第3章-稳定性.ppt

第三章稳定性理论,3.1概述3.2线性系统稳定性判据（部分）3.3稳定性判别方法综述3.4李雅普诺夫稳定性理论3.4.1李雅普诺夫稳定性定理3.4.2线性系统的李雅普诺夫稳定性分析3.4.3李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用3.5李雅普诺夫函数的构造方法,第三章稳定性理论_主要内容,3.1概述,控制系统分析包括：稳定性分析、瞬态分析、稳态分析。判定系统稳定性主要有两种方法：1、基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。其中按代数方法进行判别的为代数稳定判据，如劳斯稳定判据和霍尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。2、李亚普诺夫（Lyapunov）方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。可用于研究运动稳定性的一般问题。,3.1概述,稳定性是指系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。稳定性分为有界输入-有界输出稳定性（外部稳定）和状态稳定性（内部稳定）。有界输入有界输出稳定性：如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的，就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。状态稳定性：如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是状态稳定的。如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。,3.1.1稳定性的定义,注意1:稳定性分析一般针对孤立的平衡状态，而孤立的平衡状态总可以通过坐标平移转化为状态空间原点，所以在稳定性分析中，总是把平衡状态设为状态空间的原点，即xe=0.(讨论稳定性时一般以原点为例)注意2:稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。线性定常系统，由于只有唯一的一个孤立平衡点（原点），所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题。对其他系统，则由于可能存在多个孤立平衡点，而不同平衡点可能表现出不同的稳定性问题，因此必须对平衡点进行逐个讨论。,3.1概述,3.1概述,3.1.2李雅普诺夫意义下稳定,称系统的孤立平衡状态xe在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对于任给的实数都对应存在另一个依赖于和t0的实数,使当,时，从任意初态出发的解都满足,3.1概述,如果与无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。,下图表示二阶系统稳定的平衡状态，以及从初始状态出发的轨线。,3.1概述,3.1.3渐近稳定性,如果平衡状态是稳定的，而且当无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于，则称平衡状态为渐近稳定。下图表示二阶系统渐近稳定的平衡状态。,从工程意义上来讲，渐近稳定比稳定更为重要。渐近稳定是一个局部的概念，通常，只确定某一状态的渐近稳定性并不意味着整个系统就能正常工作。因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围是尤其重要的。,3.1概述,3.1.4大范围渐近稳定,如果平衡状态是稳定的，,而且从状态空间中,所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，,则称,这种平衡状态为大范围渐近稳定。,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间只,有一个渐进稳定的平衡状态。(显然),对于线性系统来说，如果平衡状态xe=0是渐近稳定的则必然也是大范围渐近稳定的。(基于叠加原理),一个李雅普诺夫稳定但不是渐进稳定的平衡点为临界平衡点。,3.1概述,3.1.5局部稳定和全局稳定,定义（全局渐进稳定性）：如果非线性系统的摸个平衡点是稳定的，且对于所有的都有：那么称该平衡点是全局渐进稳定的。,在工程问题中，总希望系统具有大范围渐进稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐进稳定的，那么问题就转化为确定渐进稳定的最大范围或吸引域，这通常是非常困难的。实际应用中，通常希望确定一个足够大的渐进稳定的吸引域，使扰动不会超过它就达到目的了。,3.1概述,3.1.6指数稳定性,在许多工程应用中，只知道系统在无线时间之后收敛于平衡点还是不够的，还需要顾及系统轨迹趋于平衡点的速度。指数稳定性的概念由此而提出。