们提供证明的想法和方向。关于三角形中位线性质定理的讨论就是一个很好的例子。(5)另一种合理推理提供了证明思路和方向的合理推理，例如，三角形1:中位线的性质定理。以下四页是对这一点的具体说明：背景：教师指导学生做实验：做一个基本知识，如图所示，取基本知识和基本知识的中间点D和E，连接基本知识，测量基本知识和基本知识的度数，并测量线段的长度。然后提出三个问题。案例5三角形中位线的性质定理(自学)，问题1:请猜一下三角形的位置和数量关系。问题2:用几何画板演示并拖动点A，请观察点DE和点BC的位置和数量关系是否发生了变化？问题3:aDE和四边形BCED可以沿着DE切割成一个平行四边形吗？为什么？例5，三角形中位线的性质定理，通过问题1，可以引导学生在动手实验的基础上体验位置与量的关系，并可以提出猜想：DE/BC，de=0.5bc。通过问题2，学生可以进一步体验猜想的正确性，从而产生严格证明的冲动。通过问题3，学生被启发去探索和发现证明的想法，并体验成功的喜悦。案例5分析1。上述问题的设计不仅能让学生通过动手实验和观察获得直观体验，还能有效激发学生的求知欲，从而展开大胆的猜想，积极探索知识的本质。通过猜想的证明，学生的猜想和推理能力可以在经验的基础上得到提高。案例5，分析2，以下是对此的另一个具体解释：几何定理证明：图中所示的中间位线定理利用轴对称、旋转、切割和填充成为矩形或平行四边形来查看那些结果，这就鼓励查看更多的，查看中间位线定理写出的过程，从而使书写过程合理、清晰、易懂。 为了使学生能够学习如何在数学结果，例如51中找到并证明中间位线定理，我们再次看到：几何直觉在合理推理和逻辑推理之间起着“桥梁”作用。 例2一些教师开发了“章节标题图”来指导学习探索课”,这也反映了合理推理和逻辑推理在思维和方向上的互补性。“章头图”包含了合理的推理，这就要求教师挖掘出，尤其是其中所包含的学生的“最近发展区”,来引导学生发现问题。以下是老师讲课中这个解释的PPT。(5)另一种合理推理提供了证明思路和方向的合理推理。第一课，“章头图”在每章开始时指导探究课的学习，它是每章开始时对整章和整个方法的指导。它是指导学生学好整章的基础，突出学习方法的训练，重视学习信心和好奇心的培养，是指导学生自主学习的重要课型添加“章节标题图表”？一种方便一线教师学习的教学模式：课型。儿童前后的尝试和探索包含建立数学模型的合理推理，然后进入逻辑推理。例3:张思明先生提到的配油问题具体解释如下三页。石油分配问题是一个古老的难题。其中一个问题是，桶中有10公斤油，而且有两瓶目前的大小，大瓶可以装7公斤油，小瓶可以装3公斤油。没有其他测量工具，如何将10公斤油分成两个5公斤油？在“前后”似是而非的推理和逻辑推理中，只有6种状态转换。关键是导致大瓶子里的“真2”或小瓶子里的“空2”。例如，数学建模解决油分配问题的状态转移，显示的区域是低于允许状态的分配区域的区域。我们在允许的范围内改变注油的操作和“状态”。相应的描述如下：(1)桶将：千克油(x，y) - (x，k，y)倒入大瓶中，相当于水平右移k格，k7。(2)大瓶子向桶内倒入：公斤油(x，y) - (x-k，y)，相当于水平向左移动k个方块，k7。(3)桶将：千克油(x，y) - (x，y k)倒入小瓶，这相当于垂直向上移动k网格，k3。(4)小瓶将：千克油(x，y) - (x，y-k)倒入桶中，这相当于垂直向下移动k格，k3。(5)将Kkg油： (x，y) - (x-k，yk)倒入小瓶相当于在135度方向上向左和向上移动K行，k3。(6)小瓶将3360公斤油(x，y) - (x k，y-k)倒入大瓶中，这相当于在-45度的方向上向右和向下移动k行，k3，状态转换操作的描述，使用状态转换方法来解决油分布问题，用于铺地的地砖不仅可以是正方形的，而且可以是正六边形的，因此可以使用正三角形地砖或正五边形地砖来铺地而没有间隙和重叠？有合理推理和逻辑推理。通过逻辑推理可以证明，只有三种情况下同名的正多边形紧密排列。(6)结合学生生活，开展合理推理与逻辑推理互补的教学。例1:紧密铺地砖的问题。只有三种情况下，相同名称的正多边形覆盖平面(即铺设正多边形地砖):6个正三角形、4个正方形或3个正六边形可以紧密地围绕平面上的一个点放置，如图所示：60、哪种水果是新年派对最受欢迎的准备水果？首先，学生应该调查全班喜欢什么样的水果，然后将调查结果整理成数据并进行比较，然后根据处理后的数据做出决定，确定应该准备什么水果。这个过程是合理的推理，结果只有好坏之分，好的结果才能让绝大多数学生满意。(2)在晚会上购买水果的问题，以及(3)平均数量的情况下，“排名”应该提前设定。不同的标准可能导致不同的排序结果。但是，“对”与“错”没有区别，只有“标准”与“好”与“坏”的区别，因而反映的客