数系的扩充和复数的概念(合成).ppt

第三章数系的扩充与复数的引入,3.1.1数系的扩充和复数的概念,问题提出,1.数的概念产生和发展的历史进程：,N,Q,R,R,数系每次扩充的基本原则：,第一、增加新元素；,第二、原有的运算性质仍然成立；,第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.,3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.,问题提出,数系的扩充和复数的概念,1、由得，这与矛盾的原因是什么？,方程x2x10无实根,2、方程x2x10无实根的根本原因是什么？,1不能开平方,问题探究,3、我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是1的平方根，即i21，那么方程x2x10的根是什么？,问题提出,4、若x41，利用i21,则x等于什么？,1，1，i，i.,问题提出,5、满足i21的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.,问题探究,6、设aR，下列运算正确吗？,问题探究,1、虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,abi（a，bR）,2、把形如abi（a，bR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？,Cabi|a，bR,问题探究,3、复数通常用字母z表示，即zabi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z3i的实部和虚部分别是什么？,实部为,虚部为3.,问题探究,4、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：abicdi（a，b，c，dR）的充要条件是ac且bd，那么abi0的充要条件是什么？,ab0,问题探究,5、对于复数zabi（a，bR）当b0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当b0时z为实数.,实数集R是复数集C的真子集.,问题探究,6、对于复数zabi（a，bR）当b0时，z叫做虚数，当a0且b0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集.,问题探究,7、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,实数,虚数,问题探究,8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,虚数不能比较大小.,复数的代数形式：,通常用字母z表示，即,其中称为虚数单位。,复数a+bi,例1实数m取什么值时，复数zm1(m1)i分别是实数，虚数和纯虚数？,当m1时，z是纯虚数.,典例讲评,当m1时，z是实数；,当m1时，z是虚数；,练习1设复数z=lg(m22m2)+(m2+3m+2)i，试求实数m取何值时。（1）z是纯虚数；（2）z是实数；,例2设x，yR，并且(2x1)+xi=y(3y)i，求x，y。,解题总结：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想转化思想,练习设复数z1(xy)(x3)i，z2(3x2y)yi，若z1z2，求实数x，y的值.,x9，y6.,典例讲评,1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.,课堂小结,2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成abi（a，bR）的形式.,课堂小结,3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x20；若xy0，则xy等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.,课堂小结,变式练习,1.若方程+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.,2.已知不等式-(-3m)i10+(-4m+3)i,试求实数m的值.,误点警示：虚数不能比较大小！,3.1数系的扩充和复数的概念,3.1.2复数的几何意义,1.虚数单位i的基本特征是什么？,（1）i21；,（2）i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.,复习巩固,2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？,abi（a，bR）；,实部和虚部分别相等.,3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？,实数,虚数,复习巩固,复数的代数形式：,通常用字母z表示，即,其中称为虚数单位。,复数a+bi,4.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.,提出问题,复数的几何意义,1、在什么条件下，复数z惟一确定？,给出复数z的实部和虚部,2、设复数zabi（a，bR），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？,一一对应,问题探究,3、有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数zabi（a，bR）可以用什么几何量来表示？,复数zabi（a，bR）可以用直角坐标系中的点Z（a，b）来表示.,问题探究,用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.,形成结论,一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？,实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数.,形成结论,1、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？,有向线段的始点和终点.,2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？,以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.,问题探究,3、在复平面内，复数zabi（a，bR）用向量如何表示？,以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的向量.,问题探究,4、复数zabi（a，bR）可以用向量表示，向量的模叫做复数z的模，记作|z|或|abi|，那么|abi|的计算公式是什么？,问题探究,5、设向量a，b分别表示复数z1，z2，若ab，则复数z1与z2的关系如何？,规定：相等的向量表示同一个复数.,6、若|z|1，|z|1，则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么？,单位圆，单位圆内部.,问题探究,例1已知复数对应的点在直线x2y10上，求实数m的值.,典例讲评,例2若复平面内一个正