高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理

顺序1.算术级数和几何级数1.思想的基本数量：借助于方程的消去和求解，永久第一项(容差)比是基本量。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。2.算术级数和几何级数之间的关系1)如果数字序列是算术级数，数字序列是几何级数，公比，其中常数是公差。(a0和a1)；2)如果序列是几何级数，序列是算术级数，公差是，其中是常数，是公比。3)如果它既是算术级数又是几何级数，它就是非零常数序列。3.等价与几何级数的比较算术序列几何序列定义通用术语公式=(n-1)d=(n-k)d=dn -d求和公式中位数公式A=促销：2=。促销：自然1如果m n=p q，则如果m n=p q，那么。2如果它变成了A.P(其中)，它也是a. p如果它成为几何级数(其中)，它就成为几何级数。3变成算术级数。成为几何级数。4,4.典型案例分析问题1算术级数和几何级数之间的关系例1 (2010陕西16)已知an是公差不为零的算术级数，a1=1，a1、a3、a9是几何级数。(一)找到序列an的一般项；(ii)找到序列2an的前n个项和Sn。解决方案：(1)公差d0由问题可知。从a1=1，a1，a3，a9到几何级数=，解是d=1，d=0(省略)，因此an的通项an是1 (n-1) 1=n。(ii)从(i) know=2n，从几何级数的前n项和公式Sm=2 22 23 2n=2n 1-2。总结和扩展：数字序列是算术级数，而数字序列是几何级数。公比是常数，也就是公差。(a0和a1)。问题类型2与“前N项和序号及一般项an”和一般项通用公式的组合例2已知序列an的前三项对应于序列bn的前三项，并且A1 2A2 22A3 2N-1AN=8N适用于任何nN*，并且序列bn 1-bn是序列an和bn的通项公式。解决方案：a1 2a2 22a3 2n-1an=8n (n n *) 当n2时，a1 2 a2 22 a32n-2an-1=8(n-1)(nn *)- 2n-1an=8，an=24-n，如果n=1，则a1=8=24-1。 an=24-n (n n *)。从问题含义B1=8，B2=4，B3=2， B2-B1=-4，B3-B2=-2，序列bn 1-bn的容差是-2-(-4)=2， bn 1-bn=-4 (n-1) 2=2n-6。方法1(迭代法)bn=B1+(B2-B1)+(B3-B2)+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+(2n-8)=n2-7n+14(nN*)。方法2(累积法)即bn-bn-1=2n-8，bn-1-bn-2=2n-10，b3-b2=-2，b2-b1=-4，b1=8，加BN=8 (4) (-2) (2n-8)=8+=n2-7n+14(nN*)。概括和扩展：1)在序列an中，前n项与Sn和一般项an的关系是：是一个重要的试验场；2)应注意维塔定理；3)迭代法、累加法和累加乘法是求数列通项公式的常用方法。问题3中间项公式和最大值(序列具有函数的性质)例3 (2009汕头模式)在几何级数An中，An 0 (NN *)，公比q(0，1)，且A1A5 2a3A5 A2 A8=25，A3和as之间的中值等比是2。(1)找到序列an的通式；(2)如果bn=log2an，序列bn的前n项的和是sn，并且当Sn是最大值时，计算n的值。解决方案：(1)因为a1a5 2a3a5a2a8=25，2a3a5=25还有一个，a3 a5=5，a3与a5的等比例是2，因此a3a5=4q(0，1)，所以a3 a5，所以a3=4，a5=1，a1=16，所以，(2) bn=log2an=5-n，因此bn 1-bn=-1，因此，bn是一个算术级数，第一项为4，公差为-1。所以，因此，当n8， 0，当n=9，=0，n 9，0，当n=8或9时，最大值。总结和扩展：1)用搭配和单调性的方法找到序列的最大值；2)等差中位数和等比中位数。