高二数学选修4-4学案

高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 1 平面直角坐标系学习目标会运用坐标法解决实际问题与几何问题. 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法, 体会坐标系的作用, 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。学习重点体会直角坐标系的作用学习难点能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。学习过程问题引入1到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2在ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且，求顶点C的轨迹方程.合作探究刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系数轴 ：它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。知识拓展例1、某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）例2、已知ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。变式训练1、一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程检测达标1、点M(a,b)关于x轴对称坐标是 ，关于y轴对称坐标是 ，关于原点对称坐标是 ，关于直线y=x对称坐标是 ;2已知A（-2，0），B（2，0），则以AB为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹方程是 .3已知A（-3，0），B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程是 .小结反馈1平面直角坐标系的意义。 2. 利用平面直角坐标系解决相应的数学问题。作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 2平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标理解平面直角坐标系中的伸缩变换；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况，会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题学习重点理解平面直角坐标系中的伸缩变换。学习难点会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题学习过程复习巩固、回顾三角函数知识，回答下面两个问题1、函数y=sin2x的图象，可看作把y=sinx图象上所有点的横坐标 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到；函数y=sin的图象，可看作把y=sinx图象上所有点的横坐标 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到；2、y=2sinx的图象可以看作把y=sinx图象上所有点的纵坐标 到原来的 倍得到的（横坐标不变）。y=sinx的图象可以看作把y=sinx图象上所有点的纵坐标 到原来的 倍得到的（横坐标不变）。即: 设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的倍，得到P（x，y）,那么 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的2倍，得到P（x，y）,那么 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。合作探究、提出问题：怎样由正弦曲线得到曲线y=2sin2x？它是由两种变换合成的，平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），经过上述变换后变为点P（x，y）,那么 我们把式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。、定义：设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点P（x，y）对应到点P（x，y），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。新课内容【典型例题】 Y在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线变成直线， 分析：设变换为可将其代入第二个方程，得，与比较，将其变成比较系数得【解】(1)，直线图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线。例1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0； （2）x2+y2=1当堂训练1.求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：（1）（1，2）； （2）（-2，-1）2点经过伸缩变换后的点的坐标是（-2，6），则 ， ；3将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A. B. C. D.4将直线变成直线的伸缩变换是 .小结反馈设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 的作用下，点P（x，y）对应到点P（x，y），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 3 极坐标系的概念学习目标认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；学习重点理解极坐标的意义学习难点能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程新课导入情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。(1)他向东偏60方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？ 合作探究1、如右图，在平面内取一个 ，叫做 ；自极点引一条射线，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。 2、设是平面内一点，极点与的距离叫做点的 ，记为 ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的 ，记为 。有序数对 叫做点的 ，记作 。特别强调：由极径的意义可知r0;当极角q的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径r=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以去任意的正角或负角当r0时，点M （r，q）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。M （r，q）也可以表示为新课内容三、例题讲解例1、 如右图，在极坐标系中，写出点A、B、C、D、E、F、G的极坐标；例2 、教材 P10例2例3、已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标。P是点Q关于极点O的对称点；P是点Q关于直线的对称点；P是点Q关于极轴的对称点。当堂训练1已知，下列所给出的能表示该点的坐标的是A B C D2、在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( )A、 B、 C、 D、 3、设点P对应的复数为-3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A.(，) B. (，) C. (3，) D. (3，)4、在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) 小结反馈1、极坐标系的建立：2、极坐标系内一点的极坐标的规定；3、负极径的规定。作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 4极坐标与直角坐标的互化学习目标体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化;根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化学习重点对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解学习难点极坐标和直角坐标之间的互化学习过程复习巩固1、知识回顾极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用 r 表示线段OM的长度，用 q 表示从OX到OM 的角度，r 叫做点M的极径， q叫做点M的极角，有序数对（r，q）就叫做M的极坐标。负极径的规定：合作探究情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？新课内容直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，。3、 化公式的三个前提条件： 极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 两种坐标系的单位长度相同.三、例题讲解例1、把点M 的极坐标化成直角坐标；例2、把点P的直角坐标化成极坐标。例3、在极坐标系中,已知求A,B两点的距离知识拓展1、 若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.已知A的极坐标求它的直角坐标,已知点B和点C的直角坐标为求它们的极坐标.0,02)2、在极坐标系中,已知两点.求A,B中点的极坐标.当堂训练1、把点M 的极坐标化成直角坐标；2、把点P的直角坐标化成极坐标。3、已知两点A（5，），B，求三角形OAB的面积小结反馈平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： 作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 5曲线的极坐标方程学习目标掌握极坐标方程的意义;能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程学习重点极坐标方程的意义学习难点求简单图形的极坐标方程学习过程复习巩固1、直角坐标系中曲线的方程和方程的曲线定义？2、求曲线方程的基本步骤有哪些？合作探究1、引例：以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程来表示。2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？3、定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线。