3.3.1 几何概型.ppt

几何概型,古典概型:,特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.,复习,1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？,从30cm的绳子上的任意一点剪断.,基本事件:,问题情境,思考:该问题是否是古典概型?,2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?,射中靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.,这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢?怎么办呢?,基本事件:,对于问题1.记剪得”两段绳长都不小于10cm”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于在绳子任何一点处剪断的可能性相同,且中间一段的长度等于绳长的1/3.,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.,几何概型的特点:,(1)基本事件有无限多个;,(2)基本事件发生是等可能的.,在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:,思考:问题1中,在绳子正中间那点处截断的概率是多少?不在绳子正中间那点处截断的概率是多少?,疑点剖析:在几何概型中,如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。,例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.,基本应用,例2、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,解:设A=等待的时间不多于10分钟.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6,注意:在本例中,打开收音机的时刻X是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的.我们称X服从0,60上的均匀分布,X为0,60上的均匀随机数.,1、有一饮水机装有12升的水,其中含有1个细菌,用一个下面的奥运福娃纪念杯从这饮水机中取出一满杯水,求这杯水中含有这个细菌的概率.,练习,2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.,3、公共汽车站每隔分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，求乘客候车不超过分钟的概率,解:设上一班车离开时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为(a,a+5),记A=等车时间不超过分钟,则满足A的到站时刻只能为(a+2,a+5)中的任一时刻.故P(A)=3/5,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,例3、假设你家订了一份报纸,能力提升,解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分(即XY),就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以,思考题.(会面问题)甲、乙二人约定在正午12点到下午5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,解：以X,Y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是,即点M落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的.,.M(X,Y),二人会面的条件是：,012345,y,x,54321,y=x+1,y=x-1,记“两人会面”为事件A则,技巧平台对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事