以“蚂蚁吃糖”的最短路径为例话建模

以“蚂蚁吃糖”的最短路径为例话建模课改十年来，广大数学教师对数学建模在认识上还知之甚少或重视不够，在实践中还感到难以施展甚至一筹莫展.因此，颇有必要对如何建立数学模型展开研讨与交流.笔者认为数学建模的过程应倡导“问题情境建立模型诊释模型变式拓展实践应用”的教学模式.本文试以“蚂蚁吃糖的最短路径问题”为例，对数学建模教学进行探讨. 1.建模的重要意义.把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学建模，被抽象的数学问题叫数学模型.数学模型能解释特定现象的现实状态，能预测对象的未来状况，能提供处理对象最有效的决策.在数学教育中开展数学建模的教育，能培养学生对解决问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识，培养学生不断进取和不怕困难的良好学风，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力，培养学生的团结协作精神和数学素养. 2.建模的一般方法.根据课程标准，教材向学生提供了大量现实、有趣、富有挑战性的学习内容，这些内容以“问题情境建立模型让释模型变式拓展实践应用”的基本形式呈现，这也正是建立数学模型的常用方法.问题情境.将现实生活中的问题引进课堂，根据问题的特征和目的，对问题进行简化，并用精确的数学语言加以描述.建立模型.在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画事物之间的数量关系或内部关系，建立相应的数学结构.诊释模型.对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的科学性.变式拓展.将已求得的数学模型进行变形，拓展引申到相应的问题之中，用求得的模型来解释新的问题.实践应用.将求得的模型应用到对应的实际问题之中，使原本复杂的问题得以简化.三、建模的典型示例1.模型引入孕育一个现实的问题.目自。引例如图1，蚂蚁在一只圆柱形杯子的底部边沿某处，糖粘在内底边沿的正对面处，能找到蚂蚁从外面爬进杯子里去享受佳肴的最短路径吗?设计意图:蚂蚁和糖分别处在杯子的“内层”和“外层”，此题具有很强的挑战性，由此可以引发学生强烈的求知欲望. 2.模型识别联想一个熟悉的问题.笔者当时也觉得此题很有挑战性，后来细想，其实这个问题的解决思想在课本上已有所体现.人教版数学七年级上册第134页作业第10题:如图2，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到点B，怎样爬行路线最短? 分析这是数学中一个很有趣的“蚂蚁吃糖“问题，据说昆虫有一种天性，它的嗅觉特灵，似乎很擅长于数学中的几何学，总能选择一种最佳路线去获取食物.那么最短路径在何方呢?由于两点之间线段最短，而现在的两点是在立方体上，因此有必要把三维空间转化为二维平面.不妨把右侧面绕侧棱顺时针旋转90“，使它与正面在同一个平面内接成一个矩形，再连接AC交侧棱于点O，连接OB，则路线AOB就是最短路线(如图3).又由于不同的侧面都可展开，每个侧面都全等，因此共有6条相等长度的路线，设计意图:此题来自教材，学生都很熟悉，并且解决此题的办法是学生十分熟悉的公理“两点之间线段最短”的简单应用.3.模型提炼引申这个熟悉的问题.立方体上蚂蚁吃糖的问题如此，长方体上蚂蚁吃糖问题又会怎样?笔者不由的想起了杜登尼，19世纪英国著名的迷题创作者，“蚂蚁吃糖”其实来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇的问题”:如图4，在一个长、宽、高分别为3m、2m、2m的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板0.lm处(点A处) 苍蝇在对面墙的中间，离地面0.lm处(点B处)，试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短距离是多少?分析把长方体的侧面展开后归纳起来可以分4种情况:(1)如图5，AB=0.1+3+1.9=5(m);(2);(3) ;(4) .经过比较，可知第一种情况的路径最短.