现代控制理论第一章 控制系统数学模型.ppt

第一章控制系统数学模型，本课程的任务是系统分析和系统设计。无论是系统分析还是系统设计，在此过程中研究的内容都是基于系统的数学模型进行的。因此，本章首先介绍了控制系统的数学模型。本章的内容包括：1，状态空间表达式，2，微分方程中的系统状态空间表达式，3，传递函数矩阵，4，离散系统的数学模型，5，线性变换(状态变量选择非唯一)，6，组合系统的数学描述，7，使用MATLAB在模型之间转换，状态空间由一组选定的状态变量组成的正交线性空间称为状态空间。示例：下图中显示的回路、输入量、输出量。创建表达式：初始条件：和特性此回路系统的行为。也就是说，系统的一组状态变量、1.1.2状态空间表达式、上一个电路的微分方程组可以替换为以下形式，并且可以写成矩阵形式：系统的状态方程式与输出方程式一起称为系统状态空间表示式或系统动态方程式或系统方程式。设定：状态空间表示式：可以一般形式撰写：如果矩阵A，B，C，D的所有元素都是实际常数，则该系统称为线性常数(LTI，即线性常数)系统。如果其中一些元素是时间t的函数，则系统称为线性时变系统。系统状态图和信号流图如下：严格地说，所有物理系统都是非线性的。可以用以下状态表达式和输出表达式表示。如果没有t，则称为非线性常数系统。1.1.3状态变量选择，(1)状态变量选择取决于问题的特性和输入特性，(2)状态变量选择的不稳定性，(3)系统状态变量的数量唯一，在上一个示例中重新选择状态变量时，状态表达式为：1.1.4状态空间表达式创建示例，示例1-1为机械，如图所示示例1-2建立了电枢控制直流励磁电机的状态空间表达式，电枢电路的电压方程为(表达式中的，电动势常数为；扭矩常数。折叠在电动机轴上的惯性矩。与电动机轴匹配的粘性摩擦系数。可以选择电枢电流和角速度作为状态变量，电动机的电枢电压作为输入量，角速度作为输出量。状态空间表达式，状态图如下所示：范例1-3为单极倒立摆系统建立状态空间表示式。单级倒立摆系统是许多重要外层空间应用的简单模型。在水平方向应用牛顿第二定律：对于钟摆，应用垂直于钟摆方向的牛顿第二定律：例如，线性化：时间和时间，示例，简化后，求解：状态变量选择，系统输入，系统输出，状态图，通过1.2微分方程查找状态空间表达式您可以选取适当的状态变数以取得状态空间表示式。1，微分方程不包含输入信号微分(1.2.1的内容)，2，微分方程包含输入信号微分(1.2.2的内容)，1.2.1微分方程不包含输入信号微分，先复习第三阶系统。微分方程如下：选择状态变量。例如：一般情况下，n阶微分方程如下：状态变量选择：，以矩阵格式编写：系统的状态图：1.2.2微分方程有输入信号导数。首先检查三次系统，微分方程为：(a)待定系数法，状态变量选择：其中待定系数为：下面写的矩阵格式，系统的状态图，一般来说，n阶微分方程是。选择n状态变量，系统表达式为：(b) n阶微分方程：Laplace变换，查找传递函数，引入二次变量z，微分方程格式：返回到矩阵格式，注：如果输入项的导数和输出项的导数相等，则存在d。已知描述示例1-4系统的微分方程试验了系统的状态空间表示。解决方案，(1)待定系数方法，选择状态变量，如下所示：系统的状态空间表达式为：(2)引入辅助变量方法，辅助变量z，选择状态变量，然后系统的状态空间表达式为1.3传递函数矩阵，传递函数的初始松弛(即初始条件为0)时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。初始松弛，Laplace转换，简化，输入量的状态变量传递函数，输入量的输出量传递函数(即传递函数)，示例1-5系统状态空间表达式，系统传递函数。解决方案：1.3.2传递函数矩阵，状态空间表达式，执行拉普拉斯变换，如果有，状态变量表示输入向量的传递函数矩阵：输出量表示输入向量的传递函数矩阵：其结构表示，表达式中，I输出量仅作用于j输入时j输入量的传递函数。示例1-7线性常数系统状态空间表达式查找系统的传递函数矩阵。解，1.3.3一般(严格的一般)合理的传递函数(矩阵)，如果当时是有限常数，则合理的函数是正规的。那么严格地说是有规律的。非正则传递函数描述的系统在高频率下大幅放大，不能在实际控制工程中应用。例如，微分器是一个非正则系统，从具有高频污染引起的微分器输出的输入信号中可以看出，微分器输入中噪声的振幅只有有效信号振幅的1/100，但是输出侧噪声的振幅是有效信号振幅的10倍，信噪比非常小。1.3.4闭环系统传递函数矩阵，因此闭环系统的传递矩阵与或1.3.5传递函数(矩阵)说明和状态空间说明相比较，1)传递函数作为输入-输出之间关系的说明，不是初始松弛系统，该说明不适用。状态空间表达式可以描述初始松弛系统或初始松弛系统以外的系统。2)传递函数仅适用于线性常数系统。状态空间表达式可以应用于固定系统或时变系统。3)对于数学模型未知的线性常数系统，很难编写状态空间表达式。利用实验方法，得到了频率特性，得到了传递函数。4)传递函数通常只适用于单点登录系统。状态空间表达式可用于多个输入和多个输出系统的说明。5)传递函数只能提供系统的输出信息。状态空间表达式不仅提供输出信息，还提供系统内部状态信息。通常有mn。摘要传递函数(矩阵)和状态空间表达式都具有系统分析和设计中广泛应用的优点。