12初一数学自招闵行耿老师班 等边三角形 教师

等边三角形（等边三角形（1） 第八讲 等边三角形 1 等边三角形的定义： “等边三角形”也被称为“正三角形” 2 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等；等边三角形的三个内角都等于 60. 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）等边三角形是轴 对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线.等边三 角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质. 3 等边三角形的判定：如果一个三角形满足下列任意一条，则它必必为等边三角形： 三边长度相等； 三个内角度数均为 60 度； 一个内角为 60 度的等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）. 1. 等边三角形 是 轴对称图形， 不是 中心对称图形. （填“是”或“不是” ） 2. 如图， 等边三角形 ABC 中，A的角平分线 AD 和B的角平分线 BE 交于点 F,则AFB= 120. 3. 在等边三角形 ABC 中，如果延长 BC 边到 D，使 CDBC，那么BAD 90. 4. （1） 如图， BD 为等边ABC 的边 AC 上的中线， E 为 BC 延长线上一点， 且 DB=DE， 若 AB=6cm， 则 CE= 3 cm 等边三角形（等边三角形（1） （2） 如图， 已知ABC是等边三角形， BD是AC边上的高， 延长BC到E， 使CECD， 说明DBDE 的理由 F D E C B A (第 2 题) （第 4 题） 5. 如图，在边长为 6 的等边三角形中，D 是 BC 边上一点，且 BD2DC，DEAB 于 E，DFBC 交 AC 于 F，BE2，求 AF 的长。 解：ABC 是等边三角形 A=B=C=60 BD=2DC, BC=6 BD=4,DC=2 BDECFD CF=BD=4 AF=2. 6. 如图，已知点 D、E 分别是等边ABC 的边 BC、CA 上的两点，且 BDCE，AD 与 BE 相交于点 P. 求证：ABDBCE 的理由； 求APE 的度数. 解： (1)ACAB CEBD CABC ABDBCE (SAS) (2)ABPBAPAPE =ABPEBC = 60ABC F E D CB A 等边三角形（等边三角形（1） 7. 如图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，且 A、E、D 三点在同一直线上，求证：BDCD AD. 解：CBDABEBDBEBCAB, ABE()CBD SAS BDCDDECD DEEA AD 8. 如图，C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 都是等边三角形，直线 AN、CM 交于点 E，直线 BM、 CN 交于点 F . （1）说明 ANBM 的理由； （2）为什么CEF 也是等边三角形？ 解：(1)ACN()MCB SAS BMAN (2)由(1)知 MBCANC ECN()FCB ASA CECF, 0 60ECF CEF为等边三角形 9. 如图已知等边三角形 ABC 内一点 D，DADC，ABC 外一点 P，CPCA，且 CD 平分BCP， 求P 的度数. 解：CPCACB CDCDBCDPCDCBCP, CPD()CBD SAS PDBC F E AB C M N D BC A P 等边三角形（等边三角形（1） BDBDDCADBCAB, ABD()CBD SSS 0 1 30 2 DBCDBA PABC 10. （1）如图，已知ABC 为等边三角形，点 D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上，且AFBDCE， 说明DEF 是等边三角形的理由 （2）如图，在（1）的条件下，分别联结 AD、BE、CF 这三条线段两两相交于点 M、N、P，说明 MNP 是等边三角形的理由 答案：（1）BDFCEDAFE，DFDEEF； （2）ABDBCE，BADCBE，60PMNBADABMEBCABMABC，同 理60MNP 11. 如图，在ABC 中，90BAC，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AD 于 F （1） 说明AEF 是等腰三角形的理由 （2） 需要增加怎样的条件，才能使AEF 是等边三角形？简要说明理由 答案：（1）BADC，ABECBE，AEFCBECABEBADAFE； （2）60ABC或30C 等边三角形（等边三角形（1） 1. 如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上，且 DEBC，EFAC， FDAB， 求证：DEF 是等边三角形. 解：ABC 是等边三角形 60ABC DEBC，EFAC，FDAB 90 30 60 BEDEFCADF BDEDFAFEC DEFDFEEDF DEF 是等边三角形. 2. 如图，已知ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，CDCE，DFBC. 求证：DF 平分BDE . 解：已知ABC 是等边三角形 60ABC BD 平分ABC,30DBC 120DCE , CDCE 30E DBE为等腰三角形 又 DFBE DF平分BDE(三线合一) 600 600 300 300 600 300 300 300 等边三角形（等边三角形（1） E DC B A 1. 在等边ABC 所在的平面内求一点 P，使PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，则具有这样性 质的点 P 最多有 10 个. 解： 首先，作出线段 BC 的中垂线，那么 P 只要在中垂线上，PBC 必为等腰三角形， 此时只要 使 PAB 为等腰三角形即可。 然后以 A 为圆心，AB 为半径画圆弧与中垂线有两个交点；再 以 B 为圆 心，BA 为半径画圆弧与中垂线有一个交点；最后 AB 的中垂线与 BC 的中垂线有 一个交点。这样在 BC 的中垂线上共有 4 个点。 那么在三条边的中垂线上共有 12 个点， 考虑到三角形的中心点被算了 3 次，所以共有 12-2=10 个点满足条件。 2. 已知等边ABC，延长 BC 至点 D，延长 BA 至点 E，并使 AEBD，求证：C