《名师伴你行》人教A版数学必修五第二章学案2+等差数列.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.一般地，如果一个数列.，那么这个数列就叫做等差数列.叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式为.3.由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做.,这个常数,an=a1+(n-1)d,a与b的等差中项,学点一等差数列的通项公式,已知an是等差数列，a1=x-2,a2=x,a3=2x+1，求该数列的通项公式.,【解析】解法一：公差d=a2-a1=2,a2+2=a3，即x+2=2x+1，解得x=1,a1=-1，an=-1+(n-1)2=2n-3.,【分析】利用等差数列的定义及通项公式可解得.,解法二：a1,a2,a3成等差数列，a1+a3=2a2，即(x-2)+(2x+1)=2x,解得x=1,a1=-1,d=2,an=-1+(n-1)2=2n-3.解法三：d=a2-a1=2,又a3=2x+1=x+(x+1)=a2+(x+1),x+1=2,即x=1.a1=-1，an=-1+(n-1)2=2n-3.,【评析】充分利用定义中d=an+1-an或及公式an=a1+(n-1)d，列方程或方程组求解.,已知数列an是等差数列，an=4n-2.求首项a1和公差d.,解：解法一：已知等差数列an，且an=4n-2,a1=41-2=2,a2=42-2=6,d=a2-a1=6-2=4.解法二：an=4n-2,a1=41-2=2,d=an-an-1=4n-2-4(n-1)+2=4.解法三：数列an是等差数列，且an=4n-2,an=4n-4+2=2+(n-1)4.a1=2,d=4.,学点二通项公式的应用,已知an是等差数列，各项分别是11,8,5,.（1）求a13的值；（2）-101是否是数列中的项？若是,是第几项；若不是，说明理由;（3）从第几项开始出现负数？（4）在(-31,0)上有几项？,【分析】无论是求数列中的某一项，或判断某一数值是否是数列中的项，或正数项、负数项，以及项的总数都与通项公式相关，所以求出通项公式是解此类问题的核心.,【解析】（1）由等差数列an各项11,8,5,知a1=11,d=a2-a1=8-11=-3.an=a1+(n-1)d=11+(n-1)(-3)=-3n+14.a13=-313+14=-25.（2）设-101=an，则-101=-3n+14,3n=115.n=N*.-101不是数列an中的项.（3）设从第n项开始出现负数，即an14,n.由于nN*,n5，即从第5项开始出现负数.,（4）设an(-31,0),即-31an0,-31-3n+140,03n-1431,143n45,n0,求得n的范围.由此便可知从第几项开始是正数项了.但注意：nN*的限制条件.,（1）-401是不是等差数列-5,-9,-13，的项？如果是，是第几项？,解：可知a1=-5,d=-9-(-5)=-4,an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1,令-401=-4n-1,解得n=100.故-401是这个数列的第100项.,（2）一个等差数列首项为,公差d0，从第10项起每一项都比1大，求公差d的范围;,解：可知在100至500之间能被11整除的数依次为1011,1111,1211,4511,构成首项为1011,末项为4511,公差为11的等差数列，由an=a1+(n-1)d得4511=1011+(n-1)11,解得n=36.故共有36个符合条件的数.,（3）求在100至500之间能被11整除的整数的个数.,学点三等差数列的基本运算,已知等差数列an中，a15=31,a8=17,求a99的值.,【分析】只需知道通项公式an=a1+(n-1)d即可，n=15,a15两量已知，尚余两个未知量，再利用a8,可联立方程，也可用an=am+(n-m)d来完成，还可用等差中项a1+a15=2a8.最后，还有an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数式呢！,解法二：an是等差数列，an=am+(n-m)d,即a15=a8+(15-8)d,31=17+(15-8)d,d=2,则17=a8=a1+(8-1)d=a1+72,a1=3,故an=3+(n-1)2,a99=3+(99-1)2=199.解法三：已知an是等差数列，且a8=7,a15=31,易知a1+a15=2a8,a1=2a8-a15=217-31=3.又a15-a8=(15-8)d,即7d=31-17=14,d=2.an=3+(n-1)2,a99=3+(99-1)2=199.,【评析】等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,其中四个量：a1,an,n,d知三求一，当已知两个条件时，可通过方程组完成，强化方程思想.,在等差数列an中，已知a5+a9=20，求a6+a7+a8的值.,解：解法一：设公差为d，则an=a1+(n-1)d,(a1+4d)+(a1+8d)=20.a1+6d=10,a6+a7+a8=(a1+5d)+(a1+6d)+(a1+7d)=3(a1+6d)=30.解法二：a5+a9=20,a7=(a5+a9)=(a6+a8).a6+a7+a8=(a5+a9)=30.,学点四判定或证明某一数列成等差数列,一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d.将其中所有是4的倍数的各项取出，依次组成一个新数列.判定这个数列是否为等差数列，若是，求出首项及公差；若不是，请说明理由.,【解析】解法一：原数列是以a1为首项，d为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d.由是4的倍数构成的数列为a4n，a4n=a1+(4n-1)d,则a4(n-1)=a1+4(n-1)-1d（n2）,a4n-a4(n-1)=4d（常数）（n2）,数列a4n是等差数列.首项a4=a1+3d,公差为4d.解法二：原数列是以a1为首项，d为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d.