二次三项式的最值教学案

二次三项式ax2+bx+c的最值问题此类题型是一元二次方程中的一类重要题型，它在考试题中主要以大题的形式出现。而且，二次三项式的最值问题和后面要学的二次函数的最值紧密相关。所以同学们一定要清楚它的重要性。一元二次方程：ax2+bx+c=0（a0） 二次三项式：ax2+bx+c它们两者一个是等式，一个是代数式，一元二次方程的配方是根据等式的性质，在等式两边同时乘或除以系数，而二次三项式的配方是恒等边形，利用系数分离的技巧。配方过程：一元二次方程：ax2+bx+c=0解：步：等式两边同时除以二次项系数a x2+bax+ca=0 步：凑完全平方，等式左边+一次项系数一半的平方，一次项系数一半的平方 x2+bax+（b2a）2（b2a）2+ ca=0 配完全平方： （xb2a）2b24a2+ca=0 （xb2a）2+4ac-b24a2=0 （xb2a）2=b2-4ac4a2二次三项式：ax2+bx+c解：步：分离二次项系数，加括号，常数不变 =a（x2+bax）+c 步：配完全平方（和方程的配方一样） =ax2+bax+（b2a）2（b2a）2+c =a（x+b2a）2b24a2+c 取中括号 =a（x+b2a）2b24a+c 常数部分通分 =a（x+b2a）2+4ac-b24a例1：在RtABC中，AB=6cm，BC=8cm，B=900，点P从A点开始向B点运动，速度 是1cm/s，同时，点P从B点开始向C点运动，速度2cm/s， （1）经过几秒，PBQ的面积等于8cm2 （2）PBQ的面积会等于10cm2吗？若会求出此时的运动时间，若不会 说明理由。解：设经过x秒，PBQ的面积为8cm2，SPBQ=12PBBQ PB=AB-AP=6-x，BQ=2x 12（6-x）2x=8 解得x1=2，x2=4 经过2s或4s后PBQ面积为8cm2（2）由（1）得 SPBQ=12（6-x）2x=-x2+6x 二次三项式的配方 =（x26x） 分离二次项系数-1 =（x26x+3232） 配完全平方 =（x3）29 =（x3）2+9 去中括号 分析：x0123456（x3）2+90589850 所以，当x取值为3时，式子（x3）2+9的值最大，是9也就是PBQ的最大面积为9cm2无论x运动多少秒，PBQ的面积都不可能达到10cm2。例2：小林准备把一根长40cm的铁丝剪成两段，围成两个正方形。 （1）要使小林围成的两个正方形的面积之和等于58cm2，该怎么剪？ （2）这两个正方形的面积之和能不能等于48cm2？请什么理由。解：（1）设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为（10x）cm，依据题意列方程 x2+（10x）2=58 解得x1=3，x2=7 34=12cm 小林应该从12cm处剪。 （2）由（1）可得 x2+（10x）2 =2x220x+100 化简整理成一般式 =2（x210x）+100 分离二次项系数，常数不变 =2（x210x+5252）+100 配完全平方 =2（x5）225+100 =2（x5）2+50 去中括号，整理 分析：x0123456789102（x5）2+50100826858525052586882100 当x取值为5时，二次三项式2（x5）2+50有最小值50 正方形的面积不可能为48cm2。总结：对于二次三项式当二次项系数a0时，式子有最小值，a0时，有最大值 ax2+bx+c= a（x+b2a）2+4ac-b24a 当a0时，x= b2a时，式子有最小值4ac-b24a 当a0时，x= b2a时，式子有最大值4ac-b24a练习：1、根据概念直接判断下列二次三项式的最值：A 最大值；B 最小值，请选择填空：（1）-x2+3x： ；（2）（2x）（x+1）： ；（3）5x3x2： （4）12（x+3）（4x）： 2、用配方法求下列代数式的最大值或最小值。（1）x24x+9；（2）2x28x+1；（3）（x3）（92x）；（4）3x2+8x3；（5）3（x23x）3、解答题（1）将一条长20cm的铁丝剪成两段，各围成两个正方形， 要使这两个正方形的面积之和为17cm2，那么应该怎么剪？ 这两个正方形的面积之和能否为12cm2？请说明理由。（2）用长为80米的栅栏围成一个长方形的鸡舍，鸡舍一面靠墙，求鸡舍的长和宽分别为多少时，鸡舍的面积最大。（3）代数式4x2+8x+5有最大值还是最小值？是多少？（4）证明：无论x取什么值，代数式x2+4x8的值恒小于0（5）用配方法证明：x2+2x8的最小值为9（6）用一条长40米的绳子能不能围成一个面积为101m2的矩形？请说明理由。（7