第07章 应力与应变分析(2009版)

第7章（目录）,材料力学,第七章应力与应变分析,7.1一点的应力状态,7.2平面应力状态分析,7.3三向应力状态下的最大应力,7.4任意点的应变及应变分量的坐标变换*,7.5平面应变状态分析,7.6广义胡克定律,7.7复杂应力状态下的应变比能,第七章应力与应变分析,7.1一点的应力状态（目录）,7.1一点的应力状态,一、概述,二、一点的应力状态,三、应力状态的表示方法,四、应力状态的分类,五、应力状态的实例,7.1一点的应力状态,一、概述,前面讨论了：,杆件在基本变形情况下横截面上的应力,并根据横截面上的最大应力建立了强度条件,例如：,一、概述,7.1一点的应力状态,一、概述（四种基本变形下的强度条件）,1.轴向拉伸(压缩),2.剪切,4.弯曲,3.扭转,7.1一点的应力状态,一、概述（横截面的破坏）,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的,例如：,铸铁在拉伸时,低碳钢在扭转时,7.1一点的应力状态,一、概述（斜截面的破坏）,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的,另一些杆件是沿斜截面破坏的,例如：,铸铁在压缩时,铸铁在扭转时,前面所建立的强度条件不能解释这类构件的破坏原因,7.1一点的应力状态,一、概述（斜截面的破坏）,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的,另一些杆件是沿斜截面破坏的,例如：,铸铁在压缩时,铸铁在扭转时,必须建立新的强度条件，必须研究斜截面上的应力,7.1一点的应力状态,二、一点的应力状态（不同点的应力）,在弯曲变形时，梁横截面上的应力：,不同点的应力情况是不一样的,二、一点的应力状态,上述表明：,7.1一点的应力状态,二、一点的应力状态（不同截面上的应力）,轴向拉伸(压缩)时，斜截面上的应力：,不同斜截面上的应力情况也是不一样的,任意两个斜截面上的应力有必然的联系,二、一点的应力状态,上述表明：,7.1一点的应力状态,二、一点的应力状态（定义）,一点的应力状态：,受力杆件内任一点在各个截面上应力状况的集合,称为该点的应力状态。,例如：在轴向拉伸(压缩)时,由于铸铁的抗切能力较弱,铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由max引起的,7.1一点的应力状态,三、应力状态的表示方法（单元体）,单元体,边长为无穷小的正六面体,单元体的特点：,1.边长无穷小，相邻面垂直，对面平行；,2.各面上的应力均匀分布；,3.相平行面上的应力相等。,三、应力状态的表示方法,7.1一点的应力状态,三、应力状态的表示方法（单元体的取法）,围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力,表示方法：,7.1一点的应力状态,三、应力状态的表示方法（单元体的取法）,围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力,表示方法：,7.1一点的应力状态,三、应力状态的表示方法（主平面、主应力）,主平面,主应力,围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力,表示方法：,切应力为零的平面,主平面上的正应力,7.1一点的应力状态,三、应力状态的表示方法（主应力的规定）,可以证明：,受力构件内任一点可以找到三个相互垂直的主平面,即：受力构件内任一点有三个主应力,主单元体,规定：主应力按代数值大小排列成,受主应力作用的单元体,7.1一点的应力状态,四、应力状态的分类,单向应力状态,只有一个主应力不等于零的应力状态,二向应力状态,有二个主应力不等于零的应力状态,三向应力状态,三个主应力都不为零的应力状态,四、应力状态的分类,7.1一点的应力状态,四、应力状态的分类,单向应力状态,简单应力状态,二向应力状态,平面应力状态,三向应力状态,空间应力状态,复杂应力状态,四、应力状态的分类,7.1一点的应力状态,五、应力状态的实例（1.单向应力状态）,1.单向应力状态,轴向拉伸杆件内的任一点,五、应力状态的实例,7.1一点的应力状态,五、应力状态的实例（2.二向应力状态）,锅炉或薄壁圆筒(tD)压力容器壁上的任一点,轴向应力：,环向应力：,2.二向应力状态,7.1一点的应力状态,五、应力状态的实例（3.三向应力状态）,在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点A,3.三向应力状态,第七章应力与应变分析,7.2平面应力状态分析（目录）,7.2平面应力状态分析,一、概述,二、平面应力状态分析的解析法,三、平面应力状态分析的图解法,7.2平面应力状态分析,一、概述,平面应力状态是工程中常见的应力状态，例如：,1.扭转的轴,2.平面弯曲的梁,3.受内压的薄壁圆筒,一、概述,7.2平面应力状态分析,一、概述,扭转的轴：,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,二、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态通常用平面图形表示,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,规定：,正应力拉为正,压为负,切应力绕研究体顺时针转为正,逆时针转为负,切应力的第一个下标表示作用面,第二个下标表示方向,二、平面应力状态分析的解析法,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,规定：,用截面法求斜截面be上的应力,以x轴逆时针转到x轴时为+,1.