由是4的倍数构成的数列为a4n,即a4n=a1+(4n-1)d.a4(n+1)=a1+4(n+1)-1d.a4(n-1)=a1+4(n-1)-1d.,a4(n+1)+a4(n-1)=a1+4(n+1)-1d+a1+4(n-1)-1d=2a1+(8n-2)d,而2a4n=2a1+(4n-1)d=2a1+(8n-2)d,a4(n+1)+a4(n-1)=2a4n,数列a4n成等差数列.首项a4=a1+3d，公差为4d.解法三：原数列是以a1为首项，d为公差的等差数列.即an=a1+(n-1)d.由是4的倍数构成的数列为a4n,即a4n=a1+(4n-1)d=4dn+a1-d是关于n的一次函数，设4d=k,a1-d=b,即有a4n=kn+b.数列a4n是等差数列.首项a4=a1+3d,公差为4d.,【评析】判定或证明数列是等差数列的问题，可以用定义法(an+1-an=d)、中项法（2an+1=an+an+2）、函数法（an=kn+b）.证明数列是等差数列，前两种方法较为常用，而对于选择题或填空题，函数法较快，较方便.使用时，注意与原公式对照使用.an=dn+(a1-d)与an=kn+b,即d=k,a1-d=b.在证明题中，任何一数列只要满足an+1-an=d（常数）或2an+1=an+an+2，即可确定数列an是等差数列，两者都是给出等差数列的递推关系.虽然形式各异，实际上是统一的.2an+1=an+an+2an+2-an+1=an+1-an.两个差相等还是常数的含义:an+2-an+1=d,an+1-an=d,d=d,即：任意两项an+1-an=d(或d)（常数）.在使用公式证明时，an+1-an所得的差可以是一个实数，也可以是一个式子.只要能说明是一个确定的不变的量就可以下结论是等差数列.,数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(n=1,2,3,),是常数.（1）当a2=-1时，求及a3的值；（2）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.,解：（1）由an+1=(n2+n-)an(n=1,2,),且a1=1.当a2=-1时，得-1=2-,故=3.从而a3=(22+2-3)(-1)=-3.（2）数列an不可能为等差数列.证明如下：由a1=1,an+1=(n2+n-)an得,a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-),若存在，使an为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即(5-)(2-)=1-,解得=3.于是a2-a1=1-=-2,a4-a3=(11-)(6-)(2-)=-24,这与an为等差数列矛盾，对任意,an都不可能是等差数列.,学点五等差数列的性质及应用,【分析】要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到a2+a8=2a5=a3+a7问题就好解了.,在等差数列an中，已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21，求数列的通项公式.,【解析】a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,a2+a8=a3+a7=2a5,a3+a7=2a5=6,a3a7=-7,由解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,a3=-1,d=2或a3=7,d=-2.由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.,【评析】等差数列的重要性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq，特例：若m+n=2p,则am+an=2ap.,(1)在等差数列an中,若a7+a8+a9+a10+a11=450,则a5+a13=.,解：a7+a11=a8+a10=2a9,又a7+a8+a9+a10+a11=450,5a9=450,即a9=90.而a5+a13=2a9,a5+a13=180.,180,(2)已知an为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=.,24,解：an是等差数列，a15,a30,a45,a60,a75也是等差数列，设其公差为d,a15为首项，则a60为其第4项，a60=a15+3d,得d=4,a75=a60+d=24.,1.如何理解等差数列的定义?,在等差数列的定义中，要强调“从第2项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒.如果用数学符号来描述，可叙述为：若an-an-1=d(n2，d为常数)，则an是等差数列.还可以写为：若an+1-an=d(nN*,d为常数)，则an是等差数列.,2.如何判定一个数列是等差数列？,等差数列的判定要理解和灵活运用以下几个等价条件：（1）an-an-1=d(n2,d为常数)an是公差为d的等差数列；（2）2an=an-1+an+1(n2)an是等差数列；（3）an=kn+b(k，b为常数)an是公差为k的等差数列；（4）Sn=An2+Bn(A，B为常数)an是公差为2A的等差数列，式中Sn表示数列an的前n项和.,3.怎样认识等差数列的通项公式？,4.怎样认识等差中项的概念？,a，A，b成等差数列的充要条件是（或2A=a+b），等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系2an=an-1+an+1(n2)，还可推广为：若2n=m+p,则2an=am+ap.这是等差数列的一条重要性质.例如，等差数列an中，若a3=5,a9=1，则a6=(a3+a9)=3.任意两个数的等差中项是唯一确定的.,5.等差数列有什么样的性质？,等差数列是有规律的数列，所以掌握等差数列的一些性质规律，会给解题带来简捷方法：（1）an=am+(n-m)d(m,nN*);（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq;（3）am+n-an=am+k-ak=md;（4）若am,am+k,am+2k,am+3k,成等差数列，公差为kd;（5）若m+n=2p，则ap=(am+an).,1.公差是等差数列相邻两项的后一项与前一项的差.求公差可以用an+1-an，也可以用an-an-1，还可以用a2-