圆锥曲线一轮复习

如题 21 图，已知离心率为 3 2 的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 M（2，1） ，O 为坐 标原点，平行于 OM 的直线l交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 （1）求椭圆 C 的方程。 （2）证明：直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。 解：（）设椭圆C的方程为:)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题意得: 2 8 1 14 , 2 3 2 2 22 222 b a ba cba a c 椭圆方程为1 28 22 yx 5 分 （）由直线OMl /,可设mxyl 2 1 : 将式子代入椭圆C得: 0422 22 mmxx 设),(, ),( 2211 yxByxA,则,2 21 mxx42 2 21 mxx 设直线MA、MB的斜率分别为 1 k、 2 k，则 2 1 1 1 1 x y k 2 1 2 2 2 x y k8 分 下面只需证明：0 21 kk，事实上， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 21 x mx x mx kk 4)(2 4 1) 2 1 2 1 (1 2121 21 21 xxxx xx m xx m m10 4)2(242 42 2 mm m 故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形12 分 已知椭圆（）过点（0，2） ，离心率.1 2 2 2 2 b y a x 0 baM 3 6 e （）求椭圆的方程； （）设过定点（2，0）的直线 与椭圆相交于两点，且为锐角（其NlBA、AOB 中为坐标原点),求直线 倾斜角的取值范围.Ol 解：（）由题意得 3 6 , 2 a c b 结合，解得 222 cba12 2 a 所以，椭圆的方程为. 4 分1 412 22 yx （） 设，则.),(),( 2211 yxByxA),(OB),(OA 2211 yxyx 当时，不妨令 2 21 xx) 3 62 , 2(OB), 3 62 , 2(OA ，当斜率不存在时，为锐角成立 6 分0 3 4 3 8 4OBOAAOB 当时，设直线 的方程为： 21 xx l)2( xky 由 得 )2( 1 412 22 xky yx 12)2(3 222 xkx 即. 0121212)31 ( 2222 kxkxk 所以， 8 分 2 2 21 2 2 21 31 1212 , 31 12 k k xx k k xx 4)(2()2)(2( 2121 2 21 2 21 xxxxkxxkyy 2 24 2 4 2 24 31 412 31 24 31 1212 k kk k k k kk 10 分 2 2 31 8 k k 2121 OBOAyyxx 0 31 124 2 2 k k 解得. 12 分33kk、 综上，直线 倾斜角的取值范围是 . 13 分l) 3 2 , 3 ( 已知椭圆（）过点（0，2） ，离心率.1 2 2 2 2 b y a x 0 baM 3 6 e （）求椭圆的方程； （）设直线与椭圆相交于两点，求.1 xyBA、 AMB S 解：（）由题意得 3 6 , 2 a c b 结合，解得 222 cba12 2 a 所以，椭圆的方程为. 5 分1 412 22 yx （）由 得 6 分 1 1 412 22 xy yx 12) 1(3 22 xx 即，经验证. 0964 2 xx0 设.),(),( 2211 yxByxA 所以， 8 分 4 9 , 2 3 2121 xxxx ， 2 21 2 21 2 21 )2)()ABxxyyxx、 11 分 2 103 4) 2AB 21 2 21 xxxx（ 因为点到直线的距离， 13 分MAB 2 2 2 120 d 所以. 14 分 4 53 2 2 2 103 2 1 2 1 dABS AMB 已知椭圆 22 22 0 yx Cab ab ：+1 的离心率为 6 3 ，过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且( 13)B ，. （1）求椭圆 C 和直线 l 的方程； （2）记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D若曲线 222 2440 xmxyym与 D 有公共点，试求实数 m 的最小值 解:（1）由离心率 6 3 e ，得 22 6 3 ab a ，即 22 3ab. 2 分 又点( 13)B ，在椭圆 22 22 :1 yx C ab +上，即 22 22 ( 3)( 1) 1 ab +. 