层次分析法及matlab程序

层次分析法建模层次分析法层次分析法多目标决策方法20世纪70年代，美国物流科学家特拉萨特提出了一种结合定性和定量分析的多目标决策分析方法。吸收和利用行为科学的特征就是量化决策者的经验和判断。在目标(因素)结构复杂且缺乏必要数据的情况下，该方法更为实用。它是系统科学中常见的系统分析方法，因此成为系统分析的数学工具之一。研究自然科学和社会科学的传统和常用方法包括：机理分析方法：利用经典数学工具分析观察到的因果关系；统计分析方法：利用大量的观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述现象规律(自然现象、社会现象)。基本内容：(1)多目标决策问题的层次分析法建模方法(2)层次分析法建模方法的基本步骤(3)层次分析法建模方法的基本算法(3)层次分析法建模方法理论算法应用中的一些问题。参考书：1。蒋启元，数学模型(第2版，第9章；第三版，第8章)，高等教育出版社2.程立民等，运筹学模型与方法教程(第10章)，清华大学出版社3.运筹学写作组，运筹学(修订本)，第11章，第7节，清华大学出版社一、问题示例：A.大学毕业生的就业选择对于获得大学学位的毕业生，雇主和毕业生都有自己的选择标准和要求。对于毕业生来说，选择一个单位有许多标准和要求，例如：(1)能发挥自己的才能为国家做出更好的贡献(即适合发挥专长的工作)；(2)良好的工作收入(良好的待遇)；(3)良好的生活环境(大城市、气候和其他工作条件等)；(4)单位信誉良好。良好的工作环境(和谐的人际关系等)。)有许多推广、推广的机会(如新单位或有发展潜力的单位)等。问：现在有许多雇主可供选择，所以他面临许多选择和决定。问题是他将如何做出决定和选择？或他将使用什么方法对可供选择的工作单元进行排序？工作选择生存环境作业环境名声收入发展贡献替代装置p1 p2-pnB.度假目的地的选择暑假期间有三个旅游胜地可供选择。例如：苏州、杭州、北戴河、桂林，哪里是旅游的最佳地点？做出决定和选择。为此，三个旅游目的地的特点，如：风景；(2)费用；(3)住所；(4)环境；(5)对旅行条件等进行一些比较。，建立决策准则，最后进行综合评价，确定一个可选的最优方案。选择旅游目的地靶层活着旅行风景费用规定饮食标准层第一亲代P2P3方案层C.资源开发的综合判断有七种金属可供开发，通过两种或两种金属的比较，可以得出它们开发后对国家的贡献，从而决定哪种资源应该先开发，哪种资源最有利用价值。对经济发展的贡献经济价值战略重要性交通状况所需数量风险费采矿费Gingo铝乌尔磷酸盐铁在铜业公司二、问题分析：例如，旅游目的地的选择：一般来说，这个决策问题可以按照以下步骤进行：(S1)将决策解决方案分解为三个级别，即：目标级别：(选择旅游目的地)标准等级：(5个标准：风景、费用、住所、饮食、旅行等。)计划层：(是，三个选定地点)用直线连接各个层次。(S2)比较每个标准与目标的权重以及每个方案与每个标准的权重。这些权威在人们的思维过程中往往是定性的。例如，经济状况好、身体健康的人会把好风景作为他们的首选。中老年人：他们会把生活和饮食作为第一选择；经济不景气的人：低成本将是首选。层次分析法应该给出一个定量的分析方法来确定权重。(S3)在方案和t之后合成标准层的权重(S4)最后，获得方案层对目标层的权重，以便做出决策。以上步骤和方法是层次分析法的决策分析方法。三、确定水平比较法对比较矩阵和权重向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，往往不容易被他人接受，因此Santy等人提出了一致性矩阵法。那就是：1。不要把所有的因素放在一起比较，而是要把它们相互比较。2.此时使用相对标度，以尽可能降低比较不同属性的各种因素的难度，并提高准确度。