定义：如果存在两个正数和，使得在平衡点附近的某个球域内成立，则平衡点是指数稳定的。指数稳定系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于平衡点。通常称正数为指数收敛速率。,3.1概述,3.1.7不稳定性,如果对于某个实数和任一实数，,不管这个实数多么小，,至少有一条轨线越过，,则称这种平衡状态,不稳定。,3.1概述,3.1.8稳定性概念中的一致性,在李亚普诺夫稳定性和渐进稳定性这两个概念中，都表明了初始时刻的重要作用。实际应用中需要的是，不管系统什么时候开始，系统将具有某种一致性的特性。因而引出了一致稳定性、一致渐进稳定性和全局一致渐进稳定性的概念。稳定性中的一致性主要是真的非自治系统。,3.2稳定性判别方法,3.2稳定性判别方法,线性系统稳定的充要条件：,闭环系统特征方程的所有根必须具有负实部。即闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。,当且仅当系统的特征根全部具有负实部时，系统稳定；若特征根中有一个或一个以上正实部根，则表明系统不稳定；若特征根中有一个或一个以上零实部根(其余均为负实部)，则响应趋于常数或趋于等幅正弦振荡，系统为临界稳定状态。经典控制论中，仅渐近稳定系统才称为稳定系统，否则为不稳定系统。,一、劳斯(Routh)稳定判据,根据线性系统稳定充要条件判别系统稳定性，需求出全部特征根。对于高阶系统，求根工作量很大，因此，希望使用一种间接判断的代替方法。劳斯和霍尔维茨分别于1877年和1895年独立提出了系统稳定性的代数判据，以线性系统特征方程的系数为依据。,1、劳斯判据劳斯稳定判据为表格形式，劳斯表有n+1行和int(n/2+1)列，int()为取整函数。表中系数排列呈上三角形：第1行由特征方程的第1，3，5，项系数组成；第2行由第2，4，6,项系数组成；以后各行的数值，需按劳斯表所示方法逐行计算，凡在运算过程中出现的空位，均置以零。这种过程一直进行到第n行为止，第n+1行仅第一列有值，且正好等于特征方程最后一项系数an。,设线性系统特征方程,则其劳斯表形式如下所示：,劳斯稳定判据：由特征方程所表征的线性系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列各值为正。如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的数目。,例：设系统特征方程为,试用劳斯表稳定判据判别该系统的稳定性。,解：根据该系统的特征方程可列出其列劳斯表如下：,劳斯表中第一列系数符号改变了两次，所以系统不稳定，且系统有两个根在右半s平面。,2、劳斯稳定判据的特殊情况,(1)劳斯表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零或不全为零,此时计算劳斯表下一行的第一个元素时，将出现无穷大，使运用劳斯判据失效。,处理方法：用因子(s+a)乘以原特征方程，其中a为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,例如特征方程为,其劳斯阵列表为,劳斯阵列表为,处理方法：如用(s+3)乘以上述的特征方程得,第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部的根。,(2)劳斯表中出现全零行,表明在特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。例如两个大小相等符号相反的实根和(或)一对共轭纯虚根,或者是实部符号相异虚部数值相同的一对共轭复根。,处理方法：用全零行上面一行的系数构造辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元素，便可按劳斯稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳斯计算表。,例3-8判断下述系统的稳定性,特征方程式：,解：劳斯阵列表：,辅助方程,求导,劳斯表第一列系数符号改变一次，故系统不稳定，且有一个正实部根。如果求解辅助方程F(s)=s4-3s2-4=0，则可以求出产生全零行的特征方程的根为：2和j。倘若直接求解特征方程，可得其特征根为：,构成新行,3劳斯稳定判据的缺点,在线性系统中，劳斯判据主要用来判定系统的稳定性，但使用时需注意如下事项：如果系统不稳定，则劳斯判据并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，则劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能，即劳斯判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的距离；,4、劳斯稳定判据的应用,(1)判别系统的稳定度，即系统的特征根是否全部位于垂线s=-a（或s=0）之左侧；(2)确定系统中一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。