安德森空气动力学课件7

PART3,Inviscid,CompressibleFlow,邓磊E-mail:leideng13June2020DepartmentofFluidMechanics,SchoolofAeronauticsNorthwesternPolytechnicalUniversity,Review:Flowclassification,Review:Chap.1-Chap.6:inviscid,incompressibleflow(M0.3？,Laplacesequation,4,可压缩流分类图1.43,5,SubsonicflowTransonicflowWithM1(d)Supersonicflow(e)Hypersonicflow,Chapter7CompressibleFlow:SomePreliminaryAspects可压缩流动:相关的预备知识,6,.1INTRODUCTION(介绍）,1935年在罗马举行的第五次沃特学术会议（thefifthVoltaConference），普朗特、冯卡门、布泽曼、泰勒等前辈出席了这次会议，集中讨论了航空中的高速流动问题，提出了一些新观点（如对音障的理解、后掠翼、超音速风洞设计等）。这次会议成为通向近代高速空气动力学的里程碑。,7,可压缩流动的基本特征:1)Thepivotalaspectofhigh-speedflowisthatthedensityisavariable密度是变量2)Anotherpivotalaspectofhigh-speedcompressibleflowisenergy.Ahigh-speedflowisahighenergyflow.是一个高能量的流动.3)Energytransformationandtemperaturechangesareimportantconsiderations.必须考虑能量转换与温度变化因此,研究可压缩流必须引入重要的热力学(Thermodynamics）热力学研究能量的基础科学。,8,9,7.2热力学复习,完全气体,内能和焓,热力学第一定律,熵和热力学第二定律,等熵关系式,7.3可压缩性定义,7.4无粘可压缩流控制方程,7.5总参数定义,7.6有激波的超音速流定性了解,.2ABRIEFREVIEWOFTHERMODYNAMICS(热力学简要复习）,10,Review：,11,有限体积的控制体模型,无限小的流体微团模型,当地观点,随体观点,系统（System）：取一部分物质或区域做研究对象。环境(Surroundings)：与系统相邻接的物质或者区域。开口系统(OpenSystem)：与环境有质量交换。当地观点。封闭系统(closedSystem)：与环境无质量交换，可以有能量交换。随体观点。绝热系统(adiabaticSystem)：与环境既无质量交换，也无能量交换。孤立系统(IsolatedSystem)：与环境无任何相互作用。,12,Definition1：ResearchobjectivesinThermodynamics,状态量：与过程无关的变量，只与过程开始和结束的状态有关。如：压力，温度，密度，容积，内能，焓，熵过程量：与过程有关的变量。如：功（W），传热（热量，Q）,强度量：与所取系统的大小和质量无关。如温度，压力。广延量：与所取系统的大小和质量有关，可叠加。如容积，内能,广延量强度化：单位质量的广延量的大小。如：,13,Definition2：VariablesinThermodynamics,Agasinwhichtheintermolecularforcesareneglectedisdefinedasaperfectgas.(忽略分子间作用力（没有粘性）的气体定义为完全气体）(热)完全气体：满足(热完全)气体状态方程,即克拉帕龙方程的气体：,R0：普适气体常数（8314J/kmolK）;R：气体常数；M：摩尔质量（g/mol）；n：摩尔数。对空气：R=R0/M=8314/28.95=287J/kgK,注：,7.2.1Perfectgas(完全气体),14,15,Perfectgasis：(了解),没有低温到液化的气体和没有高温到产生化学反应的气体，可以认为是完全气体。即：TPcr认为是完全气体临界温度Tcr：物质以液态形式出现的最高温度如空气-140.5，氮气-146.9Tcr对应的压强为Pcr,注：此处所说的内能(E)，即热力学中的内能（U）,而热力学中的E指的是系统具有的总能量，还包括系统宏观的动能和重力势能。,7.2.2InternalEnergy(内能)andEnthalpy（焓）,内能,16,Theenergyofagivenmoleculeisthesumofitstranslational,rotational,vibrational,andelectronicenergies.（一个给定分子的能量是其平动动能、转动动能、振动动能和电子能的总和。）对于由大量分子组成的给定体积的气体，所有分子所具有的能量的总和称为气体的内能（E）。单位质量气体的内能称为气体的比内能(e)。,Internalenergyforadiatomicmolecule(双原子分子的内能)（了解）,注：在温度为600K以下时，分子只具有平动和转动动能（）。,17,宏观动能：流体整体有序运动的动能；微观动能：分子的随机、无序运动的动能。热力学的主要应用就是将无序能量（热）转化为有序能量（功）。