一阶变分 变分法.ppt

DL，1。变分方法1.1函数和变分定义1.1.1概念介绍1:平面两点A(x0，y0)，B(x1，y1)，找出连接A和B两点的最短弧。解决方法：如果点a和b之间的函数是y=y(x)，弧长微分公式l随函数y=y(x)的选择而变化，函数y=y(x)是一个函数。间接法用于确定使L最短的函数曲线，即具有极值的函数曲线，是Y=c1Xc2，一阶导数是两个待定常数，其中常数C1和c2可以由边界点A和B的坐标(即边界条件)来确定。引用2:找到通过两点A(x0，y0)，b (x1，y1)的函数曲线y=y(x)，长度L是某个值，以使图中弯曲梯形ABCD的面积最大。(1.2)AS取决于Y的选择，它也是一个函数，约束条件是AB长度(1.3)。这是带约束条件的泛函极值的间接变分法。泛函的极值曲线是常数C1、C2和R可以由条件决定的地方。根据最小势能原理，变形能随选定的三个位移函数ui(i=1，2，3)而变化，并且U也是一个泛函。ui必须满足的体积不变性条件，L，As，都依赖于变量函数。它被称为自变函数，随自变函数变化的量被称为泛函。由符号和j表示，它们被表示为y(x)或(y)等。变分法是求泛函的最大值和最小值的方法。1.1.2函数自变函数的变分，函数y=y(x)，自变量x，增量x，dx称为自变量x的微分，函数y(x)，自变函数为y(x)。当y(x)无限变化时，称为自变函数的变化，表为y(x)。yy是指函数y (x)和与之接近的另一个函数y1(x)之间的差值。零级接近度：对于任何x值，一级接近度：不仅非常接近纵坐标值。y1(x)和y2(x)之间的差异非常小，y=y2(x)-y1(x)y=y2(x)-y1(x)非常小。y =y(x)y1(x)也非常小.n阶接近度：dy和y之间的差值，dy:表示曲线y=y(x)，当x=dx为dy时，数值增量的线性主要部分。Dy通常不等于零。y:当x为常数时，两条闭合函数曲线y(x)和y1(x)之间的微分y。Y是x的函数。Y在边界点必须为零。y，1.1.3函数变化，微分一般定义： y=y (x x)-y (x)=a (x) x (x， x) x拉普拉斯定义：微分也等于在=0时y(x x)对导数的值。(1.5)，泛函变分定义，一般定义：是泛函增量的线性主要部分，拉格朗日定义，证明拉格朗日泛函变分定义：例：简单泛函一阶变分。函数的二阶变分和增量如下：1.2变分运算和函数极值条件，1、2变分分号可以从整数中输入整数，1.2.1运算规则，1.2.2条件函数极值条件和函数极值条件有相似的定义。如果泛函取最小值，泛函取最大值(1.17)，1.3变分基本引理和欧拉方程，1.3.1变分基本引理假设F(x)在x0，x1上是连续的，(x)是一类任意连续函数，一阶或几阶是可微的；线段(x0，x1)端点为零；如果下列积分为零，则在x0，x1上有F(x)0。通过反证法证明，欧拉方程1.3.2，端点不动条件，从基本引理公式(1.18)可知，F(x，y，y)是x的全导数，代入公式(1.20)，上述欧拉方程是一个二阶偏微分方程。解这个方程可以找到使泛函 (y)达到极值的y(x)，这叫做间接解。其他欧拉方程的形式有：1.4泛函的条件极值变分法，表1.1，第四行：形成一个新的泛函，新的泛函欧拉方程，共k个n方程，k个n未知数：边界条件：2n？求解欧拉方程极值函数(解析解)的直接方法称为泛函变分的间接方法，而求解ext1.5.2 Ritz方法假设y是取极值m的泛函(y)的极值函数，如果(测试函数)满足给定的边界条件且泛函的值接近m，则它是问题的近似解。步骤：是n个任意待定常数，wi彼此线性无关，经过微分和积分后，(I=1，2，n)，上述方程被求解以确定ai，并且该方程可以由原始方程代替，1 . 5 . 3 cantolovitch方法-偏微分是一组常微分方程，其依赖于具有多个自变量的单个自变函数的泛函选择函数I(x1，x.xn-1)是由其他自变量构成的；满足给定的边界条件。在演算操作x1、x2之后.去掉xn-1，得到一个新的泛函(多个自变函数的单变量),用，作为自变函数，通过代入原公式得到近似解。函数解的一个综合例子，例如：寻找函数极值函数1。间接法：2。满足边界条件函数的直接法-里兹法，离散为4个单元和5个节点；i=0，1，2，3，4；建立插值关