3.2互斥事件习题课

第2课时互斥事件习题课,P(A+B)=P(A)+P(B),事件A1，A2，An彼此互斥,P（A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),互斥事件:不同时发生的两个或多个事件,若事件A与B互斥：,对立事件：必有一个发生的两个互斥事件,【题型示范】类型一对立事件公式的应用【典例1】(1)一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是_.,(2)学生的视力下降是十分严峻的问题,通过随机抽样调查某校1000名在校生,其中有200名学生裸眼视力在0.6以下,有450名学生祼眼视力在0.61.0,剩下的能达到1.0及以上,问:这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少?这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少?,【解题探究】1.题(1)中,事件“至少有一个为奇数”包括哪些情况?其对立事件是什么?2.题(2)中,事件“视力在0.6以下”与事件“视力在0.61.0”是什么关系?事件“视力不足1.0”与事件“视力达到1.0及以上”是什么关系?,【探究提示】1.事件“至少有一个为奇数”包括“号数是一奇一偶”与“号数是两奇”两种情况,其对立事件是“号数全是偶数”.2.事件“视力在0.6以下”与事件“视力在0.61.0”是互斥事件;事件“视力不足1.0”与事件“视力达到1.0及以上”为对立事件.,【自主解答】(1)从9张票中任取2张,有(1,2),(1,3),(1,9);(2,3),(2,4),(2,9);(3,4),(3,5),(3,9);(7,8),(7,9),(8,9),共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.所以P(C)=由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=答案:,(2)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.61.0)为互斥事件,所以事件C(视力不足1.0)的概率为P(C)=P(A)+P(B)=0.65.事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件,所以P(D)=1-P(C)=0.35.即事件D(视力达到1.0及以上)的概率为0.35.,【方法技巧】应用对立事件解题的注意点(1)找准对立事件.(2)要有应用对立事件的意识:当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果很少时,就应该利用对立事件间的关系求解,即贯彻“正难则反”的思想.,【变式训练】(2014镇江高二检测)某次知识竞赛规则如下:主办方预设3个问题,选手若能正确回答出这3个问题,即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0,1,2的概率分别是0.1,0.2,0.3,则该选手晋级下一轮的概率为_.,【解析】记“答对0个问题”为事件A,“答对1个问题”为事件B,“答对2个问题”为事件C,这3个事件彼此互斥,“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D,则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件.显然P()=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6,故P(D)=1-P()=1-0.6=0.4.故事件“晋级下一轮”的概率为0.4.答案:0.4,【补偿训练】某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率.(2)该队员最多属于两支球队的概率.,【解析】(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A,则事件A的概率为P(A)=(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B,则事件B的概率为P(B)=,类型二含有“至多”“至少”等词语的事件的概率【典例2】(1)从包含甲、乙的4名同学中任选2名参加植树节的义务劳动,则甲和乙至多有1人入选的概率为_.(2)(2014临沂高一检测)某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:射中10环或7环的概率;至多射中6环的概率.,【解题探究】1.题(1)中“甲和乙至多有1人入选”的对立事件是什么?2.题(2)中“至多射中6环”的对立事件是什么?【探究提示】1.“甲和乙至多有1人入选”的对立事件是“甲和乙都入选”.2.“至多射中6环”的对立事件是“至少射中7环”.,【自主解答】(1)设事件A为“甲和乙至多有1人入选”,则A的对立事件为“甲、乙2人同时入选”.则答案:,(2)记“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.则射中10环或7环的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.记“至多射中6环”为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”.可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件的,故P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.,【延伸探究】题(1)中,如果求“甲、乙两人至少1人入选”的概率,又该如何求解呢?【解析】“甲乙两人至少一人入选”的对立事件为“甲乙两人都未入选”,根据题意可得“甲乙两人都未入选”的概率为,所以“甲乙两人至少1人入选”的概率为,【方法技巧】1.含有“至多”“至少”等词语的事件的对立事件,2.含有“至多”“至少”等词语的复杂事件的概率的常用解法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏.(2)先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.,【变式训练】(2013南京高二检测)某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有3个这样的电子元件,求出现至少有一个接通的概率.,【解析】设电子元件接通记为1,没有接通记为0,又设A表示“3个电子元件至少有一个接通”,显然表示“3个电子元件都没有接通”,表示“3个电子元件的状态”,则=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,0,0).