即确定一个或两个使系统稳定或使特征根全部位于垂线s=-a（或s=0）之左的参数取值范围。,设比例-积分控制系统如图所示。其中K1为与积分器时间常数有关的待定参数。已知=0.2,n=86.6，试用劳斯判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统的极点全部位于垂线s=-1之左，问K1值范围又应取多大？,比例-积分控制系统,解：由图可写出系统的闭环传递函数为,因而，闭环特征方程为,代入已知的=0.2与n=86.6,得,列出相应的劳斯表：,依劳斯判据，令劳斯表第一列各元为正，得K1取值范围为,当要求系统的闭环极点全部位于s=-1垂线之左时，可令s=s1-1代入原特征方程，得到如下新特征方程：,整理得,相应的劳斯表为,令劳斯表中第一列各元为正,即可得到使全部闭环极点位于s=-1垂线之左的K1取值范围为,如果需确定系统其他参数，例如时间常数对系统稳定性的影响，方法是类似的。一般来说，这种待定参数不能超过两个。,二、霍尔维茨稳定判据设线性系统的特征方程为：,使线性系统稳定的必要条件是：在上述特征方程中，各项系数为正且不缺项。使线性系统稳定的充要条件是：由系统特征方程式的各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正。,主行列式：,顺序主子式：,三、奈奎斯特(Nyquist)稳定判据,1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，奈氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，奈氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。,奈氏图奈氏图是在极坐标系中，以为参变量，为极径，为极角的频率特性图，所以也称为幅相频率特性图。或者等价地，奈氏图是在直角坐标系中，以为参变量，以为横坐标，为纵坐标的频率特性图。,例如，惯性环节的奈氏图如下图所示，其中,其中对于下图所示的反馈控制系统，其特征方程式为：,令将第二式代入一式中，得：,式中是的零点，也是闭环特征方程式的根；是其极点，也是开环传递函数的极点。若闭环系统是稳定的，则其特征方程式的根，均位于s平面的左半平面。为判稳定性，即检验F（s）是否有零点在s的右半平面上，因此在s平面上所取的闭合曲线C，应包含s的整个右半平面。,稳定判据：（1）若开环系统是稳定的，则闭环稳定的充要条件是曲线不包围点。（2）若开环不稳定，且已知有p个开环极点在s右半平面，则闭环稳定的充要条件是：曲线按逆时针方向围绕点旋转p周。,系统开环频率特性的奈奎斯特图（极坐标图）和Bode图之间存在着一定的对应关系。奈氏图上单位圆与Bode图对数幅频特性的零分贝线相对应，单位圆以外对应于。奈氏图上的负实轴对应于伯德图上相频特性的线。如开环频率特性按逆时针方向包围一周，则必然从上而,四、Bode图判稳定性,下穿过负实轴的线段一次。这种穿越伴随着相角增加称为正穿越。反之，若按顺时针方向包围点一周，则必然由下而上穿过负实轴的线段一次。这种穿越伴随着相角的减少，故称负穿越。,上述正、负穿越在Bode图上的反映为，在的频段内，随着的增加，相频特性由上而下穿过线为负穿越，它表示迟后相角的增大。反之，由下而上穿过线为正穿越，它意味着相角的增加（或迟后相角的减少）。故当采用对数频率特性时奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：当由0变到时，在开环对数幅频特性的频段内，相频,特性穿越线的次数（正负穿越之差），p为s平面右半平面极点数目。若开环系统稳定，即，则上述正负穿越次数之差应等于零，或者不穿越线。,3.3稳定性判别方法综述,线性系统稳定性分析-劳斯-赫尔维茨,控制系统稳定的充要条件是特征方程的特征根均具有负实部，所以对系统稳定性的判别就转变成为求解特征方程的根，并检验所求的根是否具有负实部的问题。三阶以上系统求解很难。劳斯（E.J.Routh）于1877年首先提出了一种不用直接求解根，而只利用根与系数之间的关系去判断根的实部的符号的判据劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判断特征方程式的根在s平面上的具体分布，若劳斯表中的第一列的系数均为正值，则其特征方程的根在s平面的左半平面，相应的系统是稳定的。若劳斯表中的第一列的系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面上的个数，相应的系统为不稳定的。,线性系统稳定性分析-根轨迹,反馈控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点所决定的，而系统瞬态响应的基本特性也与闭环传递函数的极点在s平面上的具体分布有着密切的联系。为了研究系统瞬态响应的基本特性，通常需要确定闭环传递函数的极点，即闭环特征方程的根。