,macroscopic,mkrskpik宏观的microscopicmaikrskpik微观的,18,Macroscopicandmicroscopickineticenergy(宏观动能和微观动能),Enthalpy(焓)：enlpi,(7.3),pV:代表了流体所具有的压力势能（potentialenergy)。表示了将体积V的流体推入或吸出系统所需做的功。（流动功？）,19,注：,补充：焓的物理意义,物质进入开口系统时带入或者带出的内能与流动功之和，是随物质一起转移的能量。,流动功,膨胀功,1、热状态方程（状态方程）：2、量热状态方程：,21,StateEquations(状态方程),Caloricequationofstate（量热状态方程）,注1：统计物理结果证实：表示分子热运动的平动能、转动能和振动能，这几部分内能仅与温度有关（见双原子分子内能公式）。注2：e和h均为热状态变量（thermodynamicstatevariables),它们只依赖于气体的状态而与过程无关（Theydependonlyonthestateofthegasandareindependentofanyprocess)。,(7.4a)(7.4b),22,可以证明：对于完全气体，e和h都只是温度的函数：,Specialheat比热容,比热(容)：单位质量的物质温度升高1K所需要的热量：,因为热量是过程量，不同的过程有不同的热量，所以相应的比热容也不同。相应于定容过程的比热成为定容比热，用表示；对应于定压过程的比热，称为定压比热，用表示。,Specificheatsatconstantvolume,Specificheatatconstantpressure,23,24,Q:对完全气体，。在什么条件下可以得到表达式？,caloricallyperfectgas（量热完全气体）Aperfectgaswherecpandcvareconstantsisdefinedasacaloricallyperfectgas.cp和cv是常数的完全气体称为量热完全气体。,注：T,一小杯100的水比一大杯20的水更有用,补充2：热力学第二定律的其他表述,不可能从单一热源取热，并使之完全变为有用功而不引起其它变化开尔文(1851),不可能将热从低温物体传至高温物体而不引起其它变化克劳修斯（1850年）,违反热力学第二定律的热机称为第二类永动机。（Perpetualmotionmachine）,补充3：基于热二定律的两个关于宇宙的重要推论,1、热寂说（Heatdeath）如果将这个宇宙当做一个热力学系统，由热力学第一定律，宇宙的能量保持不变；由热力学第二定律，宇宙的熵趋于极大值。这个极大值状态就是“一个不可避免的宇宙静止和死亡状态”（热寂）。2、宇宙有始说由于宇宙系统的熵是逐渐增大的过程，如果宇宙永恒存在的，那么在过去很久应该已经达到熵极大的平衡状态。因此宇宙是从某个时期突然出现的。,补充4：关于熵和焓两个字的理解,熵,焓,与温度、能量相关,熵和焓两个字由物理学家胡刚复1923年创造的。,Entropy,Enthalpy,下属关于熵和等熵过程的说法是否正确？1、等熵过程一定是绝热的？2、绝热过程一定是等熵的？3、等熵过程一定是可逆的？4、可逆过程一定是等熵的？5、等熵过程是熵增为0的过程？6、熵增为0的过程为等熵过程？7、过程发生的结果是熵必然增加或不变？,57,Practicalcalculationofentropy(熵的实际计算）1,58,(7.13)DefinitionofentropyRe-writetheentropy(7.18)Substitutethefirstlawofthermodynamics(7.3)Definitionofenthalpy(7.19)differentialofaboveequation(7.20)combinationof(7.18)and(7.19)(7.5a)forperfectgas(7.5b),59,Practicalcalculationofentropy(熵的实际计算）2,(7.21)combination(7.18)and(7.5a)(7.22)combination(7.20)and(7.5b)stateequationre-writethestateequationsubstitutethestateequationinto7.21(7.23)substitutethestateequationinto7.22,Considerathermodynamicprocesswithinitialstate1andendstate2(7.25)Foracaloricallyperfectgas,bothRandcpareconstant(7.26)similarly,(7.21)leadstothisequation.,60,Practicalcalculationofentropy(熵的实际计算）3,Result:sisafunctionoftwothermodynamicstatevariables;（熵是两个热力学状态参数的函数）,Conclusions:熵计算公式的适用条件：由可逆地加入热量的过程推出，但对不可逆过程同样适用。熵是状态量，但熵方程是过程方程，不是状态方程。在可压缩空气动力学中，热力学第二定律并不直接参与流动方程的求解，其作用是在于用来判断流动过程是否真实，是否能够真的实现。