第三课时 圆周角定理及其推论的应用.ppt

第三课时圆周角定理及其应用,圆周角,学习目标,理解并掌握圆周角的定义.掌握圆周角的性质及定理.,定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.,究竟什么样的角是圆周角呢？,一、认识圆周角,要点：1.顶点在圆上2.两边与圆相交,辨一辨：指出下图中的圆周角,如图，线段AB是O的直径，点C是O上任意一点（除点A、B）那么ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看,ACB会是怎么样的角？为什么呢？,1、直径所对的圆周角,2,1,二、探索与圆周角有关的性质,.1.gsp,直径所对的圆周角等于90（直角）.,反过来也是成立的，即:,90的圆周角所对的弦是直径.,性质1：,练习如图，AB为O的直径，A=80，求ABC的度数.,A,B,O,在圆O中任意画出一个圆周角ACB(弧AB为劣弧)再画出弧AB所对的圆心角，即AOB.,用你所学过的知识比较一下ACB与AOB,你会发现什么？,2、探索：同弧所对的圆周角与圆心角的关系.,二、探索与圆周角有关的性质,.gsp,圆心在角的一边上,圆心在角的内部,圆心在角的外部,圆周角与圆心的位置关系有以下三种情况：,同弧(或等弧)所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,同弧或等弧所对的圆周角都相等.,性质2：,在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,在同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等.,圆周角定理的内容:1、半圆或直径所对的圆周角是直角；2、90的圆周角所对的弦是直径；3、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；4、同弧或等弧所对的圆周角相等；5、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；（等弧-等角，直径直角三角形）,.gsp,内容小结：,练习一：,2.如图,圆心角AOB=100，则ACB=.,1.求圆中角X的度数.,3.如图,在直径为AB的半圆中,点O为圆心,点C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_.,证明：,ABC=APC=60BAC=CPB=60.,(同弧所对的圆周角相等）,ABC等边三角形.,4.如图P是ABC的外接圆上的一点,APC=CPB=600,判断ABC形状.,5.已知:如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E.求证：,BD=DE,O,证明：连结AD.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）.,5.已知：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E.求证：,BD=DE,圆周角定理的作用：（1）直径直角（垂直关系）；（2）圆周角-圆心角；（3）同弧等圆周角，等弧等圆周角.,与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角(等角),.gsp,练习二,1.如图,在O中,BOC=50,A=.2如图,在O中,ABAC,ABC70.BOC=.3.在O中,弦BC=2,A=30,则O的半径为.4.在O中,弦BC=2,A=45,则O的半径为.,.如图,在O中,BAD=70,求C的大小.,5.圆的内接四边形的对角互补.,6.如图:四边形ABCD内接于,求BOD.,A,B,D,C,O,圆的内接四边形的对角互补.并且一个外角等于它的内对角.,画图分析几个相关的结论：1.圆的内接平行四边形是；2.圆内两条平行弦所夹的弧；3.圆的内接梯形是；,圆的两条平行弦所夹的弧相等.,几个与圆周角相关的结论：1.圆的内接平行四边形是矩形；2.圆的内接梯形是等腰梯形；3.圆内两条平行弦所夹的弧相等；4.圆的内接四边形的对角互补.并且一个外角等于它的内对角.,关于圆周角定理的训练（1）,1.OA是圆O的半径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AB交于点D，判断AD与BD的关系,说明理由.,2.已知：在O中，AB=CD，求证：ABD=CDB.,3.AB、AC是O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB.若ADB=40，求BOC.,4AB是的直径，BD是的弦，延长BD到点C，使CD=BD，连接AC判断AB与AC的关系,说明理由.,O,5.点A、B、C在半径为2cm的圆上，若BC=2cm，求BAC的度数.（画图分析后进行计算）,与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角(等角),.gsp,关于圆周角定理的训练（2）作业本,1、已知：点A、B、C三点在O上，AD是ABC的高，AE是圆O的直径（1）求证：ABAC=AEAD；（2）若F为BC的中点，求证：AF平分DAE.,2、在圆的内接ABC中，AB+AC=12，ADBC于D，且AD=3，设O的半径为y，AB的长为x.（1）用含x的代数式表示y；（2）当AB长为多少时，O的面积最大？并求出最大面积.,3、已知：点A、B、C在O上，AB=AC，点D是BC边上一点，点E是直线AD和圆的交点.（1）探索：AB、AD、AE之间的关系.（2）当D为BC延长线上一点时，上述结论还成立吗？如果成立，请画图给予证明；若不成立，说明理由.,4、已知BC为半圆O的直径，点F为半圆上异于B、C的一点，点A是BF的中点，ADBC于点D，BF交AD于点E.求证：（1）AE=BE；（2）BEBF=BDBC.,5.如图：已知BC为的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE（）求证：AB=AF（）若sinFBC,与圆周角有关的辅助线：过圆上某点作直径，连结过直径端点的弦：构造直角三角形；构造同弧所对的圆周角(等角),.gsp,备用,驶向胜利的彼岸,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即ABC=AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,驶向胜利的彼岸,圆周角和圆心角的关系,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,老师提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD=AOD,CBD=COD,驶向胜利的彼岸,圆周角和圆心角的关系,如果圆