上海市金山中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1直线x（m2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是2若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为3若复数z满足，则|z+1|的值为4已知直线5x+12y+a=0与圆（x1）2+y2=1相切，则a的值为5已知方程表示椭圆，则k的取值范围为6若直线l经过原点，且与直线的夹角为30，则直线l方程为7过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线=1仅有一个交点，则实数k的值为8已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是9若点O和点F分别为双曲线y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为10双曲线y2=1（n1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则PF1F2的面积为11若点P（1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是12已知点P在直线x+2y1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0x0+2，则的取值范围为二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13设a、bR，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件14与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）ABCD15设曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为x3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A1B2C3D416已知曲线C：=1（ab0），下列叙述中正确的是（）A垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B直线y=kx+m（k，mR）与曲线C最多有三个交点C曲线C关于直线y=x对称D若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有0三、解答题（本大题满分52分）17求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程18设z1是方程x26x+25=0的一个根（1）求z1；（2）设z2=a+i（其中i为虚数单位，aR），若z2的共轭复数满足，求19如图，直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求OPQ面积的最大值20在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21椭圆E1： +=1和椭圆E2： +=1满足=m（m0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1： +=1和C2： +=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+=1”请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1直线x（m2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是3【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由斜率列式求得m值【解答】解：直线x（m2）y+4=0的倾斜角为，该直线的斜率为tan，即，解得：m=3故答案为：32若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由此求出A点坐标，不难得到本题的答案【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于ABO及其内部的阴影部分将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）zmax=F（2，2）=2+22=6故答案为：63若复数z满足，则|z+1|的值为【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算【分析】由已知条件求出复数z，并利用复数代数形式的除法法则化简为1i，由此求得z+1的值及|z+1|的值【解答】解：复数z满足，解得 z=i，z+1=1i，|z+1|=，故答案为4已知直线5x+12y+a=0与圆（x1）2+y2=1相切，则a的值为8或18【考点】圆的切线方程【分析】写出圆的圆心坐标和半径，利用圆心到切线的距离等于圆的半径得答案【解答】解：圆（x1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，直线5x+12y+a=0与圆（x1）2+y2=1相切，解得：a=8或a=18故答案为：a=8或a=185已知方程表示椭圆，则k的取值范围为【考点】椭圆的标准方程【分析】根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案【解答】解：方程表示椭圆，则解得 k故答案为：6若直线l经过原点，且与直线的夹角为30，则直线l方程为x=0或y=x【考点】两直线的夹角与到角问题【分析】可得已知直线的倾斜角为为60，进而所求直线l的倾斜角为30或90，可得直线l的方程【解答】解：直线的斜率为，倾斜角为60，所求直线l的倾斜角为30或90，当直线l的倾斜角为90时，直线的方程为x=0；直线l的倾斜角为30时，直线的方程为y=x故答案为：x=0或y=x7过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线=1仅有一个交点，则实数k的值为0或【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据直线的方程可知直线恒过（2，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值【解答】解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=x，要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，即垂直于x轴，即有k=0；当直线与渐近线平行，即有=，即k=，此时直线与双曲线仅有一个交点故答案为：0或8已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是【考点】椭圆的简单性质【分析】利用三角函数来解答这道题，椭圆方程上 里面的自变量x，y可以表示为 x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限，这样就应该有0a，设P为（2cosa，sina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa 这样四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa也就相当于求解sina+cosa的最大值，0a，sina+cosa=sin（a+）这样其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立【解答】解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点， 设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0a），这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa 