第3章 控制系统的能控性和能观性

3.1可控性的定义，3.2线性稳定系统的可控性判别，3.3线性连续稳定系统的可控性和可观性，3.4离散时间系统的可控性和可观性，3.5时变系统的可控性和可观性，3.6可控性和可观性之间的对偶关系，3.7状态空间表达式的可控性和可观性，3.8线性系统的结构分解，3.9传递函数矩阵的实现， 3.10极点和零点的消除与传递函数中状态的能控性和能观性之间的关系，3.1能控性的定义，1线性连续稳态系统的能控性的定义，线性连续稳态系统：如果有一个分段连续的输入，系统可以在有限的时间间隔内从某一初始状态转移到任何指定的终端状态工作者，那么该状态被称为是可控的。 如果系统的所有状态都是可控的，那么系统就可以说是完全可控的，或者简单地说系统是可控的。(1)在线性时不变系统中，为了简单起见，可以假设初始时间、初始状态和任何终端状态被指定为零状态。换句话说，如果存在不受约束的控制效果，它可以在有限的时间内从零状态被驱动到任意状态。在这种情况下，它被称为状态可达性。(3)在讨论可控性时，控制函数在理论上是无约束的，它的值也不是唯一的，因为我们只关心它是否能驱动到，不管它的轨迹如何。2。线性连续时变系统可控性的定义，线性连续时变系统，3。离散时间系统，其中只考虑单输入N阶线性稳定离散系统，3.2线性稳定系统的可控性判别，3.2.1约旦标准系统的可控性判别，1。单输入系统，单输入系统具有约旦标准系统矩阵，状态方程为：线性定常系统有两种形式的能控性判别准则。一种方法是先将状态方程转化为乔丹标准系统，然后根据矩阵确定系统；另一种方法是根据状态方程的A矩阵和B矩阵直接确定系统的能控性。(1)为了简单起见，下面列出三个上述类型的二阶系统，并分析它们的可控性。1)对于公式(3)的系统，系统矩阵A是对角的，其标量微分方程形式是：2)对于公式(4)的系统，系统矩阵A是约旦的，微分方程组是：3)对于公式(5)的系统，尽管系统矩阵是约旦的，但控制矩阵第二行的元素是0，其小分子方程组是：2。对于具有一般系统矩阵的多输入系统，系统的状态方程为：(12)，3.2.2直接从A和B. 1中判别系统的能控性。单输入系统，线性连续常数单输入系统：其能控性的充要条件是由A和B组成的能控矩阵：满秩，即。否则，在那个时候，系统是无法控制的。对于多输入系统，其状态方程为：可控性的充要条件为矩阵：其中b为阶矩阵；是一个r维列向量。的等级。(14)、(15)和(3.3)线性连续时不变系统的可观测性，以及(3.3.1)可观测性的定义，它代表输出反映状态向量的能力，与控制函数没有直接关系。因此，在分析可观测性问题时，只需要启动齐次状态方程和输出方程，也就是说，如果对于任何给定的输入，在有限的观测时间内，系统在初始时刻的状态可以根据输出唯一地确定，则该状态被称为可观测的。如果系统的每一个状态都是可观察的，那么这个系统就是完全可观察的，或者说是简单可观察的。(1)、3.3.2稳定系统的可观测性可以用两种方法来判断。一种是将系统的坐标转换，将系统的状态空间表达式转换成约当标准形式，然后根据标准形式下的C矩阵判断其可观测性。二是根据A矩阵和C矩阵直接判断。1。转化为约旦标准类型的判别方法，线性时不变系统的状态空间表达式是：(1)A是对角矩阵，(2)此时，表达式(2)将方程(3)引入输出方程(4)得到：(2)A是约旦标准矩阵，以三阶为例，此时状态方程的解为：从方程(5)可以看出，当且仅当输出矩阵C第一列的元素不全为零时，y(t)中的总包包含系统的所有自由分量，并且是完全可观测的。2。直接从A矩阵和C矩阵来判断系统的可观测性，Jordan的标准系统具有一个串联结构，如图所示：3.4离散时间系统的可控性和可观测性，3.4.1可控性矩阵M，离散时间系统的状态方程如下：(1)、3.4.2可观测性矩阵N，离散时间系统的可观测性基于以下两个方程。其中，是维度列向量；c是输出矩阵，其余是相同的公式(6)。(2)当系统是单输入系统时，公式中使用标量控制。控制矩阵是维度列向量；g是系统矩阵；是状态向量。根据第3.3节中可观测性的定义，如果有限采样周期内的输出是已知的，任何初始状态向量都可以唯一确定，那么系统是完全可观测的。