2020年第38届美国数学邀请赛

2020第38届美国数学邀请赛1. 在ABC中,AB=AC,点D在边AC上,点E在边AB上且AE=ED=DB=BC。ABC的度数是，其中m、n是互质的正整数,求m+n。2. 存在唯一的正实数，使得log8(2x),log4x,log2x按顺序可形成公比为正常数的等比数列，x可写成形式,其中m、n是互质的正整数,求m+n。3. 一个正整数N在十一进制下可表示为,在八进制下可表示其中a,b,c(不必不同)代表数字。求N的十进制表示。4. 正整数N的具有下述性质的数形成集合S:N的末四位数字是2020,当擦去末四位数字2020时得到的数是N的因数。例如42020是S中的一个数,擦去2020之后得到的数4是42020的一个因数。求5中的所有数的所有数字之和。例如:42020的数字和4+2+0+2+0=8。5. 标号分别为16的六张卡片排成一行,如果去掉一张卡片之后剩余的五张是按通增或近减顺序排列。求这六张卡片符合这种要求的排列个数。6. 一块平板上有两个圆孔,半径分别为1、2,两个圆孔的圆心距为7。在每个圆孔上各放置一个半径相等的小球,使这两个小球互相外切。小球的半径的平方可表示为的形式,其中m，n是互质的正整数。求m+n。7. 一个俱乐部由11男12女组成,现从中选出一个委员会,要求委员会中的女比男多一人。这个委员会可以是1人或23人,设N是委员会的选取方法数,求能整除N的质因数之和。8. 一只小虫自天爬行,晚上休息。它的起点为O,面向东,爬行5个单位。每个晚上,这只小虫逆时针转动60。每个白天它都是按新方向爬行前一天一半的距离。这只小虫任意接近点P,OP2=,其中,m,n是互质的正整数,求m+n。9. 设集合S由209的正整数的约数组成。从S中独立随机选取三个数,依次为a1，a2，a3，a1整除a2,a2整除a3的概率是,其中m、n是互质的正整数。求用m.10. 正整数m、n,满足gcd(m+n,210)=1;mm是nn的倍数:m不是n的倍数。求用m+n的最小可能值。11. 己a,b,c,d都是整数，设f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,求使g(f(2)=g(f(4)=0,且的三元有序整数组(a，b，c)的个数.12.设n是使149n-2n是33*55*77的倍数的最小的正整数。求n的正整数因数个数.13.ABC中,AD平分BAC交BC于D。AD的中垂线分别交ABC、ACB的平分线于E、F。设AB=4,BC=5,CA=6。AEF的面积可表示为的形式，m,p是互质正整数，正整数n加不能被任何质数的半方整除。求m+n+P。14.设P(x)是二次项系数为1的复系数二次多项式,方程P(P(x)=0有四个不同的根3,4,a,b。求(a+b)2的所有可能值之和。15.已知说角ABC的外接因为,垂心为H,设HBC的外接圆在H处的切线交于X、Y。且HA=3,HX=2,HF=6。ABC的面积可写成的形式,其中m、n是正整数且n不整除任何质数的平方。求m+n。1.已知，圆T1,T2圆心分别为O1,O2,两圆相交于点A，B。已知两个圆心均在另一个圆外.过B作T1切线与圆T2再次相交于点C。过B作T2切线与圆T1再次相交于点D。DAB平分线与圆T1再次相交于X。CAB平分线与圆T2,再次相交于Y。若P，Q分别为ACD，AYX外心。求证:PQO1O2。2.实系数多项式P(x)满足P(cos+sin）=P( cos-sin）任意实数成立。证明P(x)可以表示为P(x)=a0+a1(1-x2)+a2(1-x2)2+an(1-x2)n的形式。其中a0,a1an为实数,n为非负整数。3设S为集合0，1，2，9的子集。若存在正整数N，使得对任意整数nN,总能找到正实数a，b,满足a+b=n,且a，b在十进制表示下的所有数字(不包括开头的0）都属于集合S.求的最小值。第二天4.整数n2.实数1a1a2an,满足a1+a2+an=2n。求证:a1a2an-1+a1a2an-2+a1a2+a1+2a1a2an。5.平面上有无数条互相平行且等距的直线。若可以作一个正n边形,使得它的所有顶点都在这些直线上,且任意一条直线上的顶点都不超过1个,就称n是“可转换的”。(1)证明：3、4、6是“可转换的”。(2)证明：n7时,n不可“可转换的”。(3)判定边数为5时