信号与系统第四章

信号与系统,第4章系统的频域分析,主要内容,连续系统的频率响应利用系统频率响应求响应无失真传输与滤波信号的抽样与重建调制与解调频分复用与时分复用,知识回顾,LTI系统（零状态）,(定义),(时不变性),(齐次性),(卷积积分),(叠加性),傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号,对非周期信号,其基本信号为,1.基本信号通过系统的响应,说明：频域分析中，信号的定义域为，而总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率为的基本信号时，其响应,是h(t)的傅里叶变换，它反映了响应y(t)的幅度和相位。,进一步计算,2.一般信号通过系统的响应,（齐次性）,（叠加性）,傅里叶变换,傅里叶变换,LTI系统（h(t)）,称为幅频特性（或幅频响应）；称为相频特性（或相频响应）。是的偶函数，是的奇函数。,系统频率响应的定义：,3.系统频率响应,4.系统频率响应的求法,由系统微分方程求出（例1）；由系统的冲激响应的傅里叶变换求出（例2）；由电路的零状态频域电路模型求出（例3）。,例1已知某LTI系统的动态方程为求系统的频率响应。,解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例2已知某LTI系统的冲激响应为求系统的频率响应,解：利用与h(t)的关系,例3图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压Vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应和冲激响应h(t)。,解：RC电路的频域(相量)模型如右下图所示。,根据电路的基本原理有,由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为,频域分析法步骤：,系统,输入,响应,1.系统的频域分析法,（时域）,*,对周期信号还可用傅里叶级数分析法：,复指数展开,三角级数展开,例4：某LTI系统的和如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。,解：,解法一：用傅里叶变换,解法二：用三角傅里叶级数分析法求解,f(t)的基波角频率0=5rad/s,例4：某LTI系统的和如图，若f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)，求系统的响应。,例5已知LTI系统的微分方程系统的激励为，求系统的零状态响应,解：激励的频谱为,由微分方程求得系统的频率响应为,系统的零状态响应的频谱为,系统的零状态响应为,系统频域分析小结,优点：求解系统零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足：1.只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。2.若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。3.频域分析法中，傅里叶逆变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换,信号与系统,第4章系统的频域分析（续）,主要内容,连续系统的频率响应利用系统频率响应求响应无失真传输与滤波信号的抽样与重建调制与解调频分复用与时分复用,1、无失真传输定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为,系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。,（K为常数）,其频谱关系为,无失真传输条件：,系统要实现无失真传输，对系统h(t)，的要求是：对h(t)的要求：对的要求：即,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,例6系统的幅频特性和相频特性如图所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是：,(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t),例7已知一LTI系统的频率响应为,求系统的幅度响应和相位响应，并判断系统是否为无失真传输系统。,解：,系统的幅度响应为常数，但相位响应不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。,理想滤波器的频响特性,低通,高通,带通,带阻,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：,幅频,相频,冲激响应,分析：h(t)的波形是一个抽样函数，不同于输入信号的波形，有失真。原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号的频带宽度为无穷大。,h(t)主峰出现时刻t=td比输入信号(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。,减小失真的方法：增加理想低通截频，h(t)的主瓣宽度为，越小，失真越大，当时，理想低通变为无失真传输系统，h(t)也变为冲激函数。,阶跃响应,经推导，可得,称为正弦积分,阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。阶跃响应的建立需要一段时间。阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间t。t=2/c，即上升时间t与理想低通截频c成反比。c越大，上升时间就越短，当c时，t0。,特点：有明显失真，只要c，则必有振荡，其过冲比稳态值高约9%。这一由频率截断效应引起的振荡现象称为吉布斯现象。,结论,1.输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率。2.输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比。3.理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。,物理可实现系统的条件就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在t0时必须为0，即响应不应在激励作用之前出现。就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理可实现的幅频特性必须满足,且,称为佩利-维纳准则。（必要条件）从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,抽样,抽样脉冲,连续信号,抽样信号,知识回顾：信号的抽样,冲激函数抽样,其傅里叶系数,抽样后信号的频谱为,*,时域抽样定理,带限信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值惟一的表示。而抽样间隔应不大于（或抽样频率最低为）,通常把最低允许的抽样率称为“奈奎斯特（Nyquist）频率”；把最大允许的抽样间隔称为“奈奎斯特间隔”。,1.抽样定理在工程中的应用许多实际工程信号不满足带限条件,混叠误差与截断误差比较,2.信号的重建,参见书p295图5-22,经过抽样的信号,低通滤波器的频域特性,滤波器的冲激响应为,利用时域卷积关系可得到原信号,信号与系统,第4章系统的频域分析（续）,主要内容,连续系