龙格库塔法推导

2020/6/13，1，1，获得高精度方法的一种直接想法是，Taylor展开假设式y=f(x，y ) (ab )的f(x，y )充分平滑，y(xi 1 )在xi点展开Taylor，右端的不同有限项为y(xi 1 ) 例如，若取前两个，则得到9.4伦格库塔法、2020/6/13、2。 这里，p阶泰勒法取前三个，得到截止误差为O(h3 )的式。 类似地，如果将第一项取作y(xi 1 )的近似值，则2020/6/13，3 .很明显，当p=1时，yi 1=yi hf(xi，yi )是我们熟知的欧拉方法。 p2时，要利用泰勒法需要计算f(x，y )的高阶微商。 该计算量非常大，特别是在f(x，y )复杂的情况下，其高阶导数变得复杂。 因此，利用泰勒公式建立高阶公式并不实用。 但是泰勒级数展开法的基本思想是很多数值方法的基础。 R-K法不是直接使用Taylor级数，而是利用其思想，2020/6/13、4、9.4.1长库塔(R-K )法的基本思想，欧拉式可以改写如下，yi 1的式是y(xi 1)的Taylor展开式的Runge-Kutta法是高精度的单阶段法，简称为R-K法，与2020/6/13，5、5一样，改良Euler式可以改写，上述两组式的共同点：都是在f(x，y )的某一点通过值的线性组合将y(xi 1 )的近似值yi 1 如Euler法：那样，逐步计算f(x，y )的值是一次方法。 为了改善欧拉法，需要计算两次f(x，y )的值，是二次法。 由于局部截止误差是O(h3 )、以及2020/6/13，6，6，所以可以考虑函数f(x，y )的若干点处的函数值的线性组合来构造近似式，其中，近似式为(xi，yi )处的Taylor展开式，以及解y(x )处的taylon 在避免求高阶导数的同时，提高了计算方法的精度。 替代地，如果在xi，xi 1阶段计算几个点的斜率值，并对其进行加权平均，则能够构建更高精度的计算格式，这是Runge-Kutta法的基本思想。 一般龙格-库塔法的形式是2020/6/13,7、7、7，其中ai、bij、ci是未定参数，上式yi 1在点(xi，yi )展开Tailor，要求用相同项的系数决定参数。 被称为p次龙格-库塔法。2020/6/13、8、Runge-Kutta法的导出思想、对于常微分方程式的初始值问题的解y=y(x )、区间xi，xi 1中导入微分中值定理，即2020/6/13，9，符号时，对应的Runge-Kutta法如下图所示即欧拉法、欧拉法也称为一次Runge-Kutta法，2020/6/13、11、9.4.2二次龙格-库塔法在xi，xi 1上取两点xi和xi a2=xi a2h，在这两点上的倾向的近似值k的式中，K1是xi点处的切线梯度值K1=hf(xi，yi)=hy(xi)K2是xi a2h点处的切线梯度值，与改良欧拉法相比，将xi a2设为xi 1即可，系数c1、c2、a2， 当确定b21时，获得二次精度的算法格式，并且由于算法格式是2020/6/13，12，所以y(xi 1)以x=xi展开，Taylor展开，以x=xi展开，Taylor展开，2020/6/13，13，K1=hf(xi，yi )，20 存在无限的解。 满足上式的所有格式统称为2次龙格-库塔格式。 命令，对应项的系数相等，得到2020/6/13，15，关注的是二次龙格-库塔式，也就是改进了的欧拉法。 因此，满足条件式有上式那样的计算形式，这些形式统称为二次龙格-库塔形式。 因此，改进的欧拉形式是许多次龙格-库塔法的特殊形式。 2020/6/13，16，取而代之的是另一种形式的二次龙格-库塔式。 这个计算式被称为变形的二次龙格-库塔法。 式中是区间的中点。 也称为中点式。为了得到更高的精度，Q:应该如何推进？2020/6/13，17，二次R-K方法是显式的步骤，还需要先计算两个函数值。 根据以上的讨论，通过适当地选择四个参数c1、c2、a2、b21，能够使一步计算二次函数值的二次R-K法成为二次精度。 计算函数值的次数不变，选择不同的参数值，能进一步提高二次R-K法的精度吗？ 答案是不！ 无论如何选择四个参数，公式的局部截断误差都不能上升到三阶。 