任一斜截面上的应力,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,规定：,用截面法求斜截面be上的应力,以x轴逆时针转到x轴时为+,1.任一斜截面上的应力,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,即斜截面上的应力为,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,即斜截面上的应力为,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,即斜截面上的应力为,结论1任意相互垂直平面上的正应力之和为常量,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(1)正应力发生极值的方向,令,得到,2.极值正应力与主平面,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(2)主平面的方位,结论2主应力就是极值正应力,结论3主应力(即主平面)是相互垂直的,(1)正应力发生极值的方向,2.极值正应力与主平面,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(3)极值正应力的大小,2.极值正应力与主平面,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(4)极值正应力与主平面的对应关系,max的指向朝着xy指向的那一侧,2.极值正应力与主平面,(3)极值正应力的大小,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(1)切应力发生极值的方向,令,得到,3.极值切应力,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,(3)极值切应力的大小,(2)极值切应力的方位,3.极值切应力,(1)切应力发生极值的方向,7.2平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,3.极值切应力,7.2平面应力状态分析,例1,解：,时的破坏原因。,试样内任一点处于纯剪切应力状态,纯剪切应力状态为二向应力状态,铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏,例1讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭,取单元体,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,由,有,圆的方程,圆心为,半径为,的圆,应力圆,莫尔圆,应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应,1.原理,三、平面应力状态分析的图解法,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,2.应力圆的画法,(1)选取平面直角坐标系；,(2)按比例标出D1(x,xy)和D2(y,yx)两点；,(3)用直线连接D1和D2两点，交轴于C点；,(4)以C为圆心，以CD1或CD2为半径画圆，即得应力圆,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,证明：由此画出的圆为应力圆,圆心：,半径：,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,注意：单元体上逆时针转应力圆上逆时针转2,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,(3)利用应力圆确定极值切应力及其作用面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2平面应力状态分析,例2（解析法）,例2试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的,解：,主应力和主平面方位,1.取单元体,2.求主应力和主平面的方位,(1)解析法,极值应力：,主应力：,主平面：,7.2平面应力状态分析,例2（图解法）,(2)图解法,主应力：,主平面：,画应力圆,例2试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的,解：,主应力和主平面方位,1.取单元体,2.求主应力和主平面的方位,第七章应力与应变分析,7.3三向应力状态下的最大应力（目录）,7.3三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,二、最大切应力,7.3三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,已知1、2、3,与3的主平面垂直的斜截面上的应力仅与1和2有关,与1的主平面垂直的斜截面上的应力仅与2和3有关,与2的主平面垂直的斜截面上的应力仅与3和1有关,一、应力圆,7.3三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,研究表明：,任意斜截面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,一、应力圆,7.3三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,研究表明：,任意斜截面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,一、应力圆,7.3三向应力状态下的最大应力,二、最大切应力,由应力圆可知：,二、最大切应力,7.3三向应力状态下的最大应力,二、最大切应力,注意区别：,一点的最大切应力,平面应力状态中的极值切应力,二、最大切应力,7.3三向应力状态下的最大应力,例3,解：,主应力：,最大切应力：,(a),对(b)：,(b),(c),对(a)：,例3试求图示应力状态的主应力和最大切应力。