电磁场与电磁波课件之分离变量法ppt课件

3.6分离变量法,基本思想:,方式：,所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。,把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数。,代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程。,分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。,应用：,求解二维拉普拉斯方程的边界问题。,1,如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。,1.直角坐标系中的分离变量法,在直角坐标系中的展开式为,令,代入上式，得,无源区中电位满足的拉普拉斯方程为,两边再除以X(x)Y(y)，得,只与x有关,只与y有关,2,此常数写成。,式中k称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。,由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。,要使上式成立，式中每一项都必须为常数。,当k=0时，二常微分方程的解为,3,当k0时，二常微分方程的解为,双曲函数,含变量x或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。,式中A,B,C,D为待定常数。,为满足给定的边界条件，分离变量k通常取一系列特定的值kn（n=1，2，）。,4,位函数的通解为,若令代替,，可得另一形式通解,解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。,5,例横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。,解:导体槽在方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。,（导体槽内D域）,6,由于槽内电位和，则其通解形式为,代入上式，得,为使上式对在内成立，则,则,代入上式，得,7,为使上式对在内成立，则,则,代入上式，得,其中不能为零，否则，故有,得,8,为使上式对在内成立，且则,则,代入上式，得,9,为确定常数，将在区间上按展开为傅里叶级数，即,导体槽内电位函数为,10,导体槽内电位分布情况为,11,（D域内）,例一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,12,例由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。,解:设金属板沿方向为无限长，槽内空间的电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。,（矩形槽内）,13,2.圆柱坐标系中的分离变量法,电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为,令其解为,代入上式求得,上式中第二项仅为变量的函数，而第一项与无关，因此二项均应为常数，令,具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。,14,即,式中k为分离常数,15,通常变量的变化范围为，那么位函数随的变化一定是以2为周期的周期函数。因此分离常数k一定是整数，以保证函数的周期为2。即且，则通解为,圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：,16,3.球坐标系中的分离变量法,电位微分方程在球坐标系中的展开式为,令,代入上式，得,与前同理，的解应为,具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。,17,可见，上式中第一项仅为r的函数，第二项与r无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令,式中n为整数。这是尤拉方程，其通解为,将此结果代入上式，得,18,令，则上式变为,上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里mn。,当n是整数时，及为有限项多项式。因此，要求n为整数。,根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，。因此，当场存在的区域包括或时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令,19,那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性