新北师大版直角三角形的边角关系讲义

第一章直角三角形的角关系知识点一、锐角三角函数(正弦、馀弦、正切)在RtABC中，C=90，锐角a的对边与斜边之比称为A的符号(sinc )，记为sin A。UUUUUUUUUUR的相邻边和斜边之比称为UUUUUUUUUUUUUUR的馀弦(cosineUUUUR的对边与相邻边之比称为UUUUUUUUR的正切(tangent )，记为特殊角的三角函数值解直角三角形在直角三角形中，从已知的要素求未知的要素的过程是解直角三角形。锐角a的正弦、馀弦、正切都是A的三角函数。直角三角形中，除直角以外有5个要素，3条边和2个角，它们之间有以下关系(1)三边之间的关系：(2)锐角的关系： UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU(3)角点之间的关系： sinA=、cosA=、tanA=。 (其中a的对边为a，b的对边为b，c的对边为c )(4)面积式：除了直角，只要知道其中的两种元素(至少一种是边)，就可以利用上述关系求出其他三种元素2、解直角三角形的基本类型和方法：已知条件解法一边及锐角直角边a及锐角aB=90-A，b=atanA，c=斜边c和锐角aB=90-A，a=csinA，b=ccosA两侧两条直角边a和bB=90-A直角边a和斜边csinA=、B=90-A注意：(1)解直角三角形，正确选择关系式很重要求边缘时：一般用未知边缘比较已知边缘，求寻找已知角的三角函数求角时：一般来说，已知边比已知边寻找有未知角的三角函数求未知量的方法通常不是唯一的。 选择关系式时，遵循以下原则一是选择尽可能直接适用原始数据的关系式第二，选择容易计算的关系式，如果能乘法的话，就能避免除法。(2)对于包含非基本量的直角三角形，例如，在某个条件下，已知有两边的和、中线、高线、二等分线的长度、角的关系、锐角三角函数的值、周长、面积等。 对于这种问题，我们常用的解题方法是将非基本量转换为基本量，或从基本量之间的关系通过列方程(组)求解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到求解直角三角形的目的。在非直角三角形的问题中，多通过构成三角形的高度和直角三角形来解决，对于从非特殊角的顶点高的复杂图形，常常用“补形”和“分割”的方法构成直角三角形，利用解直角三角形的方法来实现问题的有机变换3 .各锐角三角函数之间的关系(1)互馀关系sinA=cos(90A )，cosA=sin(90A )。tanA=cot(90A )，cotA=tan(90A )(2)平方关系(3)倒数关系谭atan (90-a )=1梯度的定义和表达斜面的铅直高度h和水平宽度l的比通常称为梯度(或梯度比)。 梯度经常用文字I表示。斜面的坡度和斜面角的正切关系如下注意：(1)坡度一般以1:m的形式写(比例的前项是1，后件也可以是小数)。(2)倾斜角为a，倾斜角为越大，a角越大，斜面越陡。1、30、45、60角的三角函数值(重点)根据正弦、馀弦和正切的定义，可以得到以下一般特殊角的正弦、馀弦和正切值： 正弦、馀弦的增减性：在090的情况下，sin随着增大而增大，cos随着增大而减少。 正切、馀切的增减性：在090的情况下，tan随着变大而变大锐角三角函数计算的实用化(难点)仰角：从低的地方观测高处的目标时，视线和水平线所成的锐角称为仰角。俯角：从高处看高处的目标，视线和水平线所成的锐角成为仰角。1 .方位的定义方位：方位以观测点为中心(方位的顶点)，以正北或正南为起点，旋转到观测目标形成的锐角，方位也称为极限角。 如图所示，目标方向线0A、0B、0C方位角分别是北偏东15、南偏东20、北偏西60 .其中，南偏东45习惯性地被称为东南方向，同样，北偏西45也被称为西北方向。 如果OE的方位角是南偏东45，OG的方位角是南偏西45，那么可以说g、e位于o的哪个方向呢？根据方位的定义，g是o的西南方向，e是o的东南方向。3、解直角三角形的实用化(难点)为了解决实际问题，解直角三角形被广泛应用。 我们要学会把千变万化的现实问题变成数学题来解决。 具体地说，善于将一些现实问题的数量关系总结为直角三角形中的要素(边、角)之间的关系，要求能应用解直角三角形的方法。通常有以下步骤1 .审查问题：认真分析问题的意义，根据问题中的已知条件，画出其平面图，以明确已知和未知2 .明确主题名词、用语的中文，如仰角、俯角、跨度、坡角、梯度、方位角3 .直角三角形，如果不是根据角的关系计算的直角三角形，就必须大胆地追加辅助线，分割成直角三角形和矩形，把实际的问题变成直角三角形来解决4 .确定适当的拐角关系，进行周密的推论计算。【巩固训练】1.(2014年广东汕尾)在RtABC上，C=90、sinA=、cosB的值是()PS PS PS2.(2014年天津市) cos60的值等于()A.B. C. D3.(2014浙江湖州)如图所示，已知RtABC中C=90、AC=4、tanA=、BC的长度为()A.2B.8C.2 D.44.