第七章-Z变换.ppt

数字信号处理,电器信息工程学院蔡超峰,引言,如果能够找到一类基本信号(t)或(n)，它满足：用它们能构成相当广泛的信号；LSI系统对每个(t)或(n)的响应十分简单。则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。单位冲激信号(t)或(n)、复正弦信号ejt或ejt、复指数信号est和zn同时具有上述两个性质。如果(t)或(n)为单位冲激信号，即为时域分析方法。如果(t)或(n)为复正弦信号、复指数信号，即为变换域分析方法，分别对应于傅里叶变换、z变换或拉普拉斯变换。,引言,对于单位冲激响应为h(t)的连续时间LSI系统，若输入是x(t)=est，其中s为复数，则系统的响应y(t)为：令：则有:由此可见，连续时间LSI系统对复指数输入est的响应，仍是一个相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个复数值H(s)。,引言,对于单位冲激响应为h(n)的离散时间LSI系统，若输入为x(n)=zn，其中z为复数，则系统的响应y(n)为：令：则有:由此可见，离散时间LSI系统对复指数输入zn的响应，仍是一个相同的复指数信号，只是其幅度要倍乘一个复数值H(z)。,引言,假设连续时间和离散时间LSI系统的某个任意输入信号分别是由不同的复指数信号或线性组合而成：根据LSI系统的线性性质，它们对x(t)和y(t)的响应分别是：结论：只要任意的输入信号x(t)或x(n)能分别表示成复指数信号的线性组合，就可以很方便的写出LSI系统对它们的响应。,第七章Z变换,Z变换的定义Z变换的收敛域Z变换的零、极点Z变换的性质反Z变换LSI系统的系统函数,1.Z变换的定义,拉普拉斯变换（双边）：Z变换（双边）：Z变换的定义可由拉普拉斯变换引出。连续信号x(t)的理想抽样信号为取xs(t)的拉普拉斯变换，得令，有,1.Z变换的定义,考察变量替换：，令，则有,1.Z变换的定义,拉普拉斯变换和Z变换与傅里叶变换的关系：如果有则有这就说明拉普拉斯变换和Z变换分别是连续和离散时间傅里叶变换的一般化，通常把连续时间和离散时间信号的拉普拉斯变换和Z变换分别称为它们的复频谱，把LSI系统单位冲激响应的拉普拉斯变换和Z变换称为系统函数或转移函数。,1.Z变换的定义,此外还有：这说明一些不满足模可积与模可和的时间函数与序列尽管不存在傅里叶变换，但实指数加权以后就满足了模可积或模可和，就有了傅里叶变换。因此，一些没有傅里叶变换的时间信号和序列，却有拉普拉斯变换和Z变换。,若x(n)为N点序列，其Z变换、DTFT及DFT分别是：由此可知，z是在使X(z)收敛的z平面上取值，X(j)仅在单位圆上取值，X(k)是在单位圆上N个等间距的点上取值。,1.Z变换的定义,Im,Re,0,1,a,z平面,2/N,1.Z变换的定义,习题：求x(n)=anu(n)的Z变换，其中a为常数，u(n)为单位阶跃函数。解答：如果有，即则上式收敛，于是习题：求y(n)=anu(n1)的Z变换，其中a为常数，u(n)为单位阶跃函数。解答：如果有，即则上式收敛，于是,2.Z变换的收敛域,使得Z变换有意义必须满足：上式等效于这就说明，如果x(n)z-n绝对可和则X(z)收敛。根据傅里叶变换的收敛条件可知，如果x(n)不是绝对可和的，那么其傅里叶变换不存在。将x(n)乘上一个合适的z的负幂，那么其Z变换就有可能存在。使Z变换存在的z的取值的集合称为X(z)的收敛域（regionofconvergence,ROC）。,2.Z变换的收敛域,前已述及，X(z)是序列x(n)被一个非负的实序列r-n加权后的傅里叶变换，即对给定的序列x(n)，至少将会存在一个r值使得X(z)收敛或发散，又因为r是z的模，因此可以想象，X(z)的收敛域将具有如下形式：,2.Z变换的收敛域,设x(n)在区间N1N2内有值，N10收敛域：N10收敛域：,2.Z变换的收敛域,2.右边序列（有始无终的序列）,N10，N2=N10,ROC：,ROC：,2.Z变换的收敛域,4.双边序列（无始无终的序列，即N1=，N2=）,只有当的时候X(z)才收敛，且收敛域为一个环形区域：,2.Z变换的收敛域,例题：已知序列x(n)=a|n|，其中a0，求X(z)。解答：显然，如果a1，X(z)将不收敛；如果a1，,ROC：,3.Z变换的零、极点,假设序列x(n)的Z变换为X(z)，如果在Z平面中存在某点zi，使得则zi称为X(z)在Z平面上的一个零点。