4 分 解 得 22 124ab，故所求椭圆方程为 22 1 124 yx . 5 分 由(2 0)( 13)AB ，得直线 l 的方程为2yx. 6 分 （2）曲线 222 2440 xmxyym，即圆 22 ()(2)8xmy，其圆心坐标为 (2)G m ，半径2 2r ，表示圆心在直线2y 上，半径为2 2的动圆.由于要求实数 m 的最小值，由图可知，只须考虑0m 的情形. 设GA与直线 l 相切于点 T，则由，得4m ， 10 分 |22| 2 2 2 m 当4m 时，过点( 42)G ，与直线 l 垂直的直线 l 的方程为60 xy，解方程组 60 20 xy xy ， 得( 24)T ，. 12 分 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2 ，所以切点TD，由图可知 当GA过点 B 时，m 取得最小值，即 22 ( 1)( 32)8m ，解得 min 71m . 14 分 、过点) 1 , 0(C的椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 ，椭圆与x轴交于两点 ，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线( ,0), (,0)A aBa AC与直线BD交于点Q （1）当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长； （2）当点P异于点B时，求证：OQOP为定值 设直线l的方程为) 2 1 0( 1kkkxy且 代入椭圆的方程，化简得08) 14( 22 kxxk，解得 14 8 0 2 21 k k xx或 代入直线l的方程，得 14 41 , 1 2 2 21 k k yy 所以，D的坐标为) 14 41 , 14 8 ( 2 2 2 k k k k 又直线AC的方程为1 2 y x ，直线BD的方程为)2( 42 21 x k k y 联立解得 12 4 ky kx 即) 12 ,4(kkQ 而P的坐标为) 0 , 1 ( k 所以4) 12 ,4() 0 , 1 (kk k OQOP即OQOP为定值 x y O P Q A M F1 B F2 N 设椭圆设椭圆：的左、右焦点分别是的左、右焦点分别是 1 C 22 22 1(0) xy ab ab ，下顶点为，下顶点为，线段，线段的中点为的中点为（为坐标原点）为坐标原点） ， 21,F FAOABO 如图若抛物线如图若抛物线：与与轴的交点为轴的交点为，且经过，且经过 2 C 2 1yxyB 21,F F 点点 （）求椭圆）求椭圆的方程；的方程； 1 C （）设）设，为抛物线为抛物线上的一动点，过点上的一动点，过点作抛作抛) 5 4 , 0( MN 2 CN 物线物线的切线交椭圆的切线交椭圆于于两点，求两点，求的最大值的最大值 2 C 1 CQP,MPQ 解：（解：（）由题意可知）由题意可知（0 0，-1-1） ，则，则（0 0，-2-2） ，故，故BA2b 令令得得即即，则，则 (-1(-1，0)0)，（1 1，0 0） ，故，故0y 2 10 x 1x 1 F 2 F1c 所以所以于是椭圆于是椭圆的方程为：的方程为： 222 5abc 1 C 22 1 54 xy （）设）设（） ，由于，由于知直线知直线的方程为：的方程为：N 2 ,1t t 2yxPQ 即即 2 (1)2 ()ytt xt 2 21ytxt 代入椭圆方程整理得：代入椭圆方程整理得：, , 22222 4(1 5 )20 (1)5(1)200txt txt = =, , 222222 400 (1)80(1 5 )(1)4tttt 42 80(183)tt , , , , 2 12 2 5 (1) 1 5 t t xx t 22 12 2 5(1)20 4(1 5 ) t x x t 故故 222 121212 1414 . ()4PQtxxtxxx x 242 2 514183 1 5 ttt t 设点设点到直线到直线的距离为的距离为，则，则MPQd 22 2 222 41 1 51 55 14145 14 tt t d ttt 所以，所以，的面积的面积S SMPQ 1 2 PQ d 2422 2 2 151418351 21 5 5 14 tttt t t 42 5 183 10 tt 22 5 (9)84 10 t 5105 84 105 x y O P Q A M F1 B F2 N x y O P Q A M F1 B F2 N 当当时取到时取到“=”“=” ，经检验此时，经检验此时，满足题意，满足题意3t 0 综上可知，综上可知，的面积的最大值为的面积的最大值为MPQ 105 5 已知点是离心率为的椭圆 C：上的一点。