2.1.1向量的概念

2.1.1向量的概念,第二章2.1向量的线性运算,学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一向量的概念及表示,在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？,答案,答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.,向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？,答案可以用一条有向线段表示.,答案,思考2,向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？,答案向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段.,思考3,(1)向量：具有大小和的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做.(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做线段.点A叫做有向线段的，点B叫做有向线段的.有向线段的方向表示向量的，线段的长度表示位移的，位移的距离叫做向量的.,梳理,方向,自由向量,有向,始点,终点,方向,距离,长度,思考1,知识点二相等向量,已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？,答案,思考2,两向量相等需要具备哪些条件？,答案需要具备两个条件：长度相等、方向相同.,梳理,(1)同向且等长的有向线段表示向量，或的向量.(2)如果a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作ab.,同一,相等,答案不相同.我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.,思考1,知识点三向量共线或平行,共线向量的方向有何特征？,答案,答案共线向量的方向相同或相反.,思考2,向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？,梳理,(1)通过有向线段的直线，叫做向量的(如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量或.向量a平行于b，记作ab.(2)长度等于零的向量，叫做，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量.,基线,共线,平行,零向量,平行,知识点四位置向量,任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的.,位置向量,题型探究,解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.,类型一向量的概念,例1下列说法正确的是A.向量与向量的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等,答案,解析,反思与感悟,解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.,跟踪训练1下列说法正确的有_.(填序号)若|a|b|，则ab或ab；,答案,解析,解析错误.|a|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系；错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上；正确.向量是长度相等，方向相反的两个向量.,例2如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.,类型二共线向量与相等向量,解答,解因为E、F分别是AC、AB的中点，,又因为D是BC的中点，,解答,反思与感悟,(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.,跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.,解答,解与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.,解答,(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？,解存在.由正六边形的性质可知，BCAOEF，,(3)与共线的向量有哪些？,解由(2)知，BCOAEF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，,类型三向量的表示及应用,解答,例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.,解答,在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，,反思与感悟,准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.,解答,跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；,解根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略).,(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？,解由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略).,当堂训练,1.下列结论正确的个数是温度含零上和零下温度，所以温度是向量；向量的模是一个正实数；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；若|a|b|，则ab.A.0B.1C.2D.3,答案,2,3,4,1,解析,解析温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为0，故错；向量不可以比较大小，故错；若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故对.,2,3,4,1,2.下列说法错误的是A.若a0，则|a|0B.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的,答案,2,3,4,1,解析,解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的.,答案,2,3,4,1,解析,4.如图所示，在以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，,解答,2,3,4,1,规律与方法,1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化