矩母函数PPT课件

.,1,条件期望、矩母函数,山东财经大学保险学院谭璐,.,2,主要内容,一、条件期望二、混合分布三、矩母函数四、特征函数,.,3,一、条件期望,给定变量Y时，在X上的概率分布对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率分布也能求期望，称为条件期望,.,4,：数字：y的函数。在知道y的值之前，不知道：随机变量，当Y=y时，的值：随机变量,.,5,假定对采样，在给定x后，在对采样直观地，期望事实上，对，有得到期望因而注意：是随机变量，当时，其值为思考题：当X与Y独立时，的值？,.,6,定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则更一般地，对任意函数证明：利用条件期望的定义和,与Y有关的随机变量,.,7,怎样计算？一种方法是计算联合密度，然后计算另一种更简单的方法是分两步计算计算计算,.,8,条件方差,定义：条件方差定义为其中定理：对随机变量X和Y，,.,9,.,10,在给定X的情况下，条件分布为,，Y为随机变量，因此上式中,为常数，因此,所以,.,11,二、混合分布,在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，如，这些参数通常又是一个随机变量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量），则最终的分布称为混合分布(mixturedistribution)渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分布与边缘分布希望知道，至少是其期望和均值（条件期望和方差）,.,12,混合分布举例,例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随机变量，用表示；另外假设每个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p,为Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则,.,13,期望：亦可通过条件期望计算：方差：亦可通过条件期望计算：,.,14,矩母函数的得名起因于下述公式：E(Xk)=M(k)(0)对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换s=-t,LX(s)=MX(t)通常称上式为X的laplace变换。,三、矩母函数（MomentGeneratingFunctions）,.,15,拉式变换与概率分布函数,定理：一函数L(s)(s0)是某一分布函数的Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷次可导，且满足(-1)nL(n)(s)0,(s0,n0),.,16,矩母函数（MomentGeneratingFunctions）,矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为其中t在实数上变化。若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望操作，所以有：取k阶导数，可以得到,方便计算分布的矩,.,17,矩母函数（MomentGeneratingFunctions）,定义,X是离散型r.vX是连续型r.v,矩母函数与分布间的一一对应,唯一性定理：如果，MX()=MY()在的某个区间上成立，则随机变量X与Y同分布。,.,18,.,19,X的矩母函数可以变形为：,于是：,矩母函数与随机变量X的各阶矩,.,20,另一方面：,于是：,.,21,性质1：,例：,从而：,.,22,再考虑：,于是：,.,23,而,从而,特别,性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：,.,24,证明：,系：设X1Xn是独立随机变量，则：,例：设Z1Z2是相互独立的标准正态分布随机变量，则：,.,25,证明：设z是标准正分布的随机变量,当1/2时，作变换,于是：,.,26,另一方面，的密度函数为,其矩母函数为：,.,27,令，对任意，有当时，上述积分是发散的。所以,.,28,矩母函数的性质,引理：MGF的性质若，则若独立，且，则例：,.,29,矩母函数的性质,定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个开区间内所有的t，有，则。例：令且独立，则为分布的MGF，即,.,30,多元矩母函数,定义：,性质1,性质2,.,31,是虚数单位.,四、特征函数,定义设X是一随机变量，称(t)=Eexp(itX)为X的特征函数.,.,32,(1)当X为离散随机变量时，,(2)当X为连续随机