教学研究之解题3

深入进行教学研究提高自身数学素养（二）,安阳市教研室赵智勇aysxjs,W.J.Locke(1863-1930)马库斯奥德尼（MarcusOrdeyne）的道德(1905)我年轻时曾在学校里混饭吃，教孩子一门最无用、最灾难性的、最禁锢心灵的学科，教师们无情地、愚蠢地损坏了无数同类的头脑，损毁了无数同类的生命初等数学。上帝的地球上没有任何人有任何理由去熟悉二项式定理，和三角形的求解，除非他是职业科学家回想起那些为了面包而滥用智力去浪费天真无邪的孩子的宝贵时光的日子，我感到羞愧和堕落，他们本可以学习如此多的美丽而有意义的事，而不是这门完全无用的、不近人情的学科。他们说，它训练头脑它教会孩子思考。其实不然。事实上，它是一门枯燥乏味的学科，易于用做学校课程。其神圣不可侵犯性为教育家们省却了巨大的麻烦，它的主要用处便是让没有头脑的年轻人大学毕业后不诚实地混饭吃。他们把这门学科教给其他人，而其他人又把它教给下一代。,数学、数学情感,数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想课堂就有了生命。数学课堂教学应该在数学和人文之间架起一座美丽的桥梁。使学生在课堂上，为萨默斯隧道的神奇而惊叹，为泰勒斯的智巧而称奇，为希帕索斯追求真理的执着而震撼，为阿基米德的海边奇思而顿悟，为赵爽的“负薪余日、聊观周髀”而感动，。,传递一种思想；架设一座桥梁；改变一份情感；提高一点素养。,数学、数学情感,教学反思案例分析解题教学研究,解题教学是数学教学的重要环节解题教学要有效、高效，就必须深入思考和研究下面三个问题：（1）为什么要进行解题教学？（2）解题教学应该教什么？（3）解题教学应该怎样教？,数学解题和数学教学,为什么进行解题教学？,数学解题是一种特殊的数学活动，有独特的教育价值。（1）能有效促进数学认知能力的发展。（2）能深化学生对数学知识和思想方法的理解。（3）能在发展学生大脑的执行控制能力上起到独特的作用。中数教参2012.7陕西张文娟,解题教学应该教什么？,解题教学核心要教“怎样想”，而非是“怎样做”。因为“想”指导“做”，“想”是合理的“做”的前提，没有想好的做是盲目的试误，难以在学生头脑中留下可迁移、有价值的经验。中数教参2012.7陕西张文娟（发明心理）教学生学会如何“研究”题目，积累解题经验。教学生从解题后的“反思”中，总结解题规律，感悟数学思想，体验数学美，激发学习兴趣。,解题教学应该怎样教？,2011版课标指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。数学课堂教学中最需要做的事,解题教学应该怎样教？,1、引导学生正确审题，对题目进行充分有序的感知2、引导学生对问题进行有向多元表征；3、引导学生分析解题思路、解题步骤；4、引导学生独立尝试解题；5、引导学生进行解题交流和相互评价活动；6、引导学生寻找题目的多种解（证）法，激发和培养学生的求异兴趣，培养学生从多角度、多方面思考问题的习惯和决断能力；7、引导学生进行一题多变，培养学生的发散思维能力；8、引导学生合理联想，注意发挥题目的模式功能和应用价值；9、引导学生适时对倒题进行适当引伸，激发学生的求知欲，培养学生深入研究问题的习惯；10、引导学生对题目及解题过程进行反思，总结规律和解题时应注意的问题；促进知识的正迁移，培养学生思维的深刻性；,进行解题研究,解题是数学学习的核心之一，研究的目的是：积累数学活动经验，理解数学的本质，归纳、掌握数学规律，感悟数学思想，体验数学美，增强学习数学的兴趣。,理解数学的本质,例：解方程x+1=0.75x+1.6.例：配方ax2+bx+c=0.(a0),掌握数学规律,掌握了规律，解决问题的思维更敏捷；掌握了规律，解决问题的过程更简洁；掌握了规律，解决问题的速度更快捷;掌握了规律，解决问题的能力更高强。,99=81，9999=9801，999999=998001，99999999=99980001，9999999999=9999800001,25253535=3(3+1)100+25=12257575,1、快车从甲站到乙站需要8小时，慢车从乙站到甲站需要12小时。如果两车同时从两站相向开出，相遇时快车比慢车多行驶180千米，问甲乙两站间的距离是多少千米？,规律往往是本质的反映。看清了本质，才能使学生尽早窥探绚丽的数学风光；看透了本质，才能使学生自由遨游深邃是数学海洋；看穿了本质，才能使学生深切感悟变化的数学真谛。,解题研究之传奇,只是因为在题海中多看了你一眼再也没能忘掉你的容颜梦想着与你能相知相伴相见从此我开始不再孤单学习时你在身边解题时你在眼前学习时你在脑海解题时你在心田宁愿相信我们前世有缘今生的缘分故事不会再改变宁愿用昼夜感悟你发现希望你在我身旁再不走远,对数学(题目)的态度不同，学习数学(题目)的结果就不同。对数学(题目)的感受不同，理解数学(题目)的程度就不同！,掌握数学的本质,1、基础知识2、数学思想方法3、数学美4、数学精神（理性精神与探究精神）,思考：（1）学生得分率低的深层次原因；（2）如何解决“基础不扎实，不能灵活运用所学知识解决问题”这个问题呢？（3）为什么许多学生在解了大量习题之后还不“开窍”？能否通过解较少的题达到较好的效果？,核心题目是指具有典型性、代表性、模型性、思想性、方法性、扩展性之一的题目，具有较强的使用价值或指导价值，与外围题目存在有机的联系。