现在根据这个定义推导出可观测性条件。从方程(1)中，有：如果系统可以观察到，那么当它是已知的，它应该能够确定，从方程(7)，现在有：(3)写在矩阵形式：当并且只有当它的系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵叫做可观测性矩阵。伪连续时间系统，表示为n，即(4)、(5)和(3.5)时变系统的能控性和能观性，3.5.1能控性判别，和1。线性时变系统可控性的几种解释这个限制是为了保证系统状态方程解的存在性和唯一性。(3)根据可控性的定义，可以导出可控状态与控制函数之间的关系。4)非奇异变换不改变系统的可控性。2)定义是指系统在允许的控制下从初始状态转移到目标状态(原点)的时间。1)定义中允许的控制要求它的元素在数学上是绝对平方可积的，即，5)如果它是可控的，它也是可控的，并且是任何非零实数。根据线性代数中线性空间的定义，系统中的所有可控状态在状态空间中形成一个子空间。这个子空间称为系统的可控子空间，记录为。6)如果总和是可控的，那么它必须是可控的。2.线性连续时变系统的能控性判别。时变系统的状态方程如下：它是非奇异的。系统在上部状态下完全可控的充要条件是格拉姆矩阵是非奇异的。(1)、(2)，3.5.2可观察性鉴别，1。关于线性时变系统可观测性的几个讨论，2)根据不可观测性的定义，可以写出不可观测状态的数学表达式：这是一个非常重要的关系，并由此推导出以下推论。3)对系统进行线性非奇异变换，不改变系统的可观测性。如果和不能被查看，那么它们也不能被查看。1)时间间隔是识别初始状态所需的观察时间。对于时变系统，这个间隔的大小与初始时间的选择有关。4)如果它是不可观察的，并且是任何非零实数，它也是不可观察的。根据前面的分析，可以看出系统的不可观测状态构成了状态空间的子状态，线性连续时变系统的可观测性是非奇异的。上层状态完全可观测的充要条件是格拉姆矩阵、连续时变系统的可控性和可观测性的3.5.3准则和连续时不变系统的准则之间的关系(5)。众所周知，一个矩阵，因此，列向量与这个矩阵的线性是独立的和非奇异等价的。其中是列向量，并且列向量是线性无关的，当且仅当由形成的gram矩阵是非奇异的。目前，3.6中可控性和可观测性的双重关系有其内在联系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理决定的。这种双重关系可以用来转换其中，是维度状态向量；每一个都是r和m维控制向量；每个都是一个与维度输出向量；是系统矩阵；每个都是，和，维度控制矩阵；每个都是一个和维度输出矩阵。3.6.2对偶原理，3.6.3时变系统的对偶原理时变系统的对偶关系与稳定系统的对偶关系略有不同，对偶原理的证明要复杂得多。对偶原理是现代控制理论中一个非常重要的概念。利用对偶原理，可以将系统能控性分析得到的结论应用于其对偶系统，从而可以很容易地得到其对偶系统能观性的结论。的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。换句话说，如果状态是完全可控的(完全可观察的)，那么状态是完全可观察的(完全可控制的)。3.7状态空间表达式的可控标准形式和可观测标准形式，3.7.1单输入系统的可控标准形式是困难的。如果系统是完全可控的，则满足：对于一般稳态系统：1。可控标准格式，(1)。如果线性稳态单输入系统：是可控的，则存在线性非奇异变换：(2)、(3)，将它的状态空间表达式(1)转化为：(4)，而方程(4)形式的状态空间表达式是可控的标准形式。其中分别是特征多项式的系数。如果线性时不变单输入系统：2。可控标准形，(6)，相应的状态空间表达式(6)被转换成：(7)，它是可控的，然后有线性非奇异变换：(8)，(10)，(11)，方程(8)形式的状态空间表达式称为可控标准形。方程(9)中是系统特征多项式的系数，即系统的不变量。在等式(11)中，是乘法的结果，即(12)，3.7.2单个输出系统的可观察标准形式类似于转换为可控标准形式的条件。