斜率为)2, 1 (A 2 2 )0( 1 2 2 2 2 ba a y b x 直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合。2 （）求椭圆 C 的方程； （）面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ABD 又点在椭圆上 ， )2, 1 (1 2 21 22 cc 2 2 c ， 椭圆方程为 4 分2a2b1 42 22 yx 0648 2 b2222b 7 分, 2 2 21 bxx 4 4 2 21 b xx 设为点到直线的距离， 9 分 dAbxy2 3 b d 10 分 22) 8( 4 2 2 1 bbdBDS ABD 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F,离心率 e= 2 2 ,M、N 是椭圆(2,0) 上的的动点。 （）求椭圆标准方程； （）设动点 P 满足：，直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 ，2OPOMON 问：是否存在定点，使得为定值？，若存在，求出 12 ,F F 12 PFPF 的坐标，若不存在，说明理由。 12 ,F F （）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴上的射影为，连接M,M NMxA 并延长交椭圆于点，证明：；NABMNMB 20.解：（）由题设可知：2 2 2,2 2 2 c ac c a 分 故3 分 222 2bac 故椭圆的标准方程为：4 分 22 1 42 xy （）设，由可得： 1122 (,),( ,),(,) pP P xyM x yN xy2OPOMON 5 分 12 12 2 . 2 P P xxx yyy 由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 可得： ，即6 分 12 12 1 2 y y x x 1212 20.x xy y 由可得： 22 222222 12121122 2222(2)(2) PP xyxxyyxyxy M、N 是椭圆上，故 2222 1122 24,24xyxy 故，即.8 分 22 28 PP xy 22 1 84 PP xy 由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点 P 到两定点距离 12 ( 2,0),(2,0)FF 和为定值;4 2 .9 分； （）设 1122 ( ,), (,)M x yB xy 由题设可 知.10 分 112212111 0,0,0,0, ( ,0),(,)xyxyxxA xNxy 由题设可知斜率存在且满足. AB l 121 121 2 NANB yyy kk xxx 12 分 121 121 11. MNMB yyy kk xxx 将代入可得： . 2222 21212211 22 212121 2()(2)(2) 11 MNMB yyyyxyxy kk xxxxxx 13 分 点在椭圆，故,M B 22 1 42 xy 2222 2211 2222 2121 (2)(2)44 10 MNMB xyxy kk xxxx 所以14 分101 MNMBMNMB kkkkMNMB 如图，正方形 ABCD 内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行， 22 22 1(0) xy ab ab 正方形 MNPQ 的顶点 M，N 在椭圆上，顶点 P，Q 在正方形的边 AB 上，且 A，M 都在第 一象限 （I）若正方形 ABCD 的边长为 4，且与轴交于 E，F 两点，正方形 MNPQ 的边长为 2y 求证：直线 AM 与ABE 的外接圆相切； 求椭圆的标准方程 （II）设椭圆的离心率为，直线 AM 的斜率为，求证：是定值ek 2 2ek （）依题意：，(2,2)A(4,1)M(0, 2)E(2, 1),( 2, 4)AMAE 