维达定理学生版

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式时，其求根公式为：；若两根为，当0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知、是方程的两个实数根，求的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。3、已知关于的方程的两根为，且，则 。4、已知是方程的两个根，那么： ； 。5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程（1） 求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2） 若这个方程的两个实数根、满足，求的值3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。1. 下列是一元二次方程的是 （ ）A. (x-1)x=x B. x+1 C. 2x+1/x+1=0 D .x=12.下列各一元二次方程是一般形式的是 （ ）A. 6x=10+5x B. 5x-6x-10=0 C. 6x-5x-10 D. 10+5x+6x=2x+14.方程8x=x的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。5.方程(x-3)(x+3)=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。6.关于x的方程kx-k(x+2)=x(x+1)+6，当k时，这个方程是一元二次方程。7.方程(m-1)x+(m+1)x+3m+2=0，当m时，为一元一次方程；当m时，为一元二次方程。配方法1.方程x=0.16的根为 （ ）A. x=0.4 B. x=-0.4 C. x1=0.4，x=0.4 D. x1=0.4，x2=-0.42.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）A. x+2x-99=0，化为(x+1) =100B. m-7m-4=0，化为(m-7/2) =65/4C. x+8x+9=0，化为(x+4) =25D. 3x-4x-2=0，化为(x-2/3) =10/93.（2009山东）诺n(n0)是关于x的方程x+mx+2n=0的根，则m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-24.方程x-2x-7=0的两个根为 （ ）A.-122 B.122 C.221 D. 225.（2009威海）诺关于x的一元二次方程x+(k+3)x=0的一个根是-2，则另一个根是。公式法1.（2009济南）诺x1，x2是一元二次方程x-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是 （ ）A.1 B.5 C.-5 D.62.（2009潍坊）关于x的方程(a-5)x-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）A.6 B.7 C.8 D.93.（2009成都）诺关于x的一元二次方程kx-2x-1=0有两个不相等的实数根。