1948年伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数和闭环特征方程式之间的内在联系，求出了一种非常实用的求取特征方程的根的图解法根轨法。根轨迹是指系统特征方程的根（闭环极点）随系统参量变化在s平面上运动形成的轨迹。且该参量一般选系统的开环增益。若闭环系统是稳定的，则其特征方程的根，即特征方程所有零点位于s的左半平面。反之，如果有位于有半平面的零点，则系统不稳定。由于这种方法简单，实用，既适用于线性定常连续系统，又适用于线性定常离散系统，因而它在工程上得到了广泛的应用。,线性系统稳定性分析-奈奎斯特,若开环系统是稳定的，则闭环稳定的充要条件是曲线不包围点。若开环不稳定，且已知有p个开环极点在s右半平面，则闭环稳定的充要条件是：曲线按逆时针方向围绕点旋转p周这种方法比较直观，绘制奈奎斯特图比较简单。,线性系统稳定性分析-波特图,系统开环频率特性的奈奎斯特图（极坐标图）和Bode图之间存在着一定的对应关系。奈氏图上单位圆与波特图对数幅频特性的零分贝线相对应，单位圆以外对应于。奈氏图上的负实轴对应于波特图上相频特性的线。如开环频率特性按逆时针方向包围一周，,则必然从上而下穿过负实轴的线段一次。这种穿越伴随着相角增加称为正穿越。反之，若按顺时针方向包围点一周，则必然由下而上穿过负实轴的线段一次。这种穿越伴随着相角的减少，故称负穿越。,上述正、负穿越在波特图上的反映为，在的频段内，随着的增加，相频特性由上而下穿过线为负穿越，表示滞后相角的增大。反之由下而上穿过线为正穿越，它意味着相角的增加（或滞后相角的减少）。故当采用对数频率特性时的判据如下：闭环系统稳定的充要条件是：当由0变到时，在开环对数幅频特性的频段内，相频特性穿越线的次数（正负穿越之差）为，p为s平面右半平面极点数目。若开环系统稳定，即P=0，则上述正负穿越次数之差应等于零，或者不穿越线。,李雅普诺夫方法,李雅普诺夫方法是基于微分方程或状态方程，对系统平衡点稳定性的分析方法。同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。（对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便）。分为第一法和第二法。李雅普诺夫第一法也称为间接法，需要解系统的微分方程，然后根据状态变量解的性质来判断系统的稳定性。对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化了的微分方程式来近似地描述。稳定性的判断：（1）对于以平衡点为中心、一定范围内的任意初态，所求解出的状态变量运动轨迹均不超越某个特定范围，则称该平衡点处李氏稳定。（2）李氏稳定的基础上，状态变量运动轨迹最终收敛于平衡点，则称平衡点处渐进稳定。（3）平衡点附近任意小的范围内总存在每个初态，其运动轨迹超出给定范围。则称平衡点处不稳定。根据这个原理，在不同系统中有不同的特殊判据：如线性定常系统中的特征值判据，时变系统中的基于状态转移矩阵的判据。,李雅普诺夫第二法也称做直接法，该方法无需求解状态方程，原理、步骤相对简单，是确定线性、非线性以及时变系统稳定性的更为一般的方法。通常线性时变系统和非线性系统微分方程组的求解比较困难，所以这种方法具有很大的优越性。基本原理：构造表征系统能量的正定函数，观察系统能量随时间的变化，若恒减，则表示系统逐步趋于稳定。步骤:（1）构造正定函数v（x）（2）函数关于时间t求导，（3）导数负定或半负定，则平衡点处渐进稳定或李氏稳定。,李雅普诺夫方法,非线性系统稳定性分析-描述函数,非线性元件的输出信号的一次谐波分量来代替非线性元件在正弦信号输入下的实际输出的一种近似方法。稳定性的判别：1若曲线不包围曲线，则系统稳定；2若曲线包围了曲线，则系统不稳定；3.若曲线与曲线相交，则系统中存在自激震荡点。,应用描述函数法分析非线性系统的稳定性和周期运动的稳定性，都是假定系统中只有基波分量，而且是正弦基波分量情况下的输出，实际上，这一假定并非绝对能满足，系统中会有高次谐波分量流通，实际系统自振的波形也是一个比较复杂的周期性波形，并非纯正弦波。描述函数法只是一种近似的研究方法，同时在采用描述函数法时又是采用的图解法，因此必然存在着精确度问题。,非线性系统稳定性分析-描述函数,非线性系统稳定性分析-相平面法,大多数非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分段线性特性来近似。用相平面法分析这类系统时，一般采用“分区一衔接”的方法。首先，根据非线性特性的线性分段情况，用几条分界线(开关线)把相平面分成几个线性区域，在各个线性区域内，各自用一个线性微分方程来描述。其次，画出各线性区的相平面图。最后，将相邻区间的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得系统的相平面图。非线性系统的自振在相平面上表现为存在一个稳定的极限环。稳定极限环：由极限环外部和内部起始的相轨迹都渐近地趋向这个极限环，任何较小的扰动使系统运动离开极限环后，最后仍能回到极限环上。