四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa=sin（a+）其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立所以，面积最大值故答案为：9若点O和点F分别为双曲线y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为3+2，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的焦点F，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围【解答】解：设P（m，n），由F（2，0），O（0，0），则=（m，n）（m+2，n）=m2+2m+n2由点P为双曲线右支上的任意一点，可得n2=1（m），即n2=1，则m2+2m+n2=m2+2m+1=m2+2m1=（m+）2，由m，可得函数在，+）上单调递增，即有m2+2m+n23+2，则的取值范围为3+2，+）故答案为：3+2，+）10双曲线y2=1（n1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则PF1F2的面积为1【考点】双曲线的应用【分析】令|PF1|=x，|PF2|=y，根据题设条件和双曲线定义可得关于x和y的方程组，解x和y，进而可求得x2+y2，结果正好等于|F1F2|2，根据勾股定理可知PF1F2为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得答案【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=，x2+y2=（2+）2+（2）2=4n+4|F1F2|=2|F1F2|2=4n+4x2+y2|F1F2|2PF1F2为直角三角形PF1F2的面积为xy=（2+）（）=1故答案为：111若点P（1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2【考点】轨迹方程【分析】直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，2），PQ垂直直线2ax+（a+c）y+2c=0，故PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆【解答】解：直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，2）点P（1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是QPQ直线l故PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2 故答案为：x2+（y+1）2=212已知点P在直线x+2y1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0x0+2，则的取值范围为【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【分析】首先由直线x+2y1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N（x0，y0）满足的直线方程；再根据y0x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合的几何意义求出其范围【解答】解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点N的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由得 N（，），则kON=，并且直线x+2y+1=0的斜率k=，而可视为点N与原点O连线的斜率，故二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13设a、bR，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念【分析】结合纯虚数的概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b0，“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”必要不充分条件故选：B14与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意设出与双曲线有共同的渐近线的方程为，把点（2，2）代入求出，则答案可求【解答】解：设所求的双曲线方程为，所求双曲线过点（2，2），则，即=3，所求双曲线方程为故选：B15设曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为x3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A1B2C3D4【考点】参数方程化成普通方程【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数【解答】解：曲线C的参数方程为（为参数），化为普通方程为圆C：（x2）2+（y1）2=9，圆心为（2，1），半径为3则圆心到直线的距离d=则直线与圆相交，则由3，故在直线x3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个故选D16已知曲线C：=1（ab0），下列叙述中正确的是（）A垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B直线y=kx+m（k，mR）与曲线C最多有三个交点C曲线C关于直线y=x对称D若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有0【考点】曲线与方程【分析】对x，y的符号进行讨论，得出曲线的图象，根据椭圆与双曲线的性质进行判断【解答】解：当x0，y0时，曲线C的方程为，渐近线方程为y=当x0，y0时，曲线C方程为，方程无解当x0，y0时，曲线C方程为，渐近线方程为y=当x0，y0时，曲线C方程为作出曲线C的图象如图所示：显然y是关于x的函数，故A错误由图象可知当直线y=kx+m经过点（a，0）且k时，直线与曲线C有三个交点ab，曲线C不关于直线y=x对称，故C错误由图象可知y=f（x）为增函数，k=0，故D错误综上，故选B三、解答题（本大题满分52分）17求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），因为圆过原点，所以半径R=1 所以所求的圆的标准方程为（x1）2+y2=118设z1是方程x26x+25=0的一个根（1）求z1；（2）设z2=a+i（其中i为虚数单位，aR），若z2的共轭复数满足，求【考点】复数代数形式的乘除运算；函数的零点；复数求模【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；（2）由z2=a+i得其共轭复数，把z1及代入，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解【解答】解 （1）=62425=64，即z1=34i或z1=3+4i； （2）由z2=a+i，得当z1=34i时，则=|（34i）3（ai）|=，得|（11744i）（ai）|=，整理得：，a=2当z1=3+4i时，则=|（3+4i）3（ai）|=，得|（117+44i）（ai）|=，整理得：，a=2综上：当a=2时，； 当a=2时，19如图，直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求OPQ面积的最大值【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=5代入求得Q的坐标（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值【解答】解：（1）解方程组得或即A（4，2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由kAB，直线AB的垂直平分线方程y1=2（x2）令y=5，得x=5，Q（5，5）（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x， x24）点P到直线OQ的距离d=，SOPQ=|OQ|d=P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，4x44或44x8函数y=x2+8x32在区间4，8上单调递增，当x=8时，OPQ的面积取到最大值3020在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【考点】圆方程的综合应用【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0x）2+（0y）2（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x，y）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（xx）2+（yy）2r（t）2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0x）2+（0y）2（10t+60）2，即，即t236t+2880，解得12t24答：12小时后该城市开始受到台风侵袭21椭圆E1： +=1和椭圆E2： +=1满足=m（m0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于