线性代数作业和练习题答案.ppt

1、求排列(2n)(2n-1)(n+1)12(n-1)n的逆序数。（L）2、求排列246.(2n)135(2n-1)的逆序数。（L和Z）1、解N（(2n)(2n-1)(n+1)12(n-1)n）=n+n+n+(n-1)+(n-2)+1=n2+n(n-1)/22、解N=n+(n-1)+2+1=。,3（Z）、试判断是否都是六阶行列式中的项。,下标的逆序数为N(431265)=0+1+2+2+0+1=6,因此它是是六阶行列式中的的项。,两下标排列的逆序数和为,不是六阶行列式中的的项，这一项应取正号。,不是因为有两元素取自同一列。,4、（Z和L）.已知4阶行列式D中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X，求X。5、（Z和L）.设是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则i=,j=。6、（Z和L）.要使3972i15j4成为偶排列，则i=,j=。,解:4、因为按展开定理有：3(-1)1+18-4(-1)2+12+4(-1)3+1(-10)-2(-1)4+1X=0，因此X=-45、i=5,j=4。6、i=6,j=8。,7、（Z和L）.设D为一个三阶行列式，并且D=4，现对D进行下列变换：先交换第1行和第2行，然后用2乘以行列式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为。8、（Z).设对五阶行列式（其值为m）依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。解7、交换1和2行，则D=-4，用2乘以行列式每个元素，则D=-32，再用-3乘以第2列加到第3列，行列式的值不变。8、交换1，5行得-m，再转置仍为-m，用2乘以所有元素得32m，用（-3）乘以第2列加到4列仍为-32m，用4除第2行得8m。,9、（Z和L）.计算下列行列式,10、（Z和L）.设方程，求x3的系数。,解：由行列式的定义可以看出，X3的系数为-6。,11、解等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式，即,又按定义知,13、因为-2k+4=0,所以k=2。,则2（A21+A23）=。其中A21和A23分别为元素a21和a23的代数余子式。,解、因为按第二行展开有A21+A23+0A22+0A24=60，所以2（A21+A23）=120。,15、（Z和L）.计算下面n+1阶行列式的值。其中bi0,解：因为bi0，,5、(Z).如果A为n阶方阵，求,6、解由于A=-20,因此A可逆，,7.(Z)、A为n阶可逆矩阵，则下列（）恒正确(a).(2A)T=2AT,(b).(2A)-1=2A-1,(c).(A-1)-1T=(AT)-1-1,(d).(AT)T-1=(A-1)-1T7、解：正确为a和c。因为：(a).(2A)T=2AT,(b).(2A)-1=A-1/2.(c).左边=(A-1)-1T=AT,右边=(AT)-1-1=AT(d).左边=(AT)T-1=A-1，右边=(A-1)-1T=AT,8.(Z和L）、如果A，B满足关系式（A-1-I）B=6I，其中I为三阶单位矩阵，,12、已知矩阵A和B均可逆。求分块矩阵,13、（Z和L）.设A、B均为三阶方阵，设,解:,14、(Z和L）.矩阵A的逆矩阵为,则有c=0,a=d,b任取。,18、(Z和L).设均为阶矩阵,且满足ABC=E,则下式中哪些一定成立?(1)BCA=E;(2)BAC=E;(3)ACB=E;(4)CBA=E;(5)CAB=E;,18、解由ABC=E,有(AB)C=E或A(BC)=E.根据可逆矩阵的定义,前者表明AB与C互为逆矩,则有,因此(1)与(5)必定成立。,1。（Z）、问线性方程组,.在a取什么值有无解、无穷解？并在无穷解时求出全部解。,1、解对增广矩阵(Ab)进行初等变换化为阶梯形矩阵,所以当a=1时方程组无解，当a=-2时方程组有无穷解。当a=-2时，,2、（Z）.设1=212，2=1+2，3=-1+32，证明1，2，3线性相关。,证明由原式得消除1，2，3，1=212，.(1)2=1+2，(2)3=-1+32，(3)由（2）和（3）得2+3=42，由（1）和（2）得：-1+22=32，,所以1，2，3线性相关。,3、(Z).已知向量组1=(k,2,1),2=(2,k,0),3=(1,-1,1),试求k为何值时，向量组1,2,3线性相关？