线性代数 行列式的定义.ppt

,一、教学内容,线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，,线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、,是工科,线性代数在工程技术、科学研究,本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带“*”号,学习线性代数的难点在于“入门”，即如何尽快地去理解,和适应它所引入的新的数学语言与数学工具。,数学教学的主要课程之一。,和各行各业中有着广泛的应用。,线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性,变换等。,的内容不需要掌握。,二、教学及考核方式,考试方式：闭卷,作业：每周一次,主要参考书（略）,答疑：每周一次,课堂教学：40学时,考试成绩：作业占20%，考试占80%,(练习册),第一章行列式,1.1行列式的定义,利用消元法求解二元线性方程组,一、二阶与三阶行列式,行列式的引入来源于求解线性方程组，,求解是数学与工程中最基本的问题之一。,而线性方程组的,得,得,两式相减消去得,引例,方程组的解为,两式相减消去得,类似地，消去得,当时，,由此引入二阶行列式的定义,称下式为二阶行列式,定义,对角线法,一、二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,利用二阶行列式求解二元线性方程组,对于二元线性方程组,当时，,方程组的解为,其中,记,记,问题,当时，,方程组的解会怎么样？,解,(惟一解),解,(无穷多解?),解,(无解?),2.三阶行列式,一、二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,利用消元法求解三元线性方程组,逐步消去可得,引例,其中,由此引入三阶行列式的定义,称下式为三阶行列式,定义,2.三阶行列式,一、二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,问题,三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？,(1)对角线法,三阶行列式计算规律的探讨?,(2)沙路法,三阶行列式计算规律的探讨?,(3)排列法,三阶行列式共有6项，即3!项,每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,为排列的逆序数(?),为自然数的一个排列;,其中,三阶行列式计算规律的探讨?,(4)递推法,三阶行列式计算规律的探讨?,利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，,即,由解得,或,利用三阶行列式求解三元线性方程组,对于三元线性方程组,则三元线性方程组的解为,令,解,故方程组的解为,由题意得,故所求多项式为,由,有,二、n阶行列式,前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别,引出了二阶与三阶行列式的概念，,那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法,阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。,能否推广并应用到n元线性方程组的求解问题呢？,在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种,更具有一般性呢？,并给出了利用二阶与三,特别是,二、n阶行列式,经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。,本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，,避开诸如排列、逆序等一些概念。,人们发现前面提到的对角线法与沙路法并不适合一般,的情形，,还是对排列法有所了解。,而排列法与递推法才是真正可以推广的方法。,其目的是,不过有兴趣的同学最好,并按照特定的运算法则对应到,二、n阶行列式,1.余子式和代数余子式,把元素aij所在的第i行和第j列划去后，,(n-1)列元素组成(n-1)阶行列式，,剩下的(n-1)行,即：,将个数排成n行n列,一个数，,称之为n阶行列式，,记为,二、n阶行列式,1.余子式和代数余子式,称Aij为元素aij的代数余子式.,称Mij为元素aij的余子式.,定义,记,则,为元素a23的余子式，,为元素a23的代数余子式.,注意,无论是行列式还是余子式，其结果都是“数”.,那么它们到底以什么样的运算法则得到一个数呢？,二、n阶行列式,1.余子式和代数余子式,2.行列式的递推定义,定义,称下式为n阶行列式,当时，,当时.,其中为的代数余子式.,解,定理,其中为的代数余子式.,称此计算方式为将行列式按第j列展开.,当时，,当时.,将行列式按任意列展开,二、n阶行列式,1.余子式和代数余子式,2.行列式的递推定义,3.几个典型的行列式,(1)对角行列式,3.几个典型的行列式,(2)上三角行列式,