用曲线积分求旋转曲面的面积PPT幻灯片课件

6.2定积分的几何应用1,作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。,6.2定积分的几何应用2,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2定积分的几何应用3,设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。,我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。,L,6.2定积分的几何应用4,L,在曲线L的(x,y)处取一弧微分,它到x轴的距离是y（如图）。,该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：,（面积元素）,于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用5,命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,L,6.2定积分的几何应用6,命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,同理,L,6.2定积分的几何应用7,下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式,6.2定积分的几何应用8,直角坐标方程,6.2定积分的几何应用9,y=f(x),如果,L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用10,y=f(x),如果,L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用11,参数方程,6.2定积分的几何应用12,如果,L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用13,如果,则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用14,极坐标方程,6.2定积分的几何应用15,如果,L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2定积分的几何应用16,我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理,PaulGuldin（古尔丁）15771643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.,6.2定积分的几何应用17,L,上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。,古尔丁定理,形心,6.2定积分的几何应用18,如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。,L,形心,6.2定积分的几何应用19,下面来看一般的情形,一般的曲线f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);,with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2定积分的几何应用25,例2求y=x2(0y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x