线性无关？,所以当K=-2或者K=3时向量组1,2,3线性相关，K-2同时K3时线性无关。,因为k6，而且线性相关，所以k=-4。,5、(Z和L).如果向量组线性无关，证明向量组线性无关。,因为向量组,线性无关,故线性方程组只有零解。因此得证.,6、(Z和L).向量组1,2,s线性无关的充分条件是（）(a).1,2,s都不是零向量。(b).1,2,s中任意两个向量都不成比例。(c).1,2,s中任意一个向量均不能由其它s-1个向量线性表示。(d).1,2,s中任一部分组线性无关。,6、解选择c和d，注意：必要条件是结论，充分条件是前提。,所以当k=0或者k=2时1,2,3线性相关。,并把其余向量用该极大无关组线性表示。,所以极大无关组为1和2，而且3=-1+22，4=-2,无解；有唯一解；无穷多解？当有无穷解时求出其全部解，当有唯一解时不用求出其解。,所以只有当a=3时方程组无解，当a=-3时方程组有无穷解。当a=-3时，方程变为：,当a3时方程组有唯一解。,（1）、求向量组的秩；（2）、求向量组的一个极大无关组；（3）、将其余向量用这个极大无关组来线性表示。,所以（1）1，2，3，4，的秩为2，（2）向量组的一个极大无关组为1和2。（3）、3=-1+2，4=1+22，,(1)、a取何值时方程组有无穷解？（2）、在有无穷解的条件下求出方程组的全部解。,（1）、所以只有当a=1时方程组才有解，并且此时有无穷解。,（2）、同解方程为：,12、(Z和L).求下列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示。1=(1,0,1,1)T,2=(0,1,0,-1)T,3=(0,0,1,-3)T,4=(2,-1,3,0)T,所以1,2,3为极大无关组，并且4=212+3,13、(Z).求向量组的秩和一个极大无关组。,显然1,2线性无关,并且当t=3时,r(1,2,3,4)=2,1,2是极大无关组。当t3时,r(1,2,3,4)=,1,2,3是极大无关组。,证明题,1、(Z和L).已知n阶方阵A满足,试证A+2I可逆，并求(A+2I)-1。,证明:因为A2+2A=3I,A+2I可逆，并且可以看出(A+2I)-1=A/3,2、解：设k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+4)+k4(1+4)=0即：(k1+k4)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3+(k3+k4)4=0由1，2，3，4线性无关，故有：,故k1,k2,k3,k4有非零解，从而1，2，3，4线性相关。,3.(Z和L).设A是n阶方阵并且满足AAT=E，,，E为单位矩阵，证明行列式,。,移项得：,4、(Z).如果向量组1，2，,s线性无关，试证：向量组1，1+2，,1+2+s线性无关。,4、证明：令1=1,2=1+2，,s=1+2+s,取任意线性组合，k11+k22+kss=0，则有：,因为向量组1，2，s线性无关，所以得线性方程组：,所以k1=k2=ks=0,从而1，2，s线性无关。,未讲的练习题,一、填空题7、已知矩阵A和B均可逆。则分块矩阵,二、.判断题(判断下列各题，正确的在题后的括号内对打“”,错误打“”)1.A、B、C都是同阶方阵，如果BCA=E则ACB=E。（）2.设A、B均可逆，则。()3.当非齐次线性方程组AX=b有无穷多解时，则自由未知量的个数是唯一的，但自由未知量的选择不唯一。（）4.如果A2=A，则A=O或者A=E。(),1.2.3.4.,5、如果向量组1,2线性无关，而1=1+2,2=1-2。则向量组1、2也线性无关。(),解：令k11+k22=0,即(k1+k2)1+(k1k2)2=0,由1,2线性无关得：k1+k2=0,k1k2=0,因此k1=0,k2=0从而1、2线性无关。,6.方程组AX=b无解的充要条件是r(Ab)r(A)。()7.设A和B为n阶非奇异方阵，则A+B也是非奇异方阵。（）8.如果A和B为对称矩阵，则AB-BA为反对称矩阵。()9.如果()10.上三角形行列式等于零的充要条件是主对角线上有一个元素为零。(),6.7.8.9.10.,11.如果方阵A的，而且A=-9，则A的伴随矩阵为：,11.,12.如果v1,v2是方程组AX=0的解，则k1v1+k1v2也是AX=0的解，其中k1和k2为任何实数。()13、如果行列式的各行元素之和为0，则行列式的值为0。（）14、如果方阵A的伴随矩阵A*的行列式A*0，则A可逆。()15、如果有一组全