外延题目是核心题目的变式，或能用核心题目为模型解决的题目，或在解题思想方法上与核心题目具有相似性，或是核心题目的直接扩展（推广）。外围题目是与核心题目之间有间接联系或与外延题目有直接的联系的题目，或是外延题目的二次延展等。,从根本上说，核心题目的集合反映的是初中数学的核心知识及体系。每一个核心题目实质上都是为解决其他问题而提供服务的。核心题目承载的是解题方面的竞争能力。也是解题的立足点。因此核心题目对于解决新的问题如同灵魂是不能弄虚作假，核心题目不过关注定是走不长的。因此要提高解题能力，一定要抓好核心题目这个最本质的竞争能力。,(2010.荆州)平行四边形ABCD中，BE平分ABC交DC于E.求证：CE=CB.,1、平行四边形ABCD中，BE平分ABC交DC于E;AF平分DAB交DC于F.求证：DE=CF.,3、平行四边形ABCD中，BE平分ABC交直线DC于E;AF平分DAB交直线DC于F.求证：DE=CF.,2、如图，ADBC，AECD，BD平分ABC，求证：AB=CE.,原型1在ABCD，BD平分ABC交AC于D，DEBC交AB于E.求证：DE=BE.,原型2,原型拓展,1、“核心题目”的建立；2、实施教学的“核心技术”；3、建立开放发展的体系。,1914年波利亚在苏黎世时，就准备研究数学解题的规律，用德文写了一个大纲，后来在英国数学家哈代的启发下，1944年在美国出版了怎样解题，其中“怎样解题”表总结了人类解决数学问题的一般规律和程序,对数学解题研究有着深远影响被译成至少17种语言广为传播,可说是一部现代数学名著.他随后又写了两部这类书其一是1954年出版的两卷本数学与合情推理，再次阐述了在怎样解题以及其它论文中所提到的启发式原理，被译成6种语言其二是出版了两卷本的数学的发现，被译成8种语言这些书籍一经出版，很快风行世界，使波利亚成为当代的数学方法论、解题研究与启发式教学的先躯70与80年代，我国陆续翻译出版了波利亚的上述著作，随之在我国掀起一股“波利亚热”，促进了我国数学教学的改革,波利亚（1887-1985）美籍匈牙利数学家,一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决了它，那么你就能经历那种紧张状态，而且享受那种发现的喜悦。在一个易受外界影响的年龄段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。,因此，一位数学教师就有着很大的机会。如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失他的良机。相反的，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。,波利亚把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用,近十几年来，通过反思和对解题实践活动的深入考察，数学教育界已经在“问题解决”的全过程和“高级数学思维”的内外部机制等研究方面取得了新的进展，中国式的“问题解决”也初成特色，这些都构成了对波利亚的超越“中国的数学问题解决”特色主要表现有：注重研究数学解题的思维过程：强调数学方法论研究；提倡数学解题策略研究；应用问题、数学建模教学研究；开放题、情景题的教学研究及其在考试中的大规模运用；提倡探究性学习，进行“问题教学”、“情景教学”、“开放性教学”,波利亚极其关心中学数学教师的培养，退休后亲自主持了一些教师培训班，制定了培训计划与课程他主张课程要加强与初等数学的联系，自始至终要强调方法论，要突出启发式推理和历史来源他建议：培训数学教师的形式可采取解题方法讨论班或其它合适的形式,一、解题策略,1、特殊化与一般化、整体化2、运用图形变换（对称、旋转）3、建立工具和模板4、探索总结规律5、,简化抓关键、奔主题,甲、乙两地相距15千米。一天，小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向行进。小明的速度是每小时5.5千米，小华的速度是每小时4.5千米。小华刚出发，他带的一只狗便箭似地往甲地所在方向跑去。它遇到小明以后，立即转身往回跑。跑到小华面前后，又立即转身向回跑去就这样，这只狗以每小时20千米的速度不停地在小明和小华之间来回奔跑，直到小明和小华会合为止。请问：这只狗来回一共跑了多少路？”,考虑狗奔跑的时间即可。狗跑的时间其实就是两队从出发到会合的时间，即15（5.54.5）=1.5（小时），从而轻而易举地求出狗来回一共跑了201.530（千米）。,小明走在路上，从身后每12分钟驶过一辆公交车，迎面每4分钟驶过一辆公交车，求公交车几分钟发一趟？(2007年山东滨州中考23题)某人在路上骑车行走,每隔6分钟有一辆公交车从背后驶来,每隔2分钟有一辆公交车迎面驶来,求车站每隔几分钟发车一辆？（假设公交车和行人的速度分别为V1,V2）,（只考虑一个方向的公交车）小明从A地出发，12分钟后到达B地，从身后驶过一辆公交车，此时，立即掉头向A地走，在第16、20、24分钟时分别遇到从A地过来的公交车。第24分钟回到A地，这个过程中共见到4辆公交车。相当于A地24分钟过4辆车。所以24/4=6(分钟)发一趟,特殊化（特殊值）,“正方体的棱长扩大4倍，这个正方体的体积扩大几倍？”