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1,一、无穷小的比较,二、利用等价无穷小替换求极限,三、小结思考,第七节利用等价无穷小量代换求极限,第二章极限与连续,2,一、无穷小的阶(order)的比较,无穷小量趋于零的速度有很大差异，试比,较当,以下各函数趋于零的快慢:,3,定义,记作,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,低阶的无穷小;,同阶无穷小;,等价无穷小,4,如,高阶无穷小,同阶无穷小.,因为,二阶无穷小.,k阶无穷小.,5,例1,因,故是比x高阶的无穷小,例2由于,故说当x0,分子和分母是等价无穷小.,*,6,例3,解,例4,解,7,练习,8,定理1,证,因此,设,则,因此,设,则,二、利用等价无穷小替换求极限,9,例,所以,所以,所以,所以,10,11,定理2,证,(等价无穷小替换定理),12,例5,解,等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之,比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限,代替.,给型未定式的极限运算带来方便.,13,例6,解,加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.,14,例7,解,解,错,15,*例8,解,16,练习,17,练习,解,18,1.无穷小的比较,2.等价无穷小的替换,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;,同阶(等价)无穷小;,无穷小的阶.,三、小结,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,快慢,19,思考题,任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？,解答,不能,都是无穷小,但,例如
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