因子比较法配对比较法矩阵法：目的是比较某一水平的因素对较高水平的因素O的影响(例如，在选择旅游目的地的目标中，比较风景等5个标准在旅游决策解决方案中的重要性)。采用的方法是：一次取两个因素，比较它们对目标因素O的影响，用它们来表示，所有比较的结果用一对比较矩阵表示，即：(1)由于上述成对比较矩阵的特性：因此，它可以称为正互反矩阵：显然，有：例如，在旅游决策中：=表示：因此：=表示：也就是说，风景是4，住宅是1。=表示：也就是说，费用的重要性是7，居住的重要性是1。因此，存在成对的比较矩阵：？问题：稍加分析就会发现上述配对比较矩阵的问题：(1)也就是说，存在各种不一致的要素，例如：因为：所以应该有：但不在矩阵中(2)成对比较矩阵的比较次数太高，因为：元素的比较次数是：次，因此，问题是：如何转换成一对比较矩阵，使它能确定各种因素的权重，以上因子o？针对这种情况，Saoty提出了一种在配对比较不一致的情况下，计算每个因子对因子(上因子)o的权重的方法，并确定了这种不一致的允许误差范围。为此，首先考虑比较矩阵的完全一致性，并比较该对的完全一致性第四：一致性矩阵定义：设置正倒数对比较矩阵：(4)除了满足之外：(一)积极互惠：即但也要满足：(二)一致性：即(1)然后计算一致性指数，所以它非常不一致，这时，这个值相当大。(2)如果有相当多的这样的结构，那么它们的平均值被用作随机一致性指标。(3) SATTY为不同的 11)，用100 500个样本计算上表所列的随机一致性指数作为修正值表。3.一致性测试指标一致性比率的定义。根据随机性测试指标：当时，这是因为1，2阶正互易矩阵总是一致矩阵。对于成对的比较矩阵，其一致性指数与相同顺序的随机一致性指数的比率被称为一致性比率，其简称为一致性指数。也就是一致性测试指标一致性比率的定义定义：当：当，认为主观判断矩阵的不一致程度在允许范围内，其特征向量可以作为权重向量。否则，再次成对比较主观判断矩阵，以构建新的主观判断矩阵。注：以上公式的选择具有一定的主观可靠性。六、比例尺比较比例尺解：在构造正倒易矩阵时，当比较两个可能具有不同性质的因素及其对上因子o的影响时，哪个相对尺度更好，即元素的值是(1 9)或(1 1)或更多的数，Satty建议使用1 9作为最好的尺度，即值是1 9或它的倒易数是1 2，心理学家也建议人们区分信息等级的极限解能力是2。可以看出，序矩阵只需要做一个判断值。规模porepressure135792，4，6，8，倒计时一，因素和因素一样重要。因素比因素稍微重要一些。因素比因素更重要。因素比因素更重要。因素绝对比因素更重要。这些因素之间的比较值和这些因素的重要性是在上述两个相邻的水平之间倒数注：Satty是上述比较的标度，使用了许多标度比较层。结论是，1 9分制不仅在较简单的量表中是最好的，而且比较结果也不差于较复杂的量表。Satty使用了以下比较标准：(1) 1 3，1 5，1 6，1 11，和 ，其中(3)其中.共有27种比较尺度，对不同距离光源的亮度进行比较和判断。构造成对比较矩阵并计算权重向量。同时，将这些计算的权重向量与根据物理中的光强定律和其他物理知识获得的实际权重向量进行比较。结果还表明，1 9的比较尺度不仅简单，而且好(至少不比其他更复杂的尺度差)因此，使用1 9的标度来构造比较矩阵的元素更合适。七.组合权重向量的计算总等级的权重向量的计算层次分析法的基本思想；(1)计算下一层中每个元素相对于前一层中每个元素的权重向量定义：级别的总排名，计算同一级别到最高级别的所有元素的相对重要性的排名权重。当然，我们必须首先：为上一次的每个元素构造下一层的每个元素的对比较矩阵(2)计算配对比较矩阵的特征向量(和、根、幂)(3)从特征向量中获得最大特征根(通过和方法、根方法和幂方法)(4)利用最大特征根法和配对比较矩阵进行一致性检验，通过一致性检验。