图形的旋转专题

旋转图形旋转对称：的一个平面图案可以通过以某一点为中心旋转一定的角度(小于周角)与自身重叠，这样的图案称为旋转对称图案，将该点称为旋转中心。注意：旋转角是连接对应点和旋转中心的线所成的角度。旋转中不动的点是旋转中心。旋转中请注意旋转方向(逆时针或顺时针)。基本类型：正三角形类型在正ABC中，p是ABC内的一点，使ABP绕a点逆时针旋转，以使AB与AC重叠。 经过这样的旋转变化，将图(1-1-a )中的PA、PB、PC这3根图(1-1-a )图(1-1-b )线段集中在图(1-1-b )中的一个PCP上，在这种情况下，PAP也是等边三角形。正方形类型在正方形ABCD中，p是正方形ABCD内的一点，为了使BA和BC重叠，使ABP绕b点顺时针旋转900度。 经过旋转变化，将图(2-1-a )中的PA、PB、PC图(2-1-a )图(2-1-b )三条线段集中在图(2-1-b )的CPP上，此时BPP是直角等腰三角形。等腰三角形类型在等腰三角形ABC中，p是ABC内的一点，将APC绕c点逆时针旋转900度，使AC和BC重叠。 经过这样的旋转变化，图(3-1-b )中的一个cpp是直角等腰三角形。图(1-1-a )图(1-1-b )问题类型1 :利用图形的旋转求线段的长度如图所示，p是等边三角形ABC内的一点，是873bpc等于150，PC=5，PB=12，PA的长度是将分析：bpc以c点为中心顺时针旋转60圈，连接PP喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6pcp 是等边三角形喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓UUUUUUUUR p=150-60=90另外，PP=PC=5，AP=BP=12在rtapp中，PA=评价：解决这个问题的关键是，把PA、PB、PC做成“相同的四边形”建立辅助线结构等边三角形是解决本问题的关键。如图所示，点p是正方形ABCD内的点如果AP=1，PB=，UUUUUUUUUUUUUR=135的话长度相等分析：图，以点b为中心逆时针旋转PBC，得到了ABP因为AP=PC，BP=BP=1.所以pbp是直角等腰三角形在里面2220评价：解决这个问题的关键是将PA、PB、PC设为“相同的四边形”做辅助线做成直角等腰三角形是解决本问题的关键。如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD彼此正交，如果AB=3、BC=4、CD=5，则为AD的长度A. B.4 C. D在分析：rtaob中，AO2=AB2-BO2；在RtDOC中，DO2=DC2-CO2；AD2=AO2 DO2=AB2-BO2 DC2-CO2=18可以选择PS=、PS思考问题：如图所示，以顶点a为中心顺时针旋转ABC然后，得到、BC中点时（）a.1:2 b.1:2 c.1: d.1:3问题类型2 :利用图形的旋转求出角的大小如图所示，在ABC下，BC=ACp是ABC内的一点，PA=3，PB=1，PC=2度数是多少将分析：bcp绕b逆时针旋转90度，连接PP喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6pcp 是等腰三角形UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU另外？PA=3、PB=1即，即2220例5 .如图所示，p是正方形ABCD内的一点，PA=1PB=2，PC=3，然后APB=将分析：apb以b点为中心顺时针旋转90度连接PE把APB以b点为中心顺时针旋转90度，得到BEC喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地6532222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6Pb=2，8756； pe=PC=3，CE=PA=1PC2=PE2 CE2，即UUUUUUR=90UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU例6 .如图所示，已知o是等边三角形ABC内的一点喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓在以OA、OB、OC为边的三角形中，这三边对角的度数是解析3360-AOB:BOC:AOC=6:5: 4AOB=144、BOC=120、AOC=96以AOC为点a为中心顺时针旋转60圈，得到aob，连接oo 。2222222222航空公司UUUUURUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653aoo 是等边三角形oo=aoboo 是以OA、OB、OC为边长的三角形喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU思考问题：如图所示，在等边ABC中，点e、d分别为AB，BC上的两点、BE=CD、AD和CE相交于点m时（）A. B. C. D问题类型3 :利用图形的旋转求面积例7 .图、已知中点d、e和f分别在AB、AC和BC处四边形CFDE是正方形，如果AD=3、BD=4总和面积之和:为了分析这个问题，经常采用通过计算直角三角形的两个直角边的长度和正方形的边的长度，从大三角形的面积中减去正方形的面积，求出两个三角形的面积之和的想法，但是计算量很大。用模式旋转的思想来解决这个问题的话，会给我们的耳目带来新的感觉。如图所示，当以点d为中心旋转时，DE和DF重叠.2222222222222222226，另外AD=3，BD=42220即，两个三角形的面积之和等于6如图所示，p是正方形ABCD内的一点从点p到正方形的三个顶点a、b、c距离分别为PA=1、PB=2、PC=3正方形ABCD的面积是:分析这个问题的一般想法是，利用三角形的性质来计算正方形边的长度，但是由于中学的数学知识有限，很难继续计算，所以考虑用图形旋转的思想来解决。