4-2-1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义.ppt

4.2复数代数形式的四则运算4.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义,一、复数的加法法则1.复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意的两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=_.,(a+c)+(b+d)i,2.复数加法的运算律：对任意z1,z2,z3C，复数的加法满足：(1)交换律：z1+z2=_.(2)结合律：(z1+z2)+z3=_.3.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的_来进行.,z2+z1,z1+(z2+z3),加法,思考：两个复数的和在形式上与这两个复数有什么关系？提示：两个复数的和仍然是复数，其实部为这两个复数实部的和，虚部为这两个复数虚部的和.,二、复数的减法法则设z1=a+bi，z2=c+di是任意的两个复数，那么(a+bi)-(c+di)=_.,(a-c)+(b-d)i,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个虚数的和或差可能是实数.()(2)复数的减法不满足结合律，即(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.()(3)若|z+1|=1，则复数z对应的点的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆.(),提示：(1)正确.如z1=2+3i，z2=5-3i，则z1+z2=7为实数.(2)错误.因为复数的加法满足结合律，而复数的减法可以转化为加法，所以复数的减法也满足结合律.(3)错误.因为|z-(-1)|=1，所以复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)为圆心，以1为半径的圆.答案：(1)(2)(3),【知识点拨】1.对复数加法的理解(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算.(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的.(3)复数的加法运算的结果仍然是复数.(4)实数的移项法则在复数中仍然成立.(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形.,类型一复数的加、减法运算【典型例题】1.计算：(1)(2-3i)+(-4+2i)_.(2)(-4-2i)-(-4+7i)_.(3)(-2+i)+(-3-2i)-(5+i)_.,2.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i，z2=(-2x+y)+(x-3y)i，x,y为实数，若z1-z2=5-3i，则|z1+z2|=_.3.已知复数z满足z+|z|=2+8i，则复数z=_.,3.解复数方程的一般思路是:设出复数的代数形式将其代入方程并化简利用复数相等的条件列出方程组解方程组得到复数,【解析】1.(1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i-2-i.(2)(-4-2i)-(-4+7i)=(-4+4)+(-2-7)i-9i.(3)(-2+i)+(-3-2i)-(5+i)=(-2-3-5)+(1-2-1)i=-10-2i.答案：(1)-2-i(2)-9i(3)-10-2i,2.z1-z2=(3x-4y)+(y-2x)i-(-2x+y)+(x-3y)i=(3x-4y)-(-2x+y)+(y-2x)-(x-3y)i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i，所以解得y=0,x=1，所以z1=3-2i，z2=-2+i，则z1+z2=1-i，所以|z1+z2|=答案：,3.方法一：设z=a+bi(a,bR)，则代入方程得所以解得a=-15,b=8，所以z=-15+8i.,方法二：原式可化为z=2-|z|+8i，因为|z|R，所以2-|z|是复数z的实部，于是即|z|2=68-4|z|+|z|2，所以|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=-15+8i.答案：-15+8i,【变式训练】(2013东莞高二检测)已知复数z1=a2-3-i，z2=-2a+a2i，若z1+z2是纯虚数，则实数a=_.【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i，又z1+z2是纯虚数，所以解得a=3.答案：3,类型二|z-z0|(z,z0C)几何意义的应用【典型例题】1.(2013咸阳高二检测)已知z1=2-2i，且|z|=1，则|z-z1|的最大值为_.2.已知zC，指出下列等式所表示的几何图形：(1)|z+1+i|=1.(2)|z-1|=|z+2i|.(3)|z+1|+|z+1-i|=2.,【解题探究】1.|z-z0|(z,z0C)的几何意义是什么？2.解决有关|z-z0|(z,z0C)几何意义的问题一般有哪些思路？,探究提示：1.|z-z0|(z,z0C)的几何意义是复平面内复数z对应的点Z到复数z0对应的点Z0的距离.2.一般有两种思路，一是直接利用|z-z0|(z,z0C)的几何意义，另外还可以应用代数运算，对所给的复数方程进行化简，然后可得其几何意义.,【解析】1.如图所示，因为|z|=1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2,-2)，所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离，则|z-z1|max=答案：,2.(1)表示以点(-1，-1)为圆心，以1为半径的圆.(2)以点(1,0)，(0，-2)为端点的线段的垂直平分线.(3)以点(-1,0)和(-1,1)为焦点，长轴长为2的椭圆.,【互动探究】题1中，|z+z1|的最大值与|z-z1|的最大值相同吗？【解析】相同.|z+z1|=|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|可以看成点(-2,2)到圆上的点的最大距离，由第1题的解答可知，结果仍然是,【拓展提升】1.|z-z0|(z,z0C)的几何意义设复数z，z0在复平面内分别对应点A，B，则|z-z0|(z,z0C)的几何意义是点A到点B的距离.2.|z-z0|(z,z0C)几何意义的应用(1)判断点的轨迹.(2)利用几何知识解决代数问题.,【变式训练】(2013济南高二检测)设z1，z2C,|z1|=1,|z2|=2，求|z1+2z2|的最大值.【解析】设z1,z2,z1+2z2对应的向量分别为因为|z1|=1,|z2|=2，所以由向量的加法法则可知，当向量方向相同时，的模最大，最大值为所以|z1+2z2|的最大值为5.,【易错误区】复数运算中思维不严谨而致误【典例】设x0,2)，复数z1=cosx+isinx对应的点在第一象限中直线y=x的左上方，z2=1-i，则|z1+z2|的取值范围是_.,【解析】由已知得z1+z2=(cosx+1)+(sinx-1)i，所以,因为复数z1=cosx+isinx对应的点在第一象限中直线y=x的左上方，且x0,2)，所以解得,所以故所以即|z1+z2|(1,).答案：(1,),【类题试解】若复数z1=2cos+isin,z2=cos-(sin-1)i,(0,),且z1-z20,则=_.【解析】由条件得z1-z2=cos+(2sin-1)i,因为z1-z20,所以由2sin-1=0,得又(0,),所以或,当时，故舍去,所以=.答案：,1.(-1+3i)+(-2+i)=()A.-3+4iB.4iC.3D.5i【解析】选A.(-1+3i)+(-2+i)=(-1-2)+(3+1)i=-3+4i.,2.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i，a,bR，则a+b=()A.B.-C.-D.5【解析】选B.(-3a+bi)-(2b+ai)=(-3a-2b)+(b-a)i=3-5i，所以解得故有,3.若|z|+z=3+i，则z=()A.1-iB.1+iC.+iD.-+i【解析】选C.设z=x+yi(x,yR)，由|z|+z=3+i得即解得所以z=+i.,4.若复数z满足|z-i|=3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为_.【解析】由条件知|z-i|=3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S=9.答案：9,5.已知复数z1=2+3i，z2=a-2+i，若|z1-z2|z