4、求曲线的极坐标方程：（类似于直角坐标系中求曲线方程的步骤）新课内容例1、求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程。例2、求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。变式训练：求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。例3、（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。当堂训练1、极坐标方程化为直角坐标是 ；2、直角坐标方程化成极坐标方程是 ；3、把下列极坐标方程化为直接坐标方程方程：（1） （2）小结反馈1 极坐标方程的定义；2如何求曲线的极坐标方程。作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 6圆的极坐标方程学习目标理解圆的极坐标方程的求法; 通过实例引导学生了解极坐标方程的应用学习重点圆的极坐标方程的求法学习难点能根据条件写出圆的极坐标方程学习过程复习巩固1、曲线的极坐标方程：在极坐标系中，如果平面曲线上C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线。2、求曲线的极坐标方程步骤：合作探究例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？例2、求下列圆的极坐标方程：()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a,p/2)，半径为a；()中心在(a,q)，半径为a例3、在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹。知识拓展三、知识拓展1、在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，（1）求圆的极坐标方程。（2）若点在圆上运动，在上，且，求动点的轨迹方程。当堂训练1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 ()3.求极坐标方程分别是cos和sin的两个圆的圆心距？小结反馈1圆在各种条件下的极坐标方程；2掌握圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化。作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 7直线的极坐标方程学习目标理解直线的极坐标方程的求法; 通过实例引导学生了解极坐标方程的应用学习重点直线的极坐标方程的求法学习难点能根据条件写出直线的极坐标方程，（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程.学习过程课前小测1直线的极坐标方程是 .2曲线的直角坐标方程是 .典型例题【问题1】：求经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程.练一练：3经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方程是 .4直线的直角坐标方程是 .【问题2】：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.技能训练5在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是的直线；（2）过点，并且和极轴垂直的直线.6把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）；（2）.7求下列直线的倾斜角：（1）；（2）.8已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离.四、变式训练试试你的身手呀9过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 10直线关于直线对称的直线的极坐标方程为_课后作业11 直线和直线的位置关系是 12在极坐标系中，点到直线的距离 .13在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则 小结反馈作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 8参数方程的概念学习目标通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义学习重点了解一般曲线的参数方程学习难点了解一般曲线的参数方程,体会参数的意义学习过程学前准备复习：在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么？合作探究探究新知（预习教材P21P22，找出疑惑之处）问题1：由物理知识可知，物资投出机舱后，它的运动是下列两种运动的合成：问题2：由方程组 ，其中是重力加速度（） 可知，在 的取值范围内，给定 的一个值，由方程组可以 确定的值。比如，当时， ， 。归纳：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数（1），并且对于的每个允许值，由方程组（1）所确定的点都在这条曲线上，那么方程（1）叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。应用示例例1已知曲线C的参数方程是 (t为参数)（1）判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值。（教材P22例1）解：达标检测1下列哪个点在曲线上（ ）A(2,7) B C D(1,0)2、对于曲线上任一点，下列哪个方程是以为参数的参数方程（ ）A、 B、 C、 D、3、已知曲线C的参数方程是，且点在曲线C上，则实数的值为（ ） A、 B、 C、 D、无法确定4、关于参数方程与普通方程，下列说法正确的是（ ）一般来说，参数方程中参数的变化范围是有限制的；参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同表达形式；一个曲线的参数方程是唯一的；在参数方程和普通方程中，自由变量都是只有一个。A、 B、 C、 D、5、方程 表示的曲线为（ ）A、一条直线 B、两条射线 C、一条线段 D、抛物线的一部分小结反馈1本节学习了哪些内容？答：了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 9圆的参数方程学习目标1通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。学习重点了解圆的参数方程学习难点了解圆的参数方程, 进一步体会参数的意义学习过程学前准备1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？合作探究xyOrMM0x探究新知（预习教材P22P24，找出疑惑之处）如图：设圆的半径是，点从初始位置（时的位置）出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，点绕点转动的角速度为，以圆心为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。显然，点的位置由时刻惟一确定，因此可以取为参数。如果在时刻，点转过的角度是，坐标是，那么。设，那么由三角函数定义，有即这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中参数有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）。考虑到，也可以取为参数，于是有应用示例例1圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点，当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程.（教材P24例2）解：达标检测1曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A B C1 D2下列参数方程中，表示圆心在，半径为1的圆的参数方程为（ ）A、 B、 C、 D、 3.（选做题）已知是圆心在，半径为2的圆上任意一点，求的最大值和最小值。小结反馈1本节学习了哪些内容？答：熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 10参数方程与普通方程的互化学习目标1明确参数方程与普通方程互化的必要性.2掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程.学习重点参数方程与普通方程互化学习难点参数方程与普通方程互化,特别注意参数的取值范围学习过程学前准备复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？2. 写出圆的参数方程，圆呢？合作探究探究新知（预习教材P24P26，找出疑惑之处）问题：方程表示什么图形？问题2：上节课例2中求出点的参数方程是， 那么点的轨迹是什么？小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化.应用示例例1把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线： （）（为参数） （）（为参数）例2 .将椭圆普通方程按以下要求化为参数方程：（1）设 （2）达标检测1把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。（1） （2）2根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程：）.2）已知圆的方程，选择适当的参数将它化为参数方程.小结反馈作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 11椭圆的参数方程学习目标1.椭圆的参数方程.2.椭圆的参数方程与普通方程的关系。学习重点椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化学习难点1.椭圆参数方程的建立及应用.2.椭圆的参数方程与普通方程的互化学习过程学前准备将下列参数方程化成普通方程1 2 合作探究椭圆的参数方程 1焦点在轴: 2焦点在轴: 应用示例参数方程与普通方程互化1把下列普通方程化为参数方程. (1) (2)2把下列参数方程化为普通方程(1) (2) A练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为_，短轴长为_，焦点坐标是_，离心率是_-_。B例2、在椭圆上求一点P，使P到直线l：的距离最小.C例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积。达标检测 小结反馈作业布置学习反思高二数学学案时间第 周 第 学案 年 月 日课题学案 12直线参数方程（1）学习目标1. 了解直线参数方程的条件及参数的意义 2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义学习重点参数的含义，直线单位方向向量的含义。学习难点如何引入参数，理解和写直线单位