2.序列的前n项之和1.前N个术语和公式Sn的定义：Sn=a1 a2 an .2.顺序求和法(1)(1)公式法：1)算术数列的求和公式；2)等比数列的求和公式；3)可以转换成算术、几何级数序列；4)通用公式：；(2)分组求和法：将序列中的每一项分成多个项，或将序列中的项进行重组，将其转化为算术级数或几何级数，然后用算术和比例序列的求和公式求解。(3)逆序加法：如果序列an的两项之和等于第一个和最后一个端点之间的“距离”,等于或等于相同的常数，则该序列的前n项可以通过逆序加法相加。例如，算术级数的前N项之和就是用这种方法得出的。(4)拆分消项法：即将每一个项目拆分成正负两个项目，使正负两个项目相互抵消，只留下数量有限的项目，可以汇总。适用于不是0且c是常数的算术级数；一些不合理的级数，包括阶乘级数等。例如：1)和(在差异相等的情况下)可拆分的项目是：2).(当根公式在分母中时，可以考虑使用分母进行合理化，使用因子公式进行抵消和求和)裂缝项的通用公式：(1)；(2)；(3)；(4)(5)通用比例公式：3.典型实例分析问题类型1公式方法例1几何级数的前n项和sn=2n-p，然后=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解决方案：1)当n=1时；2)当时。因为序列是几何级数，所以因此，几何级数以1和2的比率领先于几何级数。因此，几何级数的第一项是1，男女之比是几何级数。总结与推广：1)算术序列的求和公式；2)等比数列的求和公式；3)它可以转换成算术和几何级数的编号顺序；4)常用公式：(见知识部分)。5)几何级数的性质：如果序列是几何级数，那么级数的和也是几何级数，第一项是，公比是，问题2分组求和法例2(丰台时期结束于2010年18日)中的序列，并且该点位于函数的图像上。(一)找到序列的通项公式；(ii)在数字序列中，第3、4、6、项目被依次提取以形成新的数字序列，并且数字序列的一般项目和前面项目的总和被尝试。解：(1)点在函数的图像上。，也就是说，数字序列是以前导项和2为容差的算术级数。(二)根据问题的含义：=.摘要和扩展：将序列中的每一项分成多个项，然后将序列中的项重新组合，将其转换为算术级数或几何级数，然后用算术和比例序列的求和公式求解。问题3分割项目消除方法例3(改编自2010年东城第二模型19)已知序列的前述段落之和为、集合。证明序列是几何级数；(二)满足数列，得到结果。证明：(一)由于(1)那时候，(1) (2)是的。所以。所以。因为，而且，因此。因此，数字序列是几何级数，第一项是公共比率。解决方法：(二)从(一)，然后()。汇总和扩展：拆分项目消除方法是将每个项目拆分为正项目和负项目，这样正项目和负项目会相互抵消，只留下有限数量的项目进行汇总。它适用于不是0且c是常数的算术级数；一些不合理的级数，包括阶乘级数等。例如：1)和(在差异相等的情况下)可拆分的项目是：2).(当根公式在分母中时，可以考虑使用分母进行合理化，使用因子公式进行抵消和求和)4.顺序求和法(2)(5)偏置减法：适用于差比序列(如果是等差、等比，则称之为差比序列)，即公比乘以每一项，一项向后错，再减去同一项，转换成几何级数求和。例如，几何级数的前N项之和就是用这种方法得到的。(6)累加(乘法)法(7)组合项求和法：一个序列的前N项之和可以求解问题5项目总和示例5查找=1002-992 982-972 22-12解决方案：=1002-992 982-972.22-12=(100 99) (98 97).(2 1)=5050。问题6累积(乘法)法和其他方法：归纳、猜想和证明；周期级数求和等例6求和。解决方案：由于(寻找通用术语和特征)(组的总和)=6.归纳和总结虽然上述八种方法各有特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，以便用等差数列或等比例数列的求和公式和其他已知的基本求和公式来消除或求解。只要很好地掌握了这条规则，序列的求和就变得困难和容易解决。