,61,T-s关系曲线,62,补充：温度、压强与熵的关系,P1,P2,3,P4,:,:,:,等熵过程,等压过程,等温过程,7.2.5Isentropicrelations(等熵关系式）,63,adiabaticprocessreversibleprocessdefinitionofentropycombinationtheaboveequationsandentropycalculationequationre-writetheaboveequationsubstituteCpwithResults:therelationshipbetweenPandTatIsentropicprecess,Inasimilarfashion,from(7.26):,With,64,Equation(7.32)isveryimportant;itrelatespressure,density,andtemperatureforanisentropicprocess.方程（7.32)非常重要，它反映了将等熵过程中的压强、密度、温度的关系。,(7.32),65,Results:,Re-write(7.32):,Whyistheequation(7.32)soimportant?Whyisitfrequentlyused?Whyareweinterestedinanisentropicprocessthenitseemssorestrictive?Becausealargenumberofpracticalcompressibleflowscanbeassumedtobeisentropic,Equation(7.32)isapowerfulrelationvalidfortheflowsoutsidetheboundarylayer,whichissmallcomparedtotheentireflowfield（因为绝大多数实际流动问题可以被假设为等熵的）(7.32式适用于附面层之外的绝大多数流动区域).,66,例7.2波音747飞机在36000ft高空飞行。机翼表面某点的压强为400lb/ft2。假设流过机翼的流动为等熵流动，计算该点的温度。解：h=36000ft时,，由（7.32)得：,67,国际单位制：解：h=36000ft=360000.3048m=10972.8m,68,补充：Conceptofbarotropic:正压流的概念满足密度是压力的唯一函数的流动,称为正压流,即.不可压流是正压流。等熵流也是正压流。,69,7.3.DEFINITIONOFCOMPRESSIBILITY（压缩性定义）Theamountbywhichasubstancecanbecompressedisgivenbyaspecificpropertyofthesubstancecalledthecompressibility.物质可被压缩的大小程度称为物质的压缩性。,用可压缩性系数来度量。,体积弹性模量：压力的改变量与其引起的比容的相对改变量的比值，K。,压力：pp+dp比容：vv+dv,COMPRESSIBILITY定义为：流体体积弹性模量的倒数，即比容的相对变化量和压应力的变化量的比。单位为：m2/N,（7.33）,（7.36）,Physically,thecompressibilityisafractionalchangeinvolumeofthefluidelementperunitchangeinpressure.(从物理上讲,压缩性就是每单位压强变化引起的流体微元单位体积内的体积变化),（7.37）,Ifthefluidisagas,wherecompressibilityislarge,thenforagivenpressurechangedpfromonepointtoanotherintheflow,Eq.(7.37)parisonofcompressibilitybetweengasandwaterre-write(7.37)whenshouldtheflowbetreatedascompressibleflow?,COMPRESSIBILITYandDENSITY,Isothermalcompressibility(等温压缩性):T=constIsentropiccompressibility(等熵压缩性):s=const,COMPRESSIBILITYandPROCESS,(7.35),(7.34),Problem：（作业）,Prove：,（1）,（2）,7.4GOVERNINGEQUATIONSFORINVISCID,COMPRESSIBLEFLOW（无粘、可压缩流控制方程）,可压缩流体的控制方程来自四个方面的基本物理定律：1、运动学方面：质量守恒定律2、动力学方面：牛顿第二定律（动量定理）3、热力学方面：能量守恒定律（热力学第一定律）和熵方程（热力学第二定律）4、气体的物理和化学属性方面：气体状态方程、气体组元间的化学反应速率方程等。,FLOW,DEPENDENTVARIABLESANDEQUATION,Review1：CONTROLVOLUME,Finitecontrolvolume,Infinitesimalfluidelement,Fixedinspace,Movingwithfluid,单位时间流过面积A的质量:质量流量,Review2：MASSFLOW,通过微元面积dS的质量流量:,Review3：HamiltonianOperator哈密顿算子,如果S为封闭曲面，为S包围的体积：,Review4：GaussFormulas高斯公式（定理）,Review5：SubstantialDerivative随体导数（实质导数，物质导数）,随体导数=当地导数+迁移导数,基础：质量守恒定律和连续介质。