06 梯形1教师版初一竞赛进度一

1 第 06 讲 梯形(1) 【梯形的定义】 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，较短的底 叫做上底，较长的底叫做下底。不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯 形的高。 【梯形的分类】 .梯形等腰梯形：两腰相等的 直角的梯形；直角梯形：有一个角是 特殊梯形 一般梯形 梯形 【等腰梯形的性质】 等腰梯形的两腰相等 等腰梯形同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形是轴对称图形 【等腰梯形的判定】 两腰相等的梯形 同一底上的两个角相等的梯形 两条对角线相等的梯形 【梯形中位线定理】 连结两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线平行于两底并且等于两底之和的一半。 【梯形面积公式】 mhbahS)( 2 1 梯形 （其中)( 2 1 bam为梯形中位线长，a、b分别为梯形上、下 底长） 【常见梯形中辅助线作法】 【例题讲解】【例题讲解】 【例题【例题1】如图，已知：在等腰梯形 ABCD 中，ADBC。 （1）若 AD=5，BC=11，梯形的高是 4，求梯形的周长； （2）若 AD=a，BC=b，梯形的高是h，求梯形的周长c； 2 （3）若 AD=3，BC=7，BD=25，求证：ACBD。 3 【例题【例题2】如图,等腰梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，C=30，求AD： BC的值 解：过 D 作 DFAB 交 BC 于 F，过 D 作 DEBC 于 E，则四边形 ABFD 为平行 四边形 设 AD=a，则 AD=BF=a BD 平分ABC， AD=AB=DF=DC=a 在 RtDEC 中，C=30， DE= 2 a ，EC= 3 2 a 又EC=DF= 3 2 a， BC=BF+EF+EC=a+ 3 2 a+ 3 2 a=（1+3）a AD：BC=a： （1+3）a=（3-1） ：2 【例题【例题3】已知一个梯形的 4 条边的长分别为 1、2、3、4，求此梯形的面积。 解：能围成梯形只有上下底分别为 1、4；腰长为 2、3。 如图，1 AB，4 DC，2 AD，3 BC 作BEAD，DCBF ,2 ADBE 设xEF ，则xCF 3 有 22222 CFBCEFBEBF ， 即 2 222 332xx ， 3 2 x， 3 24 BF， 3 210 S 【例题【例题4】如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，且 ACBD，AF 是梯形的高， 梯形有面积 2 49cm。求梯形的高。 EF C AB D 4 【例题【例题5】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 ACBD，且 AC=8cm，BD=6cm，求 此梯形的高。 【例题【例题6】 如图， 四边形 ABCD 是梯形， ADBC， ADBC， AB=AC 且 ABAC， BD=BC， AC，BD 交于 O，求BCD 的度数 提示：梯形高为底边一半，可得 30 DBC， 可得 75 BCDBDC, 【例题【例题7】如图所示，ABC 中，AB=AC，BD、CE分别为ABC、ACB的平分线，求证：四 边形EBCD为等腰梯形. 证明： 因为 AB=AC， 所以ABC=ACB， 所以1=2= 1 2 ABC. BC=CB. 所以EBCDCB (A.S.A.).所以 BE=CD.所以 AB-BE=AC-CD.所以ABC= AED= 0 180 2 A .所以，EDBC.又因为 BE 与 CD 交于点 A，即 EB 与 CD 不平行，所以四边形 EBCD 是梯形，又 BE=CD，所以四边形 EBCD 是等腰梯形. 【例题【例题8】如图， 在梯形 ABCD 中， ADBC， BD=CD， ABCD， 且ABC 为锐角， 若 AD=4， BC=12， E 为 BC 上一点， 问：当 CE 分别为何值时， 四边形 ABED 是等腰梯形？直角梯形？ 请分别说明理由。 5 【例题【例题9】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AD：BC=1：2，点 M 在边 AB 上使 AM：MB=3： 2，点 N 在边 CD 上使线段 MN 把梯形分成两部分的面积之比为 3：1，求 CN：ND 的值。 【例题【例题10】某市要在一块平行四边形 ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占 面积是平行四边形面积的一半， 并且四边形花园的四个顶点作为出入口， 要求出入口分别在 平行四边形 ABCD 的四条边上，请你设计两种方案： 方案（1） ：如图（1）所示，两个出入口 E,F 已确定，请在图（1）上画出符合要求的四 边形花园，并简要说明画法； 方案（2） ：如图（2）所示，一个出入口 M 已确定，请在图（2）上画出符合要求的四 边形花园，并简要说明画法。 6 【例题【例题11】如图，已知在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E 是 BC 边上一个动点（E 点不与 B,C 两点重合） ，EFBD 交 AC 于点 F，EGAC 交 BD 于点 G。 （1）求证：四边形 EFOG 的周长等于 2OB； （2）请你将上述题目的条件“在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC”改为另一种四边形， 其他条件不变，使得结论“四边形 EFOG 的周长等于 2OB”仍成立，并将改编后的题目画 出图形，写出已知、求证、不必证明。 7 【例题【例题12】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90 0，AD=24cm，BC=26cm，动点 P从A 开始沿AD边向D以每秒 1cm 的速度运动， 动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒 3cm 速度运 动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运 动时间为 t 秒，问：t 为何值时，四边形PQCD为（1）平行四边形？（2）等腰梯形？ 解： （1）当为平行四边形时，CQPD tt324 ，6 t 当t为 6 时是平行四边形。 （2）当为等腰梯形时，过 P 作 PEBC 于 E，作 DF BC 于 F， 则只要有CF=EQ就满足为等腰梯形， PEQ DFC ，可得 PQ=DC 由 CF=2， 264326 tttBQEBEQ 得2264 t，7 t，当t为 7 时，为梯形 AD BC P Q 8 【例题【例题13】如图，在两个直角梯形 ABPE 和 BCFP 中，A=AEP=C=CFP=90， BP=PE=PF=1，ABP+CBP=90。设 ABPE 和 BCFP 的面积分别等于 21,S S。 求证：. 21 21 SS 法一： 法二：设 AE=x，FC=y，由题意知道 1 )11 ( 2 1 )11 ( 2 1 21 yxxyyx yxxySS 再利用均值不等式和基本不等式： 22 , 2 2222 yxyx xy yx 以及1 22 yx 可得2 2 1 2 22 2 2222 21 yxyx SS。所以. 21 21 SS 9 作业 1. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，B=45。若 AD=2cm，AB=4cm，试求此梯 形的周长和面积。 10 2.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分ABC，BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E，F，G 分别是 AB，AD 的中点 （1）求证：EF=EG； （2）当