由此我们发现:(1)当长、高相等时横向展开和纵向展开所求得的路程远近相同，即长、高相等两路皆近;(2)高“小”纵向展开走的路近，长“小”横向展开走的路近，即谁小走谁近于是，针对引例中的问题，估计会有这么一个想法:如图9，糖粘在杯子的外表面就简单了，如粘在正外对面的B处，可以把圆柱(半径为3cm，高为5cm)沿着点A所在的侧棱进行侧面展开，于是得到一个矩形，糖就粘在杯子上边沿圆周长一半处. 设计意图:有上例作铺垫，通过转化得到一个“最短路线极值模型”:把立体图形沿侧面展开，利用“两点之间线段最短”，求最短路径.4.模型分析一一化归这个熟悉的问题.可是题目中的糖却粘在正对面的内表面处，这时思路的关键是把圆柱形杯子侧面看成里外两层，好比一张矩形的纸上下对折后，对折线当作杯子的上边沿，再让左右两边重合卷出来的圆柱形杯子，让蚂蚁停在外一层矩形的下底边的左端点处，糖粘在里一层矩形的下底边的中点处.解题时需把折进去的里层拉出来，原圆柱就变成高度是原来的2倍，底面一样的新圆柱，再把新圆柱沿着点A所在母线侧面展开，那么蚂蚁还在A处，糖就跑到了B处(如图10)，如是最短路径就是这个展开矩形上的线段AB，因此，蚂蚁至少要爬约13.scm才能享受佳肴. 设计意图:通过对“正方体”和“长方体”表面最短路径的探讨，让学生在模仿解答的过程中，进一步熟悉“圈柱体表面最短路径”模型的特征及其解.5.模型拓展一一祠示这个熟悉的问题. 多次重复和简单的模仿并不能真正掌握一个数学模型，只有掌握了模型的特征和本质，才能熟练、灵活地应用数学模型，因此，模仿之后的延伸和拓展(意在揭示模型的本质)是数学模型教学过程中不可或缺的一环，它是模型通往应用与创新的前提.笔者在此不由的又想起了人教版八年级下册89页“拓广探究”栏目第8题:已知，如图1l(左)，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少(精确到0.Icm分析将圆柱体沿过点A的母线AC剪开并展开在同一平面上，得到图11(右)，.但若将圆柱的底面半径改为10cm，高改为6cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少?根据上述求法得:但是如果蚂蚁先沿母线AC由AC，然后在上底面沿直径CB由CB，路径长为:6+210=26(cm).根据上面的计算发现，圆柱体的高和底面直径发生变化时，最短路径也可能发生变化，不妨设高为h，底面半径为r，则: (1)若沿AC剪开蚂蚁在侧面上爬行“线段AB”，路径长为: (2)蚂蚁先沿图12母线AC由AC，然后在上底面沿直径CB由CB，路径长为:L2=h+2r，分别将Ll和L2平方后得: =h2+ (h是常数)，由此可知，d是;的二次函数，且它的图象与横轴的两个交点的坐标是(0，0)，(如图12所示)可得如下结论:(1)当0r4h矿一4时，do，即斌瑞，则Ll一4h铲一4时，d0，即L圣LI，则LlL:，此时，先沿母线由AoC，再沿直径由C弓刀，路径最短;设计意图:改变圆柱体的底面圆半径和高，问题的本质虽然没有发生变化，但受“底圆半径和高”的影响，最短路径可能会发生变化，让学生进一步探讨. 6.模型推广解决一类相似的问题.形式化是数学的基本特征之一，数学的魅力不仅仅表现在实际生活中的广泛应用上，还表现在数学在培养学生思维自幼上，有着其它学科不可替代的作用.注重数学模型在数学问题中应用，既可以升华学生对模型本质的认识，提高解题能力，又能有效的培养学生的逻辑推理能力和良好的思维品质，面对问题时能主动尝试着从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，培养学生的应用意识和建模能力.一般地，求一个多面体沿表面两点的最短距离的方法是:沿两个点所在平面的公共棱展开成平面图形;求一个旋转体(除球外)沿表面两点的最短距离的方法是:沿旋转体的某条母线展开成平面图形(还要考虑高和底面圆的直径对路径长的影响):如果不涉及内外两层的情况，只要在上述展开的基础上，再把内外两层沿边线对称地展开成平面，进而化归为平面内两点之间线段最短的问题，方法都是“展平”.笔者通过模型引入、识别、提炼、分析、拓展、推广等方法启发、诱导学生，其目的是为了让学生亲身经历知识的发生、发展、形成与应用的过