随机变量的数字特征

.第三章随机变量的数字特征，在第二章的讨论中，离散型随机变量的变化规则完全由其概率分布描述，连续型随机变量完全由其密度函数描述。 但是，在实际应用中，通常很难获得概率分布和密度函数。 另一方面，在应用中，不需要知道概率分布和密度函数，有时只知道该随机变量的特征。 例如，为了分析某市高学生的某堂课的考试成绩，一般不需要所有学生的考试成绩，只要知道每个学校的平均成绩，或者与每个学校的平均成绩偏离的程度，只要有这些指标，就能进行横向和纵向的比较。 这里的平均成绩是学生成绩这一随机变量的特征。 另外，描述某个随机变量的面的特征的量被称为随机变量的数字特征。 常用的数字特征：数学期待、方差、力矩、最频、中值、协方差、相关系数。 第一节随机变量的数学期望是，例1某工厂生产产品，一级品占50%，二级品占40%，次品占10%。 生产次品，工厂要亏一元，生产一级品，工厂要得两元利润，生产一级品，工厂要得一元利润。 如果大量生产了这样的产品，工厂的每个产品期望的利润是多少？x表示每个产品获得的利润，那是随机变量，其概率分布为：解：解：假设工厂一共生产了n个产品，其中一个产品是n1个，两个产品是n2个这n个产品获得的平均利润写为或，在大量的反复试验中n无限增大的情况下，频率的稳定值是概率，因此每个产品的平均利润接近，或者，工厂生产大量产品的情况下，可以期望每个产品获得1.3元的利润。 数值1.3称为随机变量x的数学期待或平均。一、离散型随机变量的数学期待，第一节随机变量的数学期待，注：第一节随机变量的数学期待，例如甲乙双方射击，x :甲中的环数y:b中的环数。 他们的命中数的分布律分别试问了哪个人的射击水平高。 设.二、连续型随机变量的数学期待、概率、密度函数、例3.3随机变量的密度函数为，求出的数学期待。 解以连续型随机变量的数学期待的定义、有、三、随机变量函数的数学期待、定理为随机变量，作为实函数，解、解、例3.5对例3.3中的随机变量、求、四、数学期待的性质，如果是(3)、(2)、(4)、(1)，特别是产品的寿命可以集中在9501050小时，一半产品的寿命可以集中在700小时，另一半产品的寿命可以集中在1300小时！ 虽然知道了随机变量的数学期待，对该随机变量有一定的理解，但是还不够！ /为了评价灯泡质量的好坏，有一种方法知道平均寿命是1000小时，但是不能完全确信质量的好坏，需要找到测量随机变量的相对偏差程度的量。随机变量的相对偏差程度可以测量多少？ 是随机变量，如果定义了(正负偏差被抵消)、和随机变量的数学期待，则也称为随机变量的方差，或称为标准偏差。 考虑到离散型随机变量，如果概率分布为，则为连续型随机变量，如果概率密度函数为，则在方差的计算中经常使用下式：方差的性质：(1)、(2)、(3)，例3 . 解是例3.3的结果，求出的方差、解的正规化是无量纲随机变量，在原始分布中心原点移动并分散因此，当时达到最小值，最小值为.第三节常用分布的数学期待和方差，一、常用离散型分布的数学期待和方差，退化分布：离散型随机变量只取常数，即2.0-1分布：离散型随机变量的概率分布为，因此3 .点处的均匀分布：4.2 离散型随机变量的概率分布是、即离散型随机变量的概率分布，因此，5 .几何分布：随机变量的概率分布是、6 .超几何分布：随机变量的概率分布是、(证明省略)、7 .泊松分布：随机变量的概率分布是、2、常用连续型分布的数学因此，2 .指数分布：连续型随机变量取决于参数的指数分布、密度函数、3 .正态分布：数学期望是随机变量，其密度函数、方差、方差、分布名概率分布数学0-1分布、个点均匀分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布名密度函数的数学期待方差、均匀分布、指数分布、正态分布、第四节随机变量的矩和切比雪夫不等式、第一、矩、矩是数学期待和方差的推进，在数学统计中有重要的应用。 定义：随机变量设定为正整数，如果存在的话在数学上是优选的。 的双曲正切值。(即)称为的步进原点力矩。 (1)离散型随机变量，概率分布，(2)连续型随机变量，密度函数，2，切比雪夫不等式，定理：对于随机变量，全部存在，任意，或者，切比雪夫不等式，随机变量为数学不等式越小，事件概率就越