,可假设正方体原来的棱长是1厘米，那么原来的体积是131（立方厘米）；棱长扩大4倍后是144（厘米），扩大后的正方体体积是4364（立方厘米），从而可知体积扩大了64164（倍）。假设正方体原来的棱长是a厘米，亦可。,（河南省2010年中考题）6如图，将ABC绕点C（0，-1）旋转180得到ABC，设点A的坐标为(a,b),则点A的坐标为【】,（A）,（B）,（C）,（D）,只需考虑线段AA,分解或重组,快捷解题的关键：1、基础知识熟练；2、从复杂图形中区分主要构图对象；3、抓问题的本质，简化问题；4、运用特殊化、特殊值等策略；5、善于将问题提进行适当分解或重组。,变换背景和图形变换,2011年福建泉州如图，直径AB为6的半圆，绕点A逆时针旋转60，则图中阴影部分的面积是（）A.6B.5C.4D.3,1、转化特殊角（1）利用图形变换补全图形，放到正方形背景中）（2）利用圆作背景2、运用特殊角,快捷解题的关键：1、基础知识熟练；2、善于运用图形变换（旋转、对称）；3、适时变换或扩大背景，使问题在新背景中得到转化。,模式化和构造,快捷解题的关键：1、熟悉各种基本工具和模板2、有自己独具特色的模板2、善于选取有效的工具和模板,在具备了一定的基础知识和基本能力后掌握了策略，解决问题的思维更敏捷；掌握了策略，解决问题的过程更简洁；掌握了策略，解决问题的速度更快捷；掌握了策略，解决问题的能力更高强。,二、数学思想,函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想方程思想整体思想转化思想隐含条件思想类比思想建模思想化归思想归纳推理思想,分类讨论,正方体展开图分类,正方体展开图分类,正方体展开图分类,展开图中不会出现如下面图形所示的“7”字型、“凹”字型和“田”字型结构。,牛刀小试,下面的图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的可以看成是正方体的展开图的是（）ABCD,数学建模,（河南省2010年中考题）,数形结合,15如图，RtABCRtADE，A=90度，BC和DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距离是_,多数学生解法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果。,如图，建立平面直角坐标系，则B（0，4），E（0，3），C（3，0），D（4，0）。故直线BC的解析式为：直线ED的解析式为：求两直线交点坐标，联立上述两个解析式解方程组即得：x=,上海07年高考模拟题,小玲的爸爸每天7：00-8：00之间去上班，送报工每天6：30-7：30之间将报纸送达小玲家的报箱，问小玲的爸爸上班前拿到报纸的概率是多少？,不妨设送报工在x时将报纸送达，且0x60；小玲的爸爸在y时去上班，且30y90。建立平面直角坐标系表示x,y确定的范围（如图），当yx时，小玲的爸爸上班前能拿到报纸，计算其面积比即可得：P（拿到报纸）=,运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，却常常能出奇制胜的作用，具备运用坐标解决问题的意识会使我们体验：“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的意境。,启示：,启示：,运用坐标解决问题，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想。,历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，反思使人进步。上述例子说明：有些数学问题，若我们借助于坐标系研究，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。学生能否掌握和运用好的思想方法关键在于教师的意识和引导。,数形结合歌（华罗庚歌诀）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系、切莫分离。,运用数学思想方法，快速找到问题的突破口,压轴题中数学思想方法,（河南省2010年中考题）,2012年河南中考试题,三、解题后的反思,1、快车从甲站到乙站需要8小时，慢车从乙站到甲站需要12小时。如果两车同时从两站相向开出，相遇时快车比慢车多行驶180千米，问甲乙两站间的距离是多少千米？2、客车从甲地到乙地需要10小时，货车从乙地到甲地需要15小时。如果两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了90千米，问甲乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行驶了多少千米？,3、甲乙两队合修一条公路，甲队平均每天修35米，乙队平均每天修40米，完工时甲队比乙队少修125米，问这条公路的长是多少千米？4、加工一批机器零件，甲独做30小时完成，乙独做20小时完成，现在两人同时加工，完成任务时，乙给甲87个零件，两人的零件个数就相等。这批零件共多少个？,答案：,变“做”大量的题为“研”必要的题！,做较少的题目，达到较高的效果,对教学的启示,解题教学,1、教会学生审题，怎么教？明确已知和目标；审题的方法