(2014扬州)已知AOB=60，点p在边OA上，OP=12，点m，n在边OB上，PM=PN，MN=2的话，OM=()甲组联赛3乙级联赛4c.5d.65、(2014广西贺州)网格中的小正方形边的长度都是1，ABC的各顶点在网格的交点处，sinA=6、(2013孝感)式的值为()甲组联赛乙级联赛0c.d.27、(2013鄂州)图，RtABC中，22222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓甲组联赛乙级联赛c.d.8、(2013年深圳市)如图3所示，邻接的两条平行直线间的距离相等，如果直角ABC的三个项分别在这三条平行直线上，则的值为()甲乙C. D9、(2013杭州) RtABC，2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653 cosB=； tanA=； tanB=，其中正确的结论是(只填写正确的结论号码)如图10、(2013攀枝花)图所示，在菱形ABCD中，DEAB为点e、cosA=、BE=4，tanDBE的值为.11.(2012山东省)ABC三边的长度全部扩大为原来的3倍，则锐角a的正弦函数值()a .不变b .缩小为原来的东西c .扩大到原来的3倍d .不能确定12、(2013鞍山)ABC中C=90、AB=8、cosA=、BC的长度如图13 (2012宁波)图所示，在RtABC中，C=90、AB=6、cosB=、BC的长度为()A.4B.2C.D14、(2013甘肃兰州)ABC中，a、b、c分别在A.B、c的对边，如果a2 b2=c2，那么以下结论是正确的()a.Cina=ab.bcosb=cc.atana=BD.ctanb=b15.(2012内江)如图4所示，ABC的顶点是正方形网格的网格点，sinA的值为c.c乙级联赛甲组联赛图4PS PS PS16.(2012济宁)ABC中，如果a、b满足|cosA| (sinB)2=0，则c=17.(2012衡阳)观察以下方程式sin30=cos60=sin45=cos=45=sin60=cos30=根据上述规律，sin2a sin2(90，a )=18.(2012攀枝花)计算：19.(2012深圳)计算：20.(2012德阳)计算：21.(2010山东日照)如图所示，在等腰RtABC中，C=90o、AC=6、d是在AC上的点，tanDBA=、AD的长度是(A) 2 (B) (C) (D)122.(2010山东东营)如图所示，小明为了测定其位置a点到河对岸b点的距离，沿与AB垂直的方向走了m米，到达点c，测定了ACB=、ab=。(A) msin米(B) mtan米(C) mcos米(d )米甲组联赛乙级联赛c.cm(第八问题图)23.(2010湖北咸宁)图，直线 4444空气空气空气距离均为1，正方形ABCD的4个顶点分别在4条直线上时如果在线的话甲组联赛乙级联赛c.c德. dA(第十四题)24、如图所示，在RtABC中，CD为斜边AB上的高度，以下的线段的比不等于sinA的是A. B. C. D25、(2012年陕西)用科学计算机计算： (精确到0.01 )26、(2013年陕西).27.(2014陕西)用科学计算机计算：3tan56(结果准确为0.01 )。28.(2013湖北省鄂州市，7，3分钟)图，RtABC中A=90，ADBC点d，BD:CD=3:2的话，tanB=()甲组联赛乙级联赛c.d.29、如图所示，飞机a在目标b的正上方，地面c上飞机的仰角为，飞机上地面c上的俯角为，飞行高度为h，AC间的距离为s，这四个已知量中的两个为一组，6组，能够求出BC间距离的是()组a、3 B、4 C、5 D和6(2014江苏苏州)图，ABC中AB=AC=5，BC=8解直角三角形广泛应用于生活和生产，在测量高度、距离角度时经常解直角三角形，解决这种问题的关键是通过把实际问题变成数学问题，总是通过做辅助线来解决直角三角形。类型1，坡度倾斜角问题1、(2014德克萨斯)是水库的横截面，斜面AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，斜面AB的长度为()甲组联赛四米乙级联赛六米c.十二米d.二十四米2.(2013聊城)堤坝的横截面如图所示，堤高BC=6米，迎水坂AB的坡比是1 :AB的长度是()A.12 B.4米C.5米D.6米3 (2012深圳)小明想测量树的高度，如他刚刚发现树影落在地面和斜面上的图所示，此时测量的地面影子长8米，斜面影子长4米，斜面斜面角300，同时，一根长l米，地面a .米B.12米c .米D.10米4.(2013河南省)中国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，根据工程计划，需要提高原水库大坝的混凝土培厚，把水库高度从原来的162米增加到176.6米，提高蓄水位。 图为某水库体高度工程的剖视图，其中原水库体的高度为背水坂坂坡角，新水库体的高度为背水坂坂坡角。 求出工程完成后水坡下端水平方向的增加幅度(结果准确为0.1米，参考数据：)5.(2014常德)图中，a、b、c表示建在一座山上的三条索道站的位置，AB、BC表示连接索道站的绳索。 a、b、c所在的海拔AA1、BB1、CC1分别为160米、400米、1000米，绳索AB、BC分别与水平线AA2、BB2所成的角度为30、45，求出了绳索AB和BC的全长。类型2，仰角俯角问题1.(2014舟山)如图所示，如果在地面上的点a测定树顶b的仰角为度，AC=7米，则树高BC为米(用包含的代数式表示).2、(2014株洲)孔明离某电视塔塔底水平距离500米，塔顶仰角20 (不考虑身高因素)，该塔高约182米(结果留有整数，参考数据： sin200.3420，sin700.93973、(2014云南昆明)如图所示，在数学实践课，小明为测定学校旗杆CD的高度，在地面a上放一个高1.5米的测角仪AB