不稳定极限环：由极限环外部和内部起始的相轨迹都从极限环发散出去，任何较小的扰动使系统运动离开极限环后，系统状态将远离极限环或趋向平衡点。,非线性系统稳定性分析-圆判据,很多的非线性物理系统可以表示为一个线性单元和非线性单元的反馈联接。如图所示。,假设外部输入为0，研究无激励系统的特性。系统表示为：,观，且是无记忆的，可能是时变的和非线性的，在t上分段连续，在y上满足局部Lipschitz条件。,若满足下列条件之一，则上述系统是绝对稳定的。12,是严格正实的。,是严格正实的。,非线性系统稳定性分析-圆判据,系统满足下述条件，则是绝对稳定的：当时，其中且存在常数对于A的每个特征值，有，使得是严格正实的，其中。,非线性系统稳定性分析-Popov判据,离散系统的稳定性分析,线性采样系统Z平面稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足,设采样系统的闭环脉冲传递函数为,系统特征方程为,Z平面到W平面映射,线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1；或者其W变换的特征根全部位于W平面的左半平面。接下来就可以用劳斯判据判断W平面中系统的稳定性。,Z域到W域的映射,用July判据判断离散系统的稳定性设闭环系统特征方程为：,列July矩阵：,61,系统稳定充要条件：,离散系统状态空间表达的稳定性判断,系统稳定充要条件：,系统矩阵G的所有特征值都在单位圆内部,3.4李雅普诺夫稳定性理论,李雅普诺夫方法是基于微分方程或状态方程，对系统平衡点稳定性的分析方法。同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。分为李雅普诺夫第一方法和李雅普诺夫第二方法。,一、李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。1.线性定常系统定理1线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即Re(i)0，C0，对任意t0和tt0，有则系统是一致渐近稳定的。,3.非线性系统设非线性系统的状态方程为,f(x,t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状态为xe=0，则在平衡状态xe=0处可将f(x,t)展成泰勒级数，则得,R(x)：包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。取一次近似，可得线性化方程为,定理3（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的，系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。（2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。,1.基本定理（五个)(1)渐近稳定的判别定理一定理4设系统的状态方程为,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件v(x，t)是正定的，,是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又当x，有v(x，t)，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。,二、李雅普诺夫第二方法,物理意义：李雅普诺夫函数v(x，t)是一个能量函数，能量总是大于零的，即v(x，t)0。若随系统的运动，能量在连续地减小，则。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。,几何意义：以二维状态空间为例，设李雅普诺夫函数为二次型函数，即v(x)=x12+x22令v(x)=ci,x0,该定理给出的是渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不稳定的。该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情况下，v(x)不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即v(x)=xTPx的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式。该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判别定理。,解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=0，为坐标原点。选取李氏函数为二次型函数，即v(x)=x12+x22显然v(x)是正定的。v(x)的一阶全导数为,解：由平衡点方程得,例2设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,因此是负定的。