补充：定点数和浮点数表示方法

1,第x节补充：定点数和浮点数表示方法2014.2.20,2,补充：定点数和浮点数表示,1定点数由于定点位置不同，一般又分为两种情况。对于整数，小数点约定在最低位的右边，称为定点整数。对于纯小数，小数点约定在符号位之后，称为定点小数。（1）定点整数定点整数约定小数点在数值位的最低位之后，此时计算机中所表示的数一律为整数。定点整数又被划分为带符号和不带符号的两类。带符号整数：某个n位二进制数，其最高位为符号位，其他N-1位为数值部分，如图所示。,n位带符号二进制可表示的数值范围为N2n-1-1。例：16位定点数可表示数值范围为-3276832767（补码）32位定点数可表示数值范围为-231231-1（补码）,3,无符号整数：所有的数位都用来表示数值，如图所示。,Nn-1Nn-2Nn-3N2N1N0,数值部分（n位）小数点位置,二进数可表示的数值范围为0N2n-1。例：16位无符号定点数可表示数值范围为065535。（2）定点小数定点小数用最高位表示符号，其他n-1位二进制数表示数值部分，将小数点定在数值部分的最高位左边，因此如何一个小数可以表示为：,NfNn-2Nn-3N2N1N0,小数点位置数值部分（n-1位）,则n位二进数可表示的数值范围为N1-2-（n-1）。,定点表示法主要用于早期的计算机中，可以节省硬件，简化运算器的设计。但在编程时必须选择合适的比例因子，来表示超出定点数表示范围的数据。与浮点数相比其表示的范围和精度都有限。,注意：小数点“.”在计算机中实际上是不表示出来的，需要在编程时时事先约定它的位置。定点小数的表示范围与位数无关，定点小数的长度只与其精度有关，这与十进制的小数不同。在定点运算时需要有适度的位长，否则会有溢出的问题。,4,【例】定点小数二进制整数+0.1001111和-0.1001111表示形式为：0.10101111.1010111,符号,符号,小数点,小数点,数值,数值,5,二进制阶码,尾数,2浮点数如果要处理的数既有整数部分，又有小数部分，则采用定点数会比较麻烦。为此可以采用浮点数，即小数点的位置不是固定的。通常可表示为：N=SRE,式中：S数值N的尾数，表示数值N的有效数值，决定数值的精度。Sf数符，0表示正数，1表示负数。E数值N的阶码，表示小数点的位置。Ef表示阶码的符号位，0表示阶码为正数，1表示阶码为负数。,阶码的底R，一般选择与尾数的基数相同。对于同一种系统，R是隐含的约定常数，并不直接表示在浮点数表示中。为了便于理解且与二进制表示一致，约定R=2，并规定浮点数的尾数部分用定点小数表示，阶码是定点整数，尾数是定点小数，它相当于将数值规范为定点小数S乘以比例因子RE。,例：设尾数为4位，阶码为2位。则，=+10112+11=01101011,6,（1）规格化浮点数对于二进制的浮点数SRE，若尾数满足0.5S1时，即为规格化数。所谓规格化数即尾数的最高位是有效数字是1而不是0。规格化的意义在尾数的有效位被充分利用，使其表示的数值精度尽可能高。一个数的浮点数的非规格化表示可以有多种，但其规格化表示是唯一的。对于不满足规格化表示的浮点数，要通过左移尾数并修改阶码的方法将其化为规格化表示格式。,【例】对于二进制数0.0001111规格化表示：0.11112-3其规格化操作为：尾数左移3次，价码减3。其代码为：11101111,阶码=3,阶符为负,尾数,数符为正,（2）数值精度与范围在计算机中，阶码是一个定点数，用于指出小数点在数据中的位置，它的位数m决定了浮点数的表示范围。尾数一般为定点小数，它的长度n决定了浮点数的精度即有效数字的位数。为既保证足够大的数值范围，又要保证所要求的精度，合理选择m和n的值是十分必要的。,（3）计算机中机器零a.如果一个浮点数的尾数全为0，则不论其阶码为何值，计算机在处理时都把这种浮点数当作零看待；b.如果一个浮点数的阶码小于它所表示范围的最小值，则不论其尾数为何值，计算机在处理时都把这种浮点数当作零看待。由于计算机保存数字的位有限，所能表示最小的数也有范围，当一个表示方式比它所能表示的数更小时，计算机无法表示，就作为0处理，实际上，这个数也很接近0了，主要还是从数学上理解。,7,4.浮点数的运算设有两个浮点数：N1=S12E1；N2=S22E2。若E1=E2，则：N1+N2=S12E1+S22E2=2E1(S1+S2)阶码相同的两个浮点数求和，只要将尾数相加作为和数的尾数，阶码仍为和数的阶码。若E1E2，则需先“对阶”，即将相加两数的阶码化为相同的数值，然后才能进行尾数相加。【例】N1=2110.1001；N2=2010.1100【解】“对阶”的方法是使小阶向大阶对齐，即将N2尾数右移两位，阶码加2，得到（N2）=2110.0011后两数相加。+N1=2110.10012110.1100当两数相减时，同样需要对阶。,两个浮点数乘法运算：N1N2=（S12E1）（S22E2）=（S1S2）（2E12E2）=（S1S2）2（E1+E2）,两个浮点数除法运算：N1/N2=（S12E1）（S22E2）=（S1/S2）（2E1/2E2）=（S1/S2）2（E1-E2）,两个浮点数相乘时，只要阶码相加，尾数相乘。两个浮点数相除时，只要阶码相减，尾数相除。即尾数左移阶码减；尾数右移阶码加。【例】0.0001111=0.11112-3;0.1001=0.000100123,二进制阶码,二进制阶码,8,5.应用实例【例】5.67.8=43.685.6=101.10011=230.10110011b=B3H7.8=111.11001=230.11111001b=F9H根据运算规则得:5.67.8=260.1010111000011011b=101011.1000011011b（尾数左移6位，阶码减6。）=43.52734若尾数只取四位则：5.6=101.10011=230.1011b7.8=111.11001=230.1111b5.67.8=260.10100101b=101001.01=41.25从上述算式可得知，尾数越大越精确，尾数越小