类似的，如果在Z平面中存在某点zj，使得则zj称为X(z)在Z平面上的一个极点。如果X(z)具有有理函数形式，即从上式很容易看出，在有限Z平面上共有m个零点zi（阶数为i）以及n个极点zj（阶数为i）。,3.Z变换的零、极点,如果X(z)具有有理函数形式，则其零、极点具有如下性质：孤立性：X(z)的零点和极点都是孤立的。收敛域不包含任何极点，但零点既可在收敛域内，也可在收敛域外，其位置不受限制。平衡性：如果高阶零点和高阶极点都以等于其阶数的一阶零点和一阶极点来计算，在包含无穷远点的整个Z平面上零点的数目等于极点的数目。充分性：在除原点外的有限Z平面上，零点和极点的数目都是有限的，并且在有限Z平面上的零点和极点的位置和阶数，完全决定了X(z)的表现形式。,例题：求矩形窗序列r2N+1(n)的零、极点分布。解答：先分析零点，令则有容易看出，共2N+1个零点。,ROC：,3.Z变换的零、极点,令m=n+N,再分析极点，从分母多项式来看：z=0为N阶极点；z=1为一阶极点，同时z=1又为一阶极点，所以z=1既不是零点，也不是极点。最终，已知零点总共有2N个，极点总共有N个，根据零、极点的平衡性，无穷远点是N阶极点。,3.Z变换的零、极点,4.Z变换的性质,1.线性性质例题：求x(n)=cos(n)u(n)的Z变换。解答：,ROC：R2,ROC：R1,ROC：R1R2,ROC：,ROC1：,ROC2：,4.Z变换的性质,例题：求如下序列的Z变换。解答：由于线性组合消去了收敛域边界上的极点z=a，只有z=0为X(z)的N-1阶极点，故X(z)的收敛域就从两个收敛域的交集扩展到除0外的整个Z平面，即。,ROC：,ROC1：,ROC2：,4.Z变换的性质,时移性质单边Z变换的时移性质稍有不同。记X+(z)为x(n)的单边Z变换，即则x(n-k)和x(n+k)的单边Z变换分别为,4.Z变换的性质,如果x(n)为因果序列，则有由于实际工作中遇到的信号大部分都是因果的，因此上式给出的时移性质是最常用的。,4.Z变换的性质,3.复频移性质为了弄清楚Z变换复频移性质的含义，先看两种特殊情况：z域中的旋转（Z变换的复正弦加权性质）若令，则有上式左边可以看做是x(n)被一个频率为0的复正弦信号调制，右边可以看做是X(z)和其收敛域、零点、极点在Z平面上逆时针旋转0。如果X(z)的收敛域包含单位圆，那么上式在单位圆上所体现出来的性质就是DTFT的频移性质。,ROC：,ROC：,ROC：,4.Z变换的性质,X(z)的零极点图,X(zej0n)的零极点图,4.Z变换的性质,z域中的径向比例变换（Z变换的实指数加权性质）若z0为正实数，即，则有上式左边可以看做是x(n)被实指数an调制，右边表示Z域上的径向尺度比例变换。,ROC：,0,0,0,X(z),X(z/a),a1,X(z/a),a1,4.Z变换的性质,对于一般情况：上式左边表示x(n)被一般的复指数序列加权，右边表示Z域上上X(z)兼有逆时针旋转和径向比例变换两种变换。从上述讨论可知，有时域复指数序列加权导致的Z变换，已经不再是Z平面上简单的复频移，这也是与傅里叶变换相比Z变换的特殊之处。,ROC：,4.Z变换的性质,时域差分、累加性质及复频域微分性质,ROC：,ROC：,时域差分：,ROC：,ROC：,时域累加：,ROC：,ROC：,复频域微分：,4.Z变换的性质,证明（复频域微分性质）：复频域微分性质又称为线性加权性质。,4.Z变换的性质,卷积性质（时域）证明：Z变换的这一时域卷积性质与傅里叶变换完全一致。,ROC：R2,ROC：R1,ROC：,4.Z变换的性质,6.对称性质证明：,ROC：,ROC：,ROC：,ROC：,4.Z变换的性质,上述对称性质表明：x(n)时域反转导致Z平面上X(z)的收敛域以单位圆为基准向外反转，原来X(z)的零点pi和极点qi分别变成X(1/z)的零点1/pi和极点1/qi；x(n)时域共轭导致X(z)的零极点关于实轴上、下反转，收敛域不变；x(n)时域既反转又共轭，X(z)的收敛域和单位圆兼有以上两种变换。,根据对称性质：可知，如果x(n)为偶序列或奇序列，即或则有或这就表明，X(z)的收敛域是Z平面上以单位圆为准的反比对称圆环，其零极点在Z平面上以单位圆为准反比对称分布。,4.Z变换的性质,ROC：,ROC：,ROC：,根据对称性质：可知，如果x(n)为实序列或纯虚序列，即或则有或这就表明，X(z)的零极点在Z平面上具有共轭对称性。,4.Z变换的性质,ROC：,ROC：,根据对称性质：可知，如果x(n)为实偶序列，即则有这就表明，X(z)的收敛域是Z平面上以单位圆为准的反比对称圆环；X(z)的零极点分布在Z平面上关于实轴和单位圆都呈镜像对称分布。