这表示每步计算两个函数值的二次R-K法的最高位是二次。 为了得到更高级的数值方法，需要增加计算函数值的次数。，9.4.3层龙格-库塔法，2020/6/13，18，为了进一步提高精度，在区间xi，xi 1中，除了两点xi和xi a2=xi a2h以外，再加上一点xi a3=xi a3h，在这三点处的斜率通过K2和K3的加权平均求出平均斜率K*的近似值k，此时的计算格式具有：2020/6/13，19的形式，同样导出二次式，以x=xi对y(xi 1 )和yi 1进行泰勒展开，以使局部截止误差成为O(h4 ) 2020/6/13，20，参数选择不唯一，构成一种不同的三次R-K表达式的以下常用三次R-K表达式如下所示。 辛普森式： 2020/6/13，21，9.4.4次(古典)龙格-类似于库塔法。 需要进一步提高精度时，用上述处理方法，将区间xi，xi 1中4点的倾斜加权平均作为平均倾斜K*的近似值，构成一系列四次龙格-库塔式。 四阶精度，即局部截止误差是O(h5 )。 导出过程与以前类似，过程复杂，故在此省略，介绍最常用的四次古典龙格库塔公式。 在2020/6/13、22、K1=hf(xi，yi)K2=hf(xi a2h，yi b21K1)K3=hf(xi a3h，yi b31K1 b32K2)K4=hf(xi a4h，yi b41K1 b42K2 b43K3)中另外，这里，K1、K2、K3、K4设为4个不同点处的函数值，设yi1=yic1K2K3c4K4、2020/6/13、23，与前面的讨论相同，将K2、K3、K4分别在xi点展开为h的幂级数，代入线性组合式，将得到的式和y (的xi点上的泰勒展开公式，并使从其二式的右端到h4的系数相等，则经过复杂的解方程式的过程，得到一组关于ci、ai、bij的特性解a2=a3=B1=b32=1/2b 31=b41=b42=a0a4=b43=1C1=C4=1/。 使用Runge-Kutta方法、2020/6/13 25、例1 .使用高次R-K法计算初始值问题，解：(1)使用三次R-K法，26，其馀结果为：(2) 使用四次R-K法的话，则为ixi k1k2k3yi1. 00000.10000.11030.12561.11112.0000.20000.12350.13760.15951.249393.0000.30000.1 0.23420.286361 6645.00000.50000.277270.32590.41631.9993，2020/6/13， 27， 其他结果为： ixik 1k 2k 4yi1. 00000.10000.11030.11130.12351.11112.0000.20000.12350.13760.13920.15631.25003.00000.1 000.20400.23420.23890.278675.00000.50000.277270.32590.334880.40062.0000、2020/6/13、28，上一节中常微分方程的数值解法的与二次欧拉估计-补正式一致，三层、四层、9.4.5龙格-库塔法的稳定性条件、2020/6/13、29、龙格-库塔法的推导是基于Taylor展开法的，所以求得的解要求比较平滑。 解的光滑度差的话，用四次龙格库塔法求出的数值解，不如说比改进的欧拉法精度更差。 在实际计算中，必须选择符合问题具体特征的算法。 对于光滑度不太好的解，优选采用低阶算法减小步骤h。2020/6/13，30，如上所述，二阶、四阶R-K方法可以分别达到最高数量的二阶、四阶，但是n阶R-K方法的最高等级不一定是n阶。 R-K法的级数表示用式计算函数值f的次数。Butcher示出了1965年R-K法计算函数值f的次数和可达成的最高精度次数的关系表，但从表中可以看出，四级以下的R-K法与最高次数计算f的次数一致，相对于m次R-K式，在m4中计算f的次数增加，但方法次数不一定因此，四阶R-K公式是应用最广泛的公式。 一个线性方程式，如果右端的矢量和系数矩阵的微小变化给方程式的解带来很大的变化，就称为病态方程式。 病态方程中，一般的直接法和迭代法有较大的误差，严重失真。 因此，在解方程式时，有必要研究方程式