描述：随体观点：某一封闭系统内，质量既不产生，也不能消失。当地观点：流场中的某一控制面，在没有源或汇存在的前提下，某时间内控制面内流体质量的增加或减少等于同一时间内通过控制面流入或者流出的质量。,1、Continuityequation（连续方程）,Physicalprinciple:masscanbeneithercreatednordestroyedNetmassflowoutoftimerateofdecreaseofcontrolvolume=massinsidecontrolvolumeVthroughsurfaceS（单位时间）通过控制体表面S流出控制体的净质量流量控制体内的质量减少率,(7.39)即(2.48),当地观点,Continuityequationintegralform,(偏微分方程形式）,(7.40)即(2.52),高斯公式,随体观点的微分形式,注：,当地观点的微分形式,Continuityequationinpartialdifferentialform,Physicalprinciple:Force=timerateofchangeofmomentum(7.41)即（2.64)wherearethebodyforces,suchasgravity,orelectromagneticforces,当地观点的积分形式,2.Momentum（动量方程）,随体观点的积分形式：,上式展开，即为教材上的7.42式。当地观点的微分形式：,封闭系统内质量变化,随体观点的微分形式,Intermsofsubstantialderivative:(7.42a)(7.42b)(7.42c),Physicalprinciple:Energycanbeneithercreatednordestroyed;itcanonlychangeinform,(7.43),(7.43)即（2.95),开口系统的总能量的变化率,单位时间流经系统控制面流体的能量,系统单位时间内增加热量,表面压力功率,质量力功率,3.EnergyEquation（能量方程）,Energyequationinpartialdifferentialform:Assumethattheflowisadiabaticandthatbodyforcesarenegligible.Forsuchaflow,Equation(7.44)canalsobewrittenas,(7.44)or(2.114),(7.45),绝热、忽略体积力的能量方程,4.Equationofstateforaperfectgas:5.Internalenergyforacaloricallyperfectgas:Wehavenow5equationsfor5unknowns.,BernoulliEquationisinvalidforcompressibleflow！,(3.13),(3.14),(3.15),对于不可压缩有旋流动,对于不可压缩无旋流动,Review:,返回,低速流动：标准海平面1kg空气0.3倍音速运动动能T=5.202103J内能e=2.07105JT/e=2.5%,高速流动：标准海平面1kg空气2倍音速运动动能T=2.31105J内能e=2.07105JT/e=115.6%,动能，在这,93,注1：完全气体，理想气体,1、本教材中的完全气体即为热力学中的理想气体；2、本教材中的理想气体，指的是忽略了粘性的气体。,返回,94,注2：完全气体和量热完全气体,1、振动动能未被激发的完全气体。TcrTTve,ppcr2、对空气，T1000K认为是量热完全气体。3、量热完全气体必定是完全气体。反之则不然。,返回,95,注3：动力学压力和热力学压力,1、回忆：引力质量和惯性质量。,2、对低速不可压流动：P：动力学压力,3、对完全气体：P：热力学压力,4、从动力学上讲，低速流动可以认为不变。热力学上讲，低速流动密度是有变化的。,5、所以：从动力学上讲，低速流动中声速是无穷大；而热力学上讲，低速流动中声速是有限值。,96,注3：可逆过程,1、自然界的任何自发过程均是不可逆的。2、实际过程中，只要出现任何一种交换率（各种“流”：速度“流”、温度“流”和物质浓度的扩散“流”），过程便是不可逆的。3、准静态过程可以近似地认为是可逆过程。（过程进行中过程速率无限小，不发生任何“流”，没有任何损耗）4、可逆过程不一定绝热，绝热过程不一定可逆。,返回,97,注4：熵的社会学概念,诺贝尔文学奖提名的托马斯品钦的短篇小说熵，即阐释了熵的社会学概念：1、这篇小说将热力学的第二定律运用到对人类社会的描述上。2、在整个宇宙当中，当一种物质转化成另外一种物质之后，不仅不可逆转物质形态，而且会有越来越多的能量变得不可利用。3、大量人类制造的化工产品、能源产品一经使用，不可能再变成有利的东西，宇宙本身在物质的增殖中走向“热寂”，走向一种缓慢的熵值不断增加的死亡。,返回,98,热力学第二定律的其他表述：,返回,不可能从单一热源取热，并使之完全变为有用功而不引起其它变化开尔文(1851),不可能将热从低温物体传至高温物体而不引起其它变化克劳修斯（1850年）,违反热力学第二定律的热机称为第二类永动机。