,4.Z变换的性质,ROC：,ROC：,4.Z变换的性质,X,X,x(n)为实偶序列,x(n)为实序列,x(n)为偶序列,7.初值定理如果x(n)为因果序列，则其初始值可由下式求得：其中X(z)为x(n)的Z变换。证明：例如：,4.Z变换的性质,ROC：,8.终值定理如果x(n)为因果序列，且其Z变换的极点位于单位圆内（单位圆上最多在z=1处有一个一阶极点），则有其中X(z)为x(n)的Z变换。证明：令，则同时还有,4.Z变换的性质,因此有：两边同时对z=1取极限从推导过程可以看出，终值定理只有当时x(n)收敛才可以应用，这也就是要求X(z)的极点位于单位圆内（单位圆上最多在z=1处有一个一阶极点）的原因。如果已知序列x(n)的Z变换，就可以利用初值定理和终值定理方面的计算出序列的初值x(0)和终值x()。,4.Z变换的性质,根据Z变换与DTFT的关系，反Z变换可由DTFT的反变换推导而来。假设x(n)的Z变换为X(z)，在X(z)的收敛域RF内任取一点，则有根据DTFT的反变换公式两端同时乘以rn得：,5.反Z变换,DTFT：,由可知，即。由于上式的积分是对上任意一个2区间进行的，变成对z的积分后，则为逆时针沿|z|=r的圆周（记作c）的曲线积分，这样就得到如下的反Z变换公式：上述公式说明，序列x(n)可由其Z变换X(z)经复指数序列加权后的曲线积分求得。,5.反Z变换,反Z变换公式：求解上式可利用留数定理。设zm是被积函数X(z)zn-1在闭合曲线c内的一组极点，根据留数定理，x(n)等于c内全部极点的留数之和，即其中,5.反Z变换,（一阶极点）,（k阶极点）,习题：求的逆变换，ROC：。解答：被积函数X(z)zn-1为当n=0时，X(z)zn-1有3个极点，即z=0,z=1和z=0.6，所以,5.反Z变换,当n1时，X(z)zn-1有2个极点，即z=1和z=0.6，所以即,5.反Z变换,习题：求的逆变换，ROC：，其中。解答：被积函数X(z)zn-1为当n0时，X(z)zn-1在c内有1个极点，即z=a，所以当n0时，X(z)zn-1在c内只有2个极点，即z=0和z=a，其中z=0为n阶极点。下一步,5.反Z变换,?,如果闭合曲线c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，为避免求多阶极点的麻烦，可以利用留数辅助定理，即改求c外的极点留数之和并求符号。假设c内有p个极点zp，c外有q个极点zq，则有即,5.反Z变换,当nM。该系统的单位冲激响应h(n)为有限长，因此该系统称为有限冲激响应系统（FIR）。FIR系统中当前的输出只取决于当前和过去的输入，而与过去的输出无关。,6.LSI系统的系统函数,习题：求系统的单位冲激响应。其中b(0)、b(1)、b(2)为常数。解答：由定义，将x(n)换成(n)所以,6.LSI系统的系统函数,若a(k),k=0,1,2,N不全为零则输入端包含输出端的反馈，因此系统的单位冲激响应h(n)为无限长，该系统称为无限冲激响应系统（IIR）。IIR系统中当前的输出不但取决于当前和过去的输入，而且还取决于过去的输出。过去的输出对当前输出的作用可以看做是一种反馈，因此IIR系统一旦被激发后，其输出序列理论上无限长的。,6.LSI系统的系统函数,习题：求系统的单位冲激响应，其中a为常数，初始条件为h(1)=0。解答：由定义及初始条件可知:,6.LSI系统的系统函数,回忆单位冲激响应在LSI系统分析中的作用：记忆性连续时间和离散时间LSI系统的记忆性判据分别是：因果性连续时间和离散时间LSI系统的因果性判据分别是：稳定性连续时间和离散时间LSI系统的稳定性判据分别是：,6.LSI系统的系统函数,或,或,或,系统函数在离散时间LSI系统分析中的作用：记忆性：系统函数等于一个复常数，收敛域为整个Z平面。因果性：收敛域包含无穷远处，即。稳定性：收敛域包含单位圆。因果稳定性：所有极点均分布于单位圆内。,6.LSI系统的系统函数,习题：系统函数为其中，分析该系统的因果性及稳定性，并求出h(n)。解答：H(z)有两个极点，分别为z1=1/a,z2=a，把H(z)展开成部分分式形式收敛域为时：收敛域包含无穷远，因此为因果系统；收敛域不包含单位圆，因此为非稳定系统。h(n)为：,6.LSI系统的系统函数,收敛域为时：收敛域不包含无穷远，因此为非因果系统；收敛域不包含单位圆，因此为非稳定系统。h(n)为：收