由8个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的,=(0,0,0),事件由1个基本事件组成,因此P()=,因为P(A)+P()=1,所以P(A)=1-P()=,【补偿训练】(2013上饶高二检测)一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球.现从口袋中每次任取一球,每次取出不放回,连续取两次.问:(1)取出的两只球都是白球的概率是多少?(2)取出的两只球至少有一个白球的概率是多少?,【解析】(1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从口袋中每次任取一球,每次取出不放回,连续取两次.其一切可能的结果组成的基本事件(第一次摸到1号,第二次摸到2号球用(1,2)表示)空间为:=(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4),共有20个基本事件,且上述20个基本事件发生的可能性相同.,记“取出的两只球都是白球”为事件A.A=(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),共有6个基本事件.故P(A)=所以取出的两只球都是白球的概率为.,(2)设“取出的两只球中至少有一个白球”为事件B,则其对立事件为“取出的两只球均为黑球”.B=(4,5),(5,4),共有2个基本事件.则所以取出的两只球中至少有一个白球的概率为.,类型三互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题【典例3】(1)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学不参加同一个兴趣小组的概率为(),(2)(2014东营高一检测)为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.,【解题探究】1.题(1)中,甲、乙两同学参加不同的兴趣小组与顺序有关吗?2.题(2)中,“4名同学中至少有3名女同学”可以分解成哪几个基本事件的和?【探究提示】1.甲、乙两同学参加不同的兴趣小组与顺序有关.2.“4名同学中至少有3名女同学”可以分解成“1名男同学3名女同学”和“4名女同学”两个基本事件的和.,【自主解答】(1)选C.记三个兴趣小组分别为1,2,3,甲参加1组记为“甲1”,则基本事件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.记事件A为“甲、乙两位同学不参加一个兴趣小组”,则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组为,其中事件有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个,因此所以,(2)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P=,当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况,而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为P=,又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P=,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为,【延伸探究】在题(2)条件下,求至少有1名男同学的概率.【解析】由例题可知,都是女同学的情况只有1中,故至少有1名男同学的概率为,【方法技巧】解决互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题的方法解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.,【变式训练】(2014苏州高一检测)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A,B,C,D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率.(2)院校A,B至少有一所被选择的概率.,【解析】由题意可知,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个的所有可能结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种.,(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E,则事件E包含4个基本事件,故概率P(E)=(2)方法一:设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则事件F包含12个基本事件,故概率P(F)=方法二:设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则其对立事件为院校A,B都没被选择,且事件包含4个基本事件,故概率,【补偿训练】设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以d表示显性基因,r表示隐性基因,则具有dd基因的人为纯显性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基因的人为混合性,纯显性和混合性的人都表露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到1个基因,假定父母都是混合性的,问:(1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?(2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?,【解析】(1)孩子的一对基因有dd,rr,rd三种可能,其概率分别为孩子有显性基因决定的特征是具有dd,rd基因,所以1个孩子有显性基因决定的特征的概率为(2)2个孩子的两对基因共有16种情况,记事件为“2个孩子都无显性基因决定的特征”,则,【规范解答】互斥、对立事件的综合应用【典例】(12分)一个不透明的袋子中装有10个红色的小球和若干个蓝色的小球.从中任意摸出5个小球,摸到红色小球的个数及其概率如表所示:求:(1)摸到1个或3个红色小球的概率.(2)至多摸到4个红色小球的概率.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:若不能先用字母设出必要的事件(即处的步骤),则在后面做题时不方便叙述,带来许多不必要的麻烦.失分点2:如果不加以说明各事件之间的对立关系(即处的步骤),而