又当x时，有v(x)，故由定理4，平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。,例3设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,可知xe=0是唯一的一个平衡状态。选取,解：由平衡点方程得,v(x)=x12+x220（正定）,（负半定）,是负半定的。,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件v(x，t)是正定的。,定理5设系统的状态方程为,在x0时不恒等于零，则在平衡点xe=0处是渐近稳定的。,例4设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。,v(x)=x12+x220,按照定理5，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当x时，v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。,当0时，x2=0，x1=0。,为验证定理5的正确性，仍以例4加以说明。对例3，另选李雅普诺夫函数为,即是负定的，满足定理4的条件，所以系统在xe=0处是渐近稳定的。由此可见，定理5是正确的。同时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数不是唯一的。,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件v(x，t)是正定的。,是负半定的。,定理6设系统的状态方程为,不存在某一x0值使恒为零，则系统在平衡点xe=0处是渐进稳定的。,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x)=x12+4x220,例4设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,可见，在任意的x值上均保持为零。因此，系统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的。,其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件v(x，t)是正定的。,是正定的。,定理7设系统的状态方程为,则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x)=x12+x220,系统在xe=0处是不稳定的。,例5设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即v(x)=x12+x220,所以系统是不稳定的。,例6设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。,当0时，x2=0，x1=0。,3.4.2线性系统的李雅普诺夫稳定性分析,利用李雅普诺夫第二方法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李氏函数，而李氏第二法本身并没有提供构造李氏函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂的系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李氏函数。,一、线性定常连续系统,式中，x是n维状态矢量，A是nn常数阵，且是非奇异的。在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程ATP+PA=Q而标量函数v(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。,定理9线性定常系统,注1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程ATP+PA=Q的实对称矩阵P是唯一的。若P是正定的，系统在xe=0处是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。,注2）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取Q=I，于是矩阵P可按下式确定：ATP+PA=I然后检验P是不是正定的。,解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定ATP+PA=I,例7设系统的状态方程为试判断该系统的稳定性。,2p11=1p11p12p22=02p122p22=1,可知P0，正定，所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。而系统的李氏函数为v(x)=xTPx=0.5(3x12+2x1x2+2x22),二、线性时变连续系统,定理10线性时变连续系统,在平衡点xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续的对称正定矩阵P(t)，使得,并且v(x,t)=xT(t)P(t)x(t)是系统的李氏函数。