如图所示，以点a为中心逆时针旋转以点c为中心顺时针旋转容易证明，EAP和PCF都是等腰三角形222222222222222卡卡6另外，再见2220点d、e、f在同一直线上1EFD中喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓2220思考问题：如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBCABBC、AD=2、BC=3、以腰CD为中心逆时针旋转90ed，连接AE、CE后ADE的面积是()A.1 B.2 C.3 D.4问题型4 :利用图形的旋转搜索图形中线段间的关系例9 .如图所示，正方形ABCD的周边有移动点e、f的周长等于正方形ABCD的周长的一半搜索：的度数是否因点e、f的位置而变化如果有变化，请找到变化规律。如果不变化，则要求的度数的大小。:的由来周长是正方形ABCD的一半得到PS=PS。 这个好像和度数没有关系。此时，如果以点b为中心逆时针旋转，则如图所示AR=ba，点g、a、f、d在同一直线上APK=ga af=ce af=ef，BG=BE，BF=BF222222222222222卡卡6又来了2220如图所示，ABC的AB=AC，EPF的顶点p是BC的中点，已知两侧的PE、PF分别与AB、AC与点e、f相交，得出了以下5个结论PS=K；APE=CPF；EPF是等腰三角形PS=PS PS；s四边形AEPF=SABCEPF在ABC内以顶点p为中心旋转时(点e不与a、b重叠)上述结论其中总是有正确的号码解析：如图所示，以点a为中心逆时针旋转是的，马上喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓是正确的喀喀喀喀喀喀地653s四边形aepf=sPAEsPAF=spcfsPAF=sPAC=sABC是正确的直角等腰三角形的斜边成为直角边的两倍表示EFef根据点e的变化而变化，判定错误思考问题：如图所示，ABC是边长为5的等边三角形BDC是等腰三角形，是点d形成顶点的角，将其两侧作为AB，如果AC在点m和n处，则AMN的周长为问题型5 :利用例11 .在边长为2的正方形ABCD内求出点p使PA PB PC之和最小，求出该最小值:顺时针旋转BPC，得到等边PBEPE=PB，EF=PC即，PA PB PC=AP PE EF。最小为只有AP、PE、EF在一条直线上即，PA PB PCAF .BM=BFcos30=BCcos30=PS=，喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653AF=AMcos15=即，PA PB PC的最小值是例12 .在众所周知的情况下o是其中一点原则分析：顺时针旋转BOC，得到等边PDEOD=OB，DE=OC又来了2220即，a、o、d、e四点在一条直线上.1222222222222222222222226再见2220又(44444444444653 )2220也就是说思考问题：(2012济南)图，MON=90矩形ABCD的顶点a、b分别在边OM上在ON上，b在边缘ON上移动的话，a随之而来在边OM上运动，保持矩形ABCD的形状就这样，AB=2、BC=1、运动中从点d到点o的最大距离是()A. B. C. D如思考问题：图所示，使ABC以顶点a为中心顺时针旋转而得到，是BC的中点时()a.1:2 b.1:2 c.1: d.1:3分析：ABC是ABC以顶点a为中心顺时针旋转60周而得到的UUUUUUUUUUUUU此外，AC=AC，8756； acc是等边三角形AC=AC .另外c是BC的中点，BC=CC容易得到的abc、abc是包含30角的直角三角形ACD也是包含30角的直角三角形，故另一个解：试着利用“评价法”来出“尺子”。如思考问题：图所示，在等边ABC中，点e、d分别是AB、BC上的两点，BE=CD，AD和CE与点m相交时()A. B. C. D因为分析：bc=ac，ABC=ACD=60，BE=CD以AB的中心(等腰三角形的三条中线的交点) o为旋转中心顺时针旋转就能得到ame=180-AMC=180-120=60另一个解：利用特殊的位置，用BE=CD防止d、e分别成为BC、AB的中点易得AME=60思考问题：如图所示，ABC是边长度为5的等边三角形，BDC是等腰三角形，且以点d为顶点的角，在其两侧分别与AB、AC与点m、n相交时，AMN的周长为.解：222222航空公司=dbc=30ABC是边长为3的等边三角形abc=bac=60dba=dca=90从AB到f，以BF=CN的方式延长，连接DF在RtBDF和RtCND中，BF=CN、DB=DCbdfcnd=cdn，DF=DN87222222222222222222cdn=60bdm BDF=60，FDM=60=MDN，DM为共同边2222222222222222222222226PS=PSAMN的周长是AM AN MN=AM MB BF AN=AB AC=6思考问题：(2012济南)，图，MON=90，矩形ABCD的顶点a、b分别在边OM、ON处，b在边ON处运动时，a在边OM处运动，矩形ABCD的形状不变。 其中AB=2，BC=1，运动中，从点d到点o的最大距离为()A. B. C. D解：如图所示，取AB的中点e，连接OE、DE、ODTTTR TR在o、d、e这3点为共通线的情况下，从点d到点o的距离最大在这种情况下，AB=2，BC=1od的最大值如下故选： a. (2012济南)图中，UUUUUUUUUUUUUUR的顶点a、b分别在边OM、ON处，b在边ON处移动时，a在边OM处移动，矩形ABCD的形状不变。 其中AB=2，BC=1，运动中，从点d到点o的最大距离为()如图所示，以顶点a为中心顺时针旋转ABC，然后BC中点的情况()a.1:2 b.1:2 c.1: d.1:3分析：ABC是ABC以顶点a为中心顺时针旋转60周而得到的UUUUUUUUUUUT另外，AC=AC，8756； acc是等边三角形AC=AC .另外c是BC