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文档简介

6.1二次型及其矩阵表示,定义6.1.1设P是一个数域,关于n个变元x1,x2,xn的系数在P中的二次齐次多项式,(6.1.1),，,，,称为数域P上的一个n元二次型.在不会引起混淆时简称为二次型.若P是实数域R或复数域C时,分别称之为实二次型或复二次型.,注意,在二次型的表达式中,若取,则,，于是(6.1.1)式可写成,(6.1.2),，,，,若记,应用矩阵乘法，(6.1.2)可改写为,(6.1.2),，,，,在式(6.1.2)中，由二次型的系数组成的矩阵A=()nn是对称矩阵，称为二次型f(x1,xn)的矩阵,把矩阵A的秩称为二次型f(x1,xn)的秩.,(6.1.3),显然n元二次型f与n阶对称矩阵A之间是一、一对应的，即任给一个n元二次型就唯一确定了一个n阶对称矩阵，反之亦然.对于二次型，要讨论的主要问题是，能否经过变元的替换化为只含平方项的简单形式？,，,，,定义6.1.2设x1,x2,xn和y1,y2,yn是两组变元,cij(1in,1jn)是数域P的上的常数，下述关系式,称为由x1,xn到y1,yn的一个线性变换.它可写成矩阵乘积形式,其中,(6.1.4),(6.1.5),，,，,若系数矩阵C是可逆阵,即|C|0,则称(6.1.4)式或(6.1.5)式为可逆线性变换.,把可逆线性变换式(6.1.5)式代入二次型(6.1.3),得,，,，,其中B=CTAC，BT=(CTAC)T=CTA(CT)T=CTAC=B,即B为对称矩阵，因此g(y1,y2,yn)是关于变元y1,y2,yn的二次型,它对应的矩阵为B=CTAC.当C可逆时,B的秩还等于A的秩.于是，得到如下结论：任何二次型f=XTAX，经过可逆线性变换X=CY后仍是一个二次型，并且其秩不变.,定义6.1.3设A,B为数域P的两个n阶方阵,若存在P上可逆方阵C使,称A与B是合同的矩阵,记为,.,类似于矩阵的相似关系,矩阵的合同关系有下述性质:,，,，,1.反身性:,2.对称性:若,3.传递性:若,因为若,这是因为A=ETAE;,.事实上,则,当A2=CTA1C时必有A1=(C-1)TA2(C-1)；,则有,由定义6.1.3知,合同的矩阵还具有相同的秩.,，,，,根据矩阵合同的概念，可得到结论:经过可逆线性变换式(6.1.5)后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.注意，本章总要求所作的线性变换是可逆的（或非退化的）.因为这样可以由,得出逆替换,由它把所得的二次型还原,可以从所得二次型的性质推断原二次型的性质.,显然f的标准形与f具有相同的秩.,则称,定义6.1.4只含平方项的二次型,如果可逆线性变换X=CY把二次型f=,称为标准的二次型.,XTAX化成了标准的二次型,g为f的一个标准形.,易见，标准的二次型的矩阵是对角型矩阵.由于二次型与对称矩阵是一
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