（Perpetualmotionmachine）,99,勢,高土墩,球,力,势：原意为置于高处的球丸具有向低处滚动的力。势能：1）物体由于位置或者位形而具有的能量。2）储存于系统内，可以释放或者转化。3）不能单独具有，需相互作用的物体所共有。,返回,7.5DEFINITIONOFTOTAL(STAGNATION)CONDITIONS总参数(滞止参数)的定义,Considerafluidelementpassingthroughagivenpoint：pressure,temperature,density,Machnumber,velocitypTMVstaticpressure,statictemperature,staticdensity,静参数，随体观点,滞止状态：Thevelocityofafluidisbroughttorestisentropically(adiabaticallyandreversibly).气流从某一状态等熵地减速到速度为零的状态称为滞止状态。滞止状态对应的参数称为滞止参数或总参数。,在可压缩空气动力学中，为了计算方便，引入了滞止状态和滞止参数（总参数）的概念。,注：1、滞止状态是一种假想的状态。2、实际流动中，气流中的每一点都有相应的滞止状态。3、滞止参数可能是实际存在的。如飞行器飞行时的驻点、高速风洞试验时储气罐的气体参数等。,TOTAL(STAGNATION)CONDITIONS,TOTAL(STAGNATION)CONDITIONS,实际上：由热力学第一定律确定的参数,Assumethattheflowisadiabaticandthatbodyforcesarenegligible,thentheequationofenergycanbewrittenas:(7.45)注意:(7.45)式的前提条件：完全气体、绝热、忽略体积力和粘性力,1、TOTALTEMPERATUREandENTROPY,表示内能和动能之和；但不是气体的总能量。如果要表示总能量，还缺哪一项？,（7.52）,（7.45）,（7.49）,定常流动：,(7.53)沿流线成立,（完全气体、定常、绝热、无粘、忽略彻体力）,相加,进一步理解：,Q:从什么时候开始沿流线成立的呢？,定常,定常、沿流线,Review：,随体代数=当地导数+迁移导数,定常：当地导数为零,沿流线：迁移导数为零,关于能量方程7.53：1、完全气体、定常流动、绝热、无粘、忽略体积力。2、由能量方程（热一定律）推导的，因此流动等熵或者不等熵同样成立（如第八章越过激波的流动）。,（7.53）,3、右端的常数，常常用某个参考状态的物理量来表示。如：,a.温度达到绝对0K的最大速度状态,b.速度为零的滞止状态（参数用下标0表示，称为总参数）,c.流速等于当地风速的临界状态。（参数用上标*表示，称为特征参数),总温，总焓的定义：Inparticular,thevalueofthetemperatureofthefluidelementafterithasbeenbroughttorestadiabaticallyisdefinedasthetotaltemperature,denotedby.Thecorrespondingvalueenthalpyisdefinedasthetotalenthalpyh0.特别地，假想流体微团被绝热地减速为静止所对应的温度，定义此时流体微团对应的温度为总温。相应的焓值，称为总焓。注：流场的任意一点，都相应地存在总温和总焓，和流动的性质无关！,Equation(7.54)isimportant;itstatesthatatanypointinaflow,thetotalenthalpyisgivenbythesumofthestaticenthalpyplusthekineticenergy,allperunitofmass.方程(7.54)很重要,它表明在流动中任一点,总焓由每单位质量的静焓和动能之和组成。,有了总焓的定义，能量方程可以用总焓来表示：对于定常、绝热、无粘流动，方程（7.52）可以写成:,i.e.thetotalenthalpyisconstantalongastreamline.即总焓沿流线为常数。,（7.55),or,Keepinmindthatwedonotactuallyhavetobringtheflowtorestinreallifeinordertotalkaboutthetotaltemperatureortotalenthalpy;rather,thearedefinedquantitiesthatwouldexistatapointinaflowif(inourimagination)thefluidelementpassingthroughthatpointweretobroughttorestadiabatically.仅是为了表征流动经过某一点时的能量方程的常数，并不一定非要将速度降为0.,总参数进一步理解：,Ifallthestreamlinesofthefloworiginatefromacommonuniformfreestream(astheusuallythecase),thentheh0isthesameforeachline.h0=const,throughouttheentireflow,andh0isequaltoitsfreestreamvalue.