,证明只证充分性，即如果满足上述要求的P存在，则系统在xe=0处是渐近稳定的。设P(t)是存在的，且P(t)是正定的，即P(t)0。故选v(x，t)=x(t)TP(t)x(t)0，（正定的）。又,若Q是正定对称矩阵，则是负定的。由定理4知，系统在xe=0处是渐近稳定的。证毕,2.判断的一般步骤1）确定系统的平衡状态。2）任选正定对称矩阵Q(t)，代入矩阵方程,解出矩阵P(t)。该矩阵方程属于Riccati矩阵微分方程，其解为,3）判断矩阵P(t)是否满足连续、对称正定性。若满足，则线性时变系统是渐近稳定的，且v(x,t)=xT(t)P(t)x(t),同样，为计算方便，可选Q(t)=Q=I，则,三、线性定常离散系统,式中，G是nn阶常系数非奇异矩阵。系统在平衡点xe=0处渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程：GTPGP=Q并且vx(k)=xT(k)Px(k)是这个系统的李雅普诺夫函数。,1.渐近稳定的判别方法定理11线性定常离散系统,解：系统平衡点为坐标原点。取Q=I，则矩阵P由下式确定GTPGP=I,p11(11)=1p12(112)=0p22(122)=1,例8设离散系统的状态方程为试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。,要使P为正定的实对称矩阵，则要求10,二、参数最优化设计,在线性系统中，常常使用各种积分指标来评价系统的控制品质。如误差绝对值积分（IAE）指标、误差平方积分（ISE）指标以及其他二次型积分指标。用李雅普诺夫方法可以评价这些积分指标。下面考察在二次型积分指标最小意义下，如何利用李雅普诺夫第二法使系统的参数最优。设线性系统的状态方程为,其中系统矩阵A()表示A的某些元素依赖于可调参数。参数的选择原则是使二次型积分指标,达到最小，其中Q为正定或正半定常数矩阵。,由于矩阵A()所描述的系统应当是渐近稳定的，因此由指标J中给定的Q阵，可以通过李雅普诺夫方程AT()P+PA()=Q解出正定的含参数的矩阵P()。也就可以选取李氏函数为v(x)=xTP()x,=xT(0)P()x(0)xT()P()x()=xT(0)P()x(0)=v(x)t=0这样问题转化为选择什么样的参数使上式的J最小。,或充分必要条件,解出。,这是函数求极值问题，可由其必要条件,例15设控制系统的结构图如图所示，假设系统开始是静止的。试确定阻尼比0，使系统在单位阶跃函数r(t)=1(t)的作用下，性能指标,达到最小，其中为给定的加权系数。,解：列写状态方程选取二阶系统的两个状态变量为,二次型积分指标,（3）由李雅普诺夫方程求P()由ATP+PA=Q，可解得,（4）写出李雅普诺夫函数,（5）求J的最小值令，即,因为x2(0)=0，得,2,小结,一、李雅普诺夫关于稳定性的四个定义稳定；渐近稳定；大范围渐近稳定；不稳定。,x,x0,二、李雅普诺夫第二法的五个基本定理,要搞清这五个定理之间的区别。其区别主要集中在对的定号性判别上，可以归纳为以下结论：给定系统构造v函数充分条件,CompanyLogo,三类典型系统中，李雅普诺夫函数构造的定理(方法)以及相关的例题分析定常系统和时变系统两种情况给出李雅普诺夫函数的其他构造方法及例题分析,3.5李雅普诺夫函数的构造方法,CompanyLogo,线性定常系统,CompanyLogo,例题分析,判断系统的稳定性解:取,根据李雅普诺夫方程有如下式子展开后联立方程组解得阵如下由西尔维斯特判据得是正定矩阵，故而系统渐进稳定。,CompanyLogo,线性定常离散系统,线性定常离散系统的状态方程为该系统在平衡点处为渐进稳定的充要条件为：给定任意正定实对称矩阵,存在一个正定实对称矩阵，使成立。此时取为李雅普诺夫函数，则有,CompanyLogo,例题分析,已知线性定常离散系统的状态方程为试求取该系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件。解：选取，由上述定理有如下式子展开得方程组由此解得如下所示则P为正定矩阵(也即平衡点处大范围内渐进稳定)的条件是,CompanyLogo,对于非线性自治系统，有，即状态空间原点是其平衡状态。选取李雅普诺夫函数为它关于时间的导数是其中=（雅克比矩阵）,克拉索夫斯基法,CompanyLogo,克拉索夫斯基法,克拉索夫斯基定理：对于非线性自治系统，设有，且对都可微。则当为负定时，系统的平衡状态即状态空间原点是渐近稳定的。进一步，当时，有那么系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。,CompanyLogo,例题分析,CompanyLogo,例题分析,CompanyLogo,CompanyLogo,变量梯度法,应用变量梯度法构造李雅普诺夫函数的步骤：将李雅普诺夫函数的梯度向量设为其中待定系数可以是常数，也可以是状态变量的函数。由梯度向量构造导函数，并由