,第七章应力与应变分析,7.5平面应变状态分析（目录）,7.5平面应变状态分析,一、应变状态的概念,二、平面应变状态分析的解析法,三、平面应变状态分析的图析法,四、主应变,五、极值切应变,六、由一点的任意三个方向线应变求主应变,7.5平面应变状态分析,一、平面应变的概念,一、平面应变的概念,一点的应变状态,平面应变状态,实验应力分析方法：,平面内的应变状态,(1)用电阻应变计测出构件表面某点几个方向的线应变,(2)对该点进行应变状态分析,(3)根据胡克定律求出该点的应力状态,构件自由表面上的点的应变一般处于平面应变状态,情况的集合,受力构件内一点沿各个方向应变,构件内某点的应变仅发生在同一,7.5平面应变状态分析,一、平面应变的概念,一、平面应变的概念,规定：,正应变(线应变)：伸长为正，缩短为负,切应变(角应变)：使直角增大为正，减小为负,7.5平面应变状态分析,一、平面应变的概念,分析内容：,已知：O点的x、y、xy,求：O点的x、y、xy,2.图解法,分析方法：,规定：逆时针为正，顺时针为负。,1.解析法,7.5平面应变状态分析,二、平面应变状态分析的解析法,二、平面应变状态分析的解析法,2.切应变,y轴的转角(顺时针方向),应用叠加原理,7.5平面应变状态分析,二、平面应变状态分析的解析法,方向的应变为,截面上的应力为,二、平面应变状态分析的解析法,7.5平面应变状态分析,三、平面应变状态分析的图解法,三、平面应变状态分析的图解法,选取平面直角坐标系,应变圆,7.5平面应变状态分析,四、主应变,四、极值线应变(主应变),主应变,该两个方向的线应变,由应变圆可知：,一点某两个垂直方向之间的切应变为零时,一点的极值线应变即为一点的主应变,7.5平面应变状态分析,四、主应变,四、极值线应变(主应变),极值线应变的大小：,极值线应变的方向：,主应变的方向是相互垂直的,对于各向同性材料，主应变的方向与主应力的方向相同,7.5平面应变状态分析,五、极值切应变,五、极值切应变,极值切应变的大小：,极值切应变的方向：,与主应变方向成45,7.5平面应变状态分析,六、由任意三个方向线应变求主应变,六、由任意三个方向线应变求主应变,方向的应变为,即：一点的应变可由x、y、xy(或max、min、0)三个量描述,7.5平面应变状态分析,六、由任意三个方向线应变求主应变,六、由任意三个方向线应变求主应变,在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个,先确定出x、y、xy，再求出该点的主应变及其方向,不同方向的线应变,7.5平面应变状态分析,六、由任意三个方向线应变求主应变,六、由任意三个方向线应变求主应变,在实验应力分析中，通常测出构件表面某点沿三个,例如：直角应变花,不同方向的线应变,(1=0，2=45，3=90),第七章应力与应变分析,7.6广义胡克定律（目录）,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律,二、E、G之间的关系,三、体积应变,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（1.单向应力状态，2.纯剪切应力状态）,一、广义胡克定律,1.单向应力状态,或,2.纯剪切应力状态,或,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，（1）主应力情况）,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，（1）主应力情况）,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，（1）主应力情况）,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,用主应力和主应变表示的广义胡克定律,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，（2）一般应力情况）,3.复杂应力状态,(2)一般应力情况,对于各向同性材料：,线应变只与正应力有关,切应变只与切应力有关,广义胡克定律,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，两种平面状态）,3.复杂应力状态,平面应力状态,平面应变状态,(3)两种平面状态,当,当,7.6广义胡克定律,一、广义胡克定律（3.复杂应力状态，平面应力状态）,3.复杂应力状态,对于平面应力状态：,或,7.6广义胡克定律,二、E、G之间的关系,二、E、G之间的关系,对于纯剪切应力状态：,一方面：,(a),另一方面：,(b),由(a)和(b)：,7.6广义胡克定律,三、体积应变,三、体积应变,体积应变,变形后：,变形前：,单位体积的体积改变,7.6广义胡克定律,三、体积应变,略去高阶微量,体积应变,三、体积应变,体积应变,变形后：,变形前：,单位体积的体积改变,7.6广义胡克定律,三、体积应变,将广义胡克定律代入