如果像通常的情况那样，所有的流线都来自均匀自由来流，那么h0在不同流线也是相等的。总焓在整个流场中为常数，等于自由来流对应的总焓。,Keepinmindthattheabovediscussionmarbledtwotrainsofthought:Ontheonehand,wedealtwiththegeneralconceptofanadiabaticflowfieldwhichledtoEqs.(7.51)to(7.53),andontheotherhand,wedealtwiththedefinitionoftotalenthalpywhichledtoEq.(7.54).要牢记的是：上面的讨论是沿着两条思路进行的：一方面，我们讨论了绝热流场的一般概念,导出了能量方程(7.51)至(7.53)；另一方面，我们讨论了总焓的定义导出(7.54)式。,(7.51)绝热，无粘，无体积力(7.53)绝热，无粘，无体积力，定常，沿流线(7.55)绝热，无粘，无体积力，定常，沿流线(7.54)流场中任意一点，不管绝热与否,能量方程,总焓定义,图7.4a,b非绝热流与绝热流的比较,总压与总密度的定义：Onceagain,imaginethatyougrabholdofthefluidelementandslowitdowntozerovelocity,butthistime,letusslowitdownbothadiabaticallyandreversibly.Thatis,letusslowthefluidelementdowntozerovelocityisentropically.Theresultingpressureanddensityaredefinedasthetotalpressureandtotaldensity.再一次，假想流体微团被绝热又可逆地减速为静止，即流体被等熵地减速为0。此时对应的压力和密度定义为总压力和总密度。,图7.4c,d非等熵流与等熵流的比较,Sinceanisentropicprocessisalsoadiabatic,thedefinitionoftotaltemperatureremainsunchanged.因为等熵过程是绝热的，因此对于等熵流，总温不变。Asbefore,keepinmindthatwedonothavetoactuallybringtheflowtorestinreallifeinordertotalkabouttotalpressureandtotaldensity;rather,theyaredefinedquantitiesthatwouldexistatapointinaflowif(inourimagination)thefluidelementpassingthroughthatpointwerebroughttorestisentropically.Therefore,atagivenpointinaflow,wherethestaticpressureandstaticdensityarepand,respectively,wecanalsoassignavalueoftotalpressurep0,andtotaldensity0definedasabove.,Keepinmindthattheisentropicassumptionisinvolvedwiththedefinitiononly.Theconceptoftotalpressureanddensitycanbeappliedthroughanygeneralnonisentropicflow.等熵的假设只是在总压、总密度的定义中出现,总压、总密度的概念可应用于任何非等熵流动中.,SUMMARYTotaltemperatureT0andtotalenthalpyh0aredefinedasthepropertiesthatwouldexistiftheflowisslowedtozerovelocityadiabatically.Totalpressurep0andtotaldensity0aredefinedasthepropertiesthatwouldexistiftheflowisslowedtozerovelocityisentropically.Ifthegeneralflowfieldisadiabatic,h0isconstantthroughouttheflow.Ifthegeneralflowfieldisisentropic,p0and0areconstantthroughouttheflow.,讨论（了解）:在风洞试验中，我们将测温计固定在气流的壳体上。这时，测量的温度是总温还是静温？,测量的是总温。在实际中，如果要测量以速度运动的气体的温度，需要测温计和气流没有相对运动，这显然是不现实的。实际测量的温度是总温。,补充：总压的物理意义总压代表了气流做功能力的大小。例：等熵加速的问题。,思考：总参数定义的条件,为什么总温和总焓定义的条件是绝热，而总压和总密度定义的条件是等熵（即绝热又可逆）？,Example7.3气流中一点处的压强、温度和速度分别为1atm,320K,1000m/s。计算这一点的总温和总压。,7.6SomeAspectsofSupersonicFlow:ShockWaves超音速流的一些特征：激波Anessentialingre