，1.4离散系统的数学描述，1.4.1状态空间表达式，状态变量选择，以矩阵格式编写，可以表示为。其中，输出方程，扩展到n阶线性常数差分方程的系统，状态变量选择，系统状态方程式，输出方程式，2 .在差异方程式中包含输入量差异项目，先检查第三阶线性常数差异方程式，选取状态变数，保留系数为：系统状态方程式如下：也就是说，输出方程式为：多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式、和的元素与时间无关时线性常数离散系统状态空间表达式、如果存在，则系统状态与输入量的脉冲传递函数矩阵、如果初始松弛，则系统输出矢量为输入矢量的脉冲传递函数矩阵、解决方案、SISO线性常数离散系统的系统脉冲传递函数为1.5线性转换。也就是说，系统确定后，将确定状态变量的数量，但状态变量的选择不是唯一的。选择其他状态变量时，结果状态空间表达式也不相同。两者之间必须有某种关系，因为两者都是同一系统的状态空间说明。这种关系是矩阵的线性变换关系。1.5.1等效系统方程，1 .线性常数系统，(1)，n维状态向量；输入r维的矢量。m维的矢量输出；是该维的矩阵。其中系统状态方程为(2)，方程(1)和方程(2)为等价，自下而上可推导和替换，可获得，1.5.2线性变换的基本特征，1 .线性变换不会改变系统的特征值，线性常量系统，系统的固有方程如下：可见线性变换不会更改系统的特征值。2.线性变换不会改变系统的传递函数矩阵。传递函数矩阵是可见的，线性转换后系统的传递函数矩阵保持不变。1.5.3系数矩阵a为标准型，所谓标准型是对角、等、模态形，示例1-10是对角矩阵，解决方案、解决方案、转换矩阵、矩阵a中存在这种形式的情况下，范德蒙特矩阵、转换矩阵和a的n个特征值1、。 n不同的情况下，a是对角阵，q矩阵是范德蒙特矩阵：2。如果矩阵a为形，矩阵a具有重特征值，则可以分为两种情况：(1) (2)独立特征向量的数量小于n，则不能转换为对角阵列，只能转换为近似形状。确定转换矩阵如下：转换矩阵，范例1-12矩阵寻找对应于标准造型矩阵、解决方案、结果、双特征值的唯一向量，寻找对应于结果、特征值的唯一向量，设定结果和特征值。在这种情况下，如果a的模态形状设置为对应的固有向量，则命令、转换矩阵、示例1-13是模态、解、特征值、解，因此，1.6组合系统的数学描述、工程中更复杂的系统，通常将多个子系统称为组合系统。组合系统形式多，多数情况下由并行、串行和反馈三种连接方式组成。以下是两个子系统和配置的组合系统。的系统方程是，传递函数矩阵，的系统方程是，传递函数矩阵是，传递函数矩阵，1.6.2串行连接，连接后的系统方程，1.6.3反馈连接，合并后的系统方程是，传递函数矩阵是，或，(1-125)，(1-125)否则，反馈系统对于某些输入没有1-125 (1-126)或1-126 (1-126)的输出。在这个意义上，反馈连接是没有意义的。示例1-14，1.7为了转换模型，MATLAB成为当今许多科学技术领域计算机辅助分析和设计、算法研究和应用程序开发的主要工具和首选平台，MATLAB是世界领先的技术应用程序软件之一，它提供了强大的科学计算和可视化功能、易于使用的编程语言、开放式编程环境等几大优势。在本书中，将其用作系统分析和设计的软件平台，将进一步显示其独特的优点。在本节中，您将使用MATLAB转换数学模型。您可以使用Ss指令建立状态空间模型。对于连续系统，格式为sys=ss(A，B，C，D)。其中a、b、c和d是描述线性连续系统的矩阵。如果Sys1是由传输函数表示的线性常量系统，则可以使用sys=ss(sys1)命令将其转换为状态空间形式。您也可以使用Sys=ss(Sys1， min )命令计算系统sys的最小实现。示例1-15控制系统微分方程求的状态空间表达式。解决方案，您可以输入以下命令以转换为传递函数：系统状态空间表达式如下：也就是说，sys=ss(G)可以在输入命令中代替A，B，C，D=tf2ss(num，den)。在这种情况下，将计算sys=ss(G)近似或矩阵a、b、c、d。2 .离散系统的状态空间表达式、离散系统的状态空间表达式类似于、和连续系统状态空间表达式的输入方法。要输入离散系统的状态空间表达式，可以先输入矩阵g，h，c，d，然后输入语句，将其输入MATLAB的workspace中，用变量名表示这个离散系统。其中t是采样时间。如果Gyu表示作为脉冲传递函数描述的离散系统，则还可以使用ss(Gyu)命令将脉冲传递函数模型转换为状态空间表达式。解决方案、下一个语句输入、语句执行结果、语句输入、0、极点分布图为：执行该语句后，Gyu已存在于MATLAB的workspace中。执行以下语句：结果表明，单个系统的状态空间表达式为1.7.2传递函数矩阵，对于已知a、b、c、d矩阵的线性常数系统，系统的传递函数矩阵，示例1-17被称为系统状态方程。其中inv()函数是矩阵的逆矩阵，而simple()函数简化了符号运算的结果。运行结果如下：也就是说，1.7.3。线性变换，1 .转换为对角矩阵，EIG()函数可以计算矩阵a的特征值，以及将a矩阵转换为对角数组的线性转换矩阵。如果语句格式为Q，D=eig(A)，则D是对角数组，对角线上的每个元素都是矩阵A的唯一值，即。输入以下语句：在上述计算数据中，系统