(2)在下表中按列排列下层中每个元素到上层中每个元素的权重向量：例如，假设：上层有元素，其总排序权重向量为，下层有元素，则每个元素的单个排序权重向量的列向量为，即：水平图层总是对权重进行排序(权重向量、列向量)计算最大特殊根(方法：和、根和幂)一致性检验一致性检查比率你检查过了吗？注：如果下部元素和上部元素之间没有关系，取(2)总排序权向量各分量的计算公式：(3)检查级别总体排名的一致性：从高级别到低级别，如果如果层次结构中某些元素的排序一致性指数为，对应的平均随机一致性指数为，则层次结构总排序的随机一致性比率为：当时，人们认为各等级的总体排名具有令人满意的一致性，否则，应重新调整判断矩阵的元素值。八、层次分析法的基本步骤：(S1)建立层级结构模型相关因素按照其属性从上到下分解为几个级别：同一层的各因素从属于前一层的因素，或对上层的因素有影响，同时支配下一层的因素或受下层的因素影响。顶层是目标层(通常只有一个因素)，底层是方案层或目标层/决策层，中间可能有一个或多个层，通常是标准层或索引层。当标准层中有太多元素时(如超过9个)，子标准层应进一步分解。(S2)从分层结构模型的第二层开始，构造一个配对比较矩阵，并通过使用配对比较方法和1到9的比较等级，为从属于(或影响和)前一层的每个因素的同一层的最低层，构造一个配对比较矩阵。(S3)计算(每对比较矩阵的)权重向量并执行一致性检查(1)计算最大特征根和相应的特征向量(和方法、根方法、幂方法等)对于每对比较矩阵(2)用一致性指数、随机一致性指数和一致性比进行一致性检验(3)如果通过测试(即，或)，则将上部输出权重向量归一化为(至)权重向量(即，单一排序权重向量)(4)如果不是真的，则需要将其重构为一对比较矩阵(S4)计算组合权重向量并执行组合一致性检查，即等级对照表？一致性比率(2)如果一致性检验通过，可根据组合权重向量(其中最大者的最优值)的表示结果进行决策，即：(3)如果未能通过测试，则有必要重新考虑模型或重建那些一致性比率和更大的成对比较矩阵。九.特征根的近似解(实用算法)层次分析法的基本思想是计算上层各元素对下层各元素的权重向量(即最大特征根对应的特征向量)，并将权重向量与一致性检验问题相结合。判断矩阵的最大特征根和相应矩阵向量的计算不需要追求更高的精度，因为判断矩阵本身具有相当大的误差范围。此外，优先级排序的数值也是定性概念的表达，因此从适用性的角度来看，也希望使用更简单的近似算法。常用的求特征根的近似方法有：“求和法”、“根法”和“幂法”，具体如下：1.“求和”以找到最大特征值和相应的特征向量(近似解)(S1)标准化矩阵每一列的向量以获得：(使用数据验证，即，用列的总数除每个位置的数目)(S2)逐行求和：(S3)归一化，也就是说，如果有：那么就有一个特征向量：(S4)计算对应于特征向量的最大特征根的近似值：这种方法：实际上，列向量是归一化的，平均值作为特征向量。说明：当矩阵一致时，每个列向量都是一个特征向量。当不一致不严重时，以列向量(归一化的)的平均值作为近似特征向量是合理的。2.“根方法”用于获得最大特征根特征向量的近似值：步骤与“求和”相同，除了(S2):归一化的列向量从逐行“求和”变为逐行“求积”，然后取二阶的根，即：有具体的步骤：(S1)归一化矩阵的每个列向量以获得：(S2)对于归一化列向量的每个元素：根据线“和”并打开平方根：(S3)正常化以获得：获取特征向量的近似值：(S4)计算最大特征根：作为最大特征根的近似值。注：“根方法”是将“和”中列向量的算术平均值改为几何平均值。3.寻找最大特征根的“幂法”:(S1)归一化任何维度的初始向量(S2)计算(S3)正常化，即：(S4)预先给