只有当系统在状态下完全可观测时，可观测的标准形式才能从系统的状态空间表达式中导出。如果线性时不变系统：是可观测的，有一个非奇异变换：(13)，(14)，1。可观察的标准形式。状态空间表达式的可观测标准形式也有两种形式，可观测标准形式和可观测标准形式，分别与可控标准形式和可控标准形式相对。状态空间表达式(13)被转换成：(15)、(17)、(18)、转换矩阵：直接验证，或由对偶原理证明。证明过程如下：首先构造对偶系统，然后写出对偶系统的可控标准形式，状态空间表达式的可观测标准形式为可控标准形式，即(19)的可控标准类型对应的系数矩阵；2.可观察的标准形式，(20)。如果线性常数单输出系统：是可观测的，则存在非奇异变换，其中，系数矩阵对应于系统的可控标准类型二；(21)将状态空间表达式(20)转换为：(22)、(24)、(25)，这被称为作为可观察标准形式的公式(22)的状态空间表达式。3.8线性系统的结构分解，3.8.1根据能控性分解，建立了一个线性时不变系统，(1)它是一个不完全可控的状态，它的能控性判别矩阵的秩有一个非奇异变换，(2)状态空间表达式(1)被变换成，(3)、(5)、(6)。可以看出，当系统的状态空间表达式转化为表达式(3)后，系统的状态空间分为可控部分和不可控部分，其中维数空间是可控的，维数子系统是不可控的。这种状态结构的分解如图所示，因为对不起，我只做不受控制的自由运动。显然，无需考虑维度子系统就可以获得低维度可控系统。对于非奇异变换矩阵：(7)，其中列向量可以构造如下：第一列向量是可控性矩阵m中线性独立的列，其他列在非奇异的条件下是完全任意的。3.8.2根据可观测性d，和不可观测的维子系统：非奇异变换矩阵由(14)，3.8.3根据能控性和能观性分解组成，1)如果线性系统不是完全可控和不完全可观测的，如果系统同时根据能控性和能观性分解，系统可分为可控和可观测，可控和不可观测，不可控和不可观测四个部分。当然，并不是所有的系统都可以分解成这四个部分。2)在确定变换矩阵R后，系统可以根据能控性和能观性通过一次变换进行结构分解。然而，R矩阵的构造需要涉及更多的线性空间概念。(3)结构分解的另一种方法：首先，将待分解的约当标准型系统化；然后，根据能量空间规则和能量管理规则，识别个体状态变量的可控性和可观测性；最后，根据可控性和可观测性的四种类型，即可控性和可观测性、可控性和可观测性，对它们进行分类和排列，形成相应的子系统。对于给定的传递函数矩阵W(s)，如果存在状态空间表达式:则状态空间表达式被称为传递函数矩阵W(s)的实现。对于单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，就可以直接写出可控标准实现和可观测标准实现。本节介绍如何将这些标准实现扩展到多输入多输出系统。因此，传递函数和维数矩阵的形式必须与单输入单输出系统相似，即在公式中为维数常数矩阵；分母多项式是传递函数矩阵的特征多项式。显然，W(s)是严格真有理数的矩阵，在那个时候，W(s)对应于单输入单输出系统的传递函数。(2)公式形式的传递函数矩阵的可控标准形式实现如下：(3)、(4)、(5)等，其可观测标准形式实现如下：(6)、(7)、(8)、公式中、和。对于零阶矩阵和单位矩阵；是输入向量的维数。3.9.3最低实施，1。最小实现的定义，传递函数W(s)的一个实现：(9)，(10)如果没有W(s)的其他实现，如果的维数小于的维数，则公式(9)的实现被称为最小实现。为了找到最小实现步骤，传递函数矩阵W(s)的实现要求(A，b，c)既可控制又可观察，这个定理的证明被省略。根据这个定理，任何具有严格真有理数的传递函数矩阵W(s)的最小实现都可以很容易地确定。通常，可以遵循以下步骤。(1)对于给定的传递函数矩阵W(s)，首先，初始选择一个实现(A，b，c):通常，选择可控标准实现或可观测标准实现是最方便的。2)对于上面的主要实现(A，b，c)，找出它的完全可控和完全可观测部分，所以这个可控和可观测部分是W(s)的最小实现。3.10转移函数中极点和零点的消除与状态的可控性和可观