3.序列的通项公式1.序列的通项公式如果序列an的和之间的函数关系可以用公式an=f (n)来表示，我们将把这个公式称为这个序列的通项公式。2.通项公式(1)的解法(1)定义法和观察法(似是而非的推理：不完全归纳法):直接利用算术级数或几何级数的定义来寻找一般术语的方法称为定义法，适用于已知序列类型的主题；有些级数可以根据前几项来观察通项公式。(2)公式法：在序列an中，前n项与Sn和一般项an的关系是：(序列的前N项之和为)。(3)周期序列前几项通过递推公式计算得出周期。(4)通过递归找到序列的通项类型1的重复公式为解决方法：将原来的递推公式转化为累加法(相位差相加)求解。类型2 (1)的递归公式为解决方案：将原始的递归公式转换为累积乘法(商对商乘法)并求解。(2)由和确定的递归序列的通项可以如下获得：根据已知的递归公式，被向前逐个替换，这是迭代法的基本模式。类型3的递归公式是(其中p和q是常数)。解：将原递推公式转化为：其中，代换法转化为解的几何级数。3.典型实例分析问题类型1周期序列例1如果序列满足，如果满足，则=_ _ _ _。回答：摘要和扩展：前几项是通过递归公式计算得出的周期。问题2递推公式是为了找到通项示例2已知的数字序列满足、和。解决方案：了解条件：分别代入上述方程，得到一个要累加的方程，即因此,摘要和扩展：使用累加方法时，应特别注意项目的数量，这在计算中容易出错。问题3递推公式是为了找到通项示例3已知的数字序列满足、和。解决方法：从已知的条件出发，分别代入上述方程，得到一个要相乘的方程，即再说一遍，摘要和扩展：当使用累积乘法时，应特别注意项目的数量，这在计算中容易出错。问题4递推公式是(其中p和q是常数)，并且找到了一般项例4在数字序列中，当时有一个寻找的通用公式。解决方案1:设置，也就是说，有，比较，得到，然后得到，数字的顺序是几何级数，以前导项和3为公比，所以有。解决方案2:从已知的递推公式中，减去上述两个公式，从而得出序列是一个前导项和公共比率为3的几何级数。就是这样。总结和扩展：对这种序列的解决方法是把它构造成一个新的几何级数，然后利用几何级数的性质来解决它。有两种方法来构建它。一种是用待定系数法构造它。另一个是设置、扩展和排列它。因此，比较系数是几何级数，公共比率，第一项是。第二种是用差分法直接构造，这两个公式被相减，所以它是公比的几何级数。我们也可以使用“归纳-猜想-证明”的方法，这也是近年来被测试了很多的一类问题。4.构造性方法是解决一些数学问题的过程，通过对条件和结论的充分分析，有时一个适当的辅助模型，如某个定量关系、某个直观图形或反例，与它相关联以促进命题转换并产生一种新的问题解决方法。这种思维方式的特点是“建构”。如果已知条件给出的数列递推公式需要数列的通项公式，这样的问题通常是困难的，但构造方法的使用往往给人一种新鲜的感觉。1)构造算术级数或几何级数由于算术级数和几何级数的通式，对于一些递归数列问题，构造算术级数或几何级数显然是一种有效的方法。2)构造差分公式和求和公式解决这个问题的基本思想是构造一个序列的两个相邻项之间的差，然后用叠加法得到这个序列的通项公式。3)建筑商和产品这也是一个简单的方法来构造一个序列的两个相邻项的商，然后将它们相乘。4)构造对数公式或倒数公式一些序列可以通过对数和代数倒数变换由复杂变为简单，从而解决了这个问题。(6)归纳猜想的证明数学归纳(7)给定序列上一段的乘积Tn，Tn-1一般可以找到，然后AN=(注：我们不能忘记讨论)。例如，在该系列中，对于所有人，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。四、典型实例分析(问题5)构造：1)算术级数或几何级数的构造例5将一个数字序列的前n项之和设置为，对于任何正整数n，都有一个等式：保持，找到通项。解决方案：，.公差为2的算术级数。总结与推广：显然，作为算术级数和几何级数的通项公式，它无疑是构造某些递归数列问题的算术级数或几何级数的有效方法。问题6构造方法：2)