3 分0AMAEAMAE 为外接圆直径直线与的外接圆相切； 5 分AERt ABEAMABE 由解得椭圆标准方程为 10 分 22 22 44 1 161 1 ab ab 22 1 205 xy （）设正方形的边长为，正方形的边长为，ABCD2sMNPQ2t 则，代入椭圆方程得( , )A s s(2 , )M st t 22 22 1 xy ab 14 分 22 22 22 22 1 (2 ) 1 ss ab stt ab 22 22 1 (3 ) 14 (3 ) st asst t bsst 2 2 2 5 1 4 bts e at 为定值 15 分 (2 )2 tsts k stst 2 22ek 设点 E、F 分别是椭圆的左、右焦点，过点 E 垂直于椭圆长轴的 22 22 :1(0) xy Cab ab 直线交椭圆于 A、B 两点，是正三角形。ABF （1）求椭圆的离心率； （2）过定点作直线 与椭圆 C 交于不同的两点 P、Q，且满足，(3,0)D l2DPQD O 是坐标原点。当的面积最大时，求椭圆的方程。OPQ 设点 E、F 分别是椭圆的左、右焦点，过点 E 垂直于椭圆长轴的 22 22 :1(0) xy Cab ab 直线交椭圆于 A、B 两点，是正三角形。ABF （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆 C 的焦距为 2，过点 P（3，0）且不与坐标轴重合的直线交椭圆 C 于 M、N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为，求证：直线过 x 轴一定点，并求MM N 此定点坐标。 已知抛物线的焦点为 Fxy4 2 （1）若直线 过点 M（4，0） ，且 F 到直线 的距离为 2，求直线 的方程；lll （2）设 A，B 为抛物线上两点，且 AB 不与 X 轴垂直，若线段 AB 中点的横坐标为 2.求证： 线段 AB 的垂直平分线恰过定点。 22 解：（1）由已知，x=4 不合题意。设直线 L 的方程为 ，)4( xky 由已知，抛物线 C 的焦点坐标为（1，0） ， 1 分 因为点 F 到直线 l 的距离为 2，所以， 2 1 |3| 2 k k 3 分 解得，所以直线 L 的斜率为. 5 52 k 5 52 5 分 所以直线 l 的方程为 )4( 5 52 xy 7 分 （2）设 A、B 坐标为 A（） ，B（） ， 11, y x 22, y x 因为 AB 不垂直于 x 轴，设直线 AB 的方程为， bkxy 8 分 联立方程，消去 y 得 bkxy xy4 2 ， 0)42( 222 bxbkxk 9 分 ， 2 21 24 k bk xx 因为 AB 中点的横坐标为 2，故4 24 2 k bk 整理得. k k b 2 22 由 AB 中点的坐标为（2，2k+b） 得 AB 垂直平分线的方程为：（） ， 12)2( 1 )2(x k bky 分 将代入方程（）并化简整理得： k k b 2 22 显然定点（4，0）. 04 kyx 线段 AB 的垂直平分线恰过定点（4，0） 14 分 .已知抛物线的顶点在坐标原点 O，焦点 F 在 x 正半轴上，倾斜角为锐角的直线 过 F 点。l 设直线 与抛物线交于 A、B 两点，与抛物线的准线交于 M 点，l . 0 ,其中FBMF （I）若，求直线 的斜率；1l （II）若点 A、B 在 x 轴上的射影分别为 A1、B1，且成等差数列，|2|,| |,| 11 FAOFFB 求的值。 依题意设抛物线方程为，),(),(),0(2 2221 2 yxByxAppxy 直线, 0, 0 yMkkl点的纵坐标为的斜率为 则的方程为l p x p F直线准线方程为, 2 ), 0 , 2 ( . 0 ), 2 (), 2 ( 20 yy p M p xky 因为,FBMF 即), 2 (),( 020 y p xyp 故). 2 ( 2 p xp （I）若得02), 2 (,1 22 2 22 ypxy p xp及由时 .3 , 2 3 2 2 py p x 故点 B 的坐标为).3, 2 3 (p p 所以直线 5 分. 3 22 3 03 pp p kkl BF 的斜率 （II）联立得y p xkypxy消去) 2 (,2 2 . 0 4 )2( 22 222 pk xppkxk 则. 4 2 21 p xx 又 7 分, 2 2 pp x 故 9 分. 42 ) 2 (4 4 2 2 2 1 p pp p x p x 因为成等差数列，|2|,| |,| 11 FAOFFB 所以. |2