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文档简介

-利用向量解决平行与垂直问题,3.2立体几何中的向量方法(二),用向量运算处理平行关系,用向量运算处理垂直问题,例1.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,典型例题,分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与平行;三是证明可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.,例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法1:建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是,设平面A1BD的法向量是则得,取x=1,得y=-1,z=-1,例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,法2:,法3:,即可用与线性表示,故与是共面向量,MN平面A1BD,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.,（化为向量问题或向量的坐标问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,法二:求出两个平面的法向量,再证明两个法向量平行即可.,例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得交点,G为CC1的中点,求证:A1O平面GBD,法一:建立空间直角坐标系,利用向量证明证明:A1OBD,A1ODG,P,点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离。,D,A,B,C,G,F,E,F,E,B1,C1,D1,D,C,A,练习1.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。,B,x,y,z,A1,1,2.书P112第5题,x,y,z,小结,1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可),
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