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文档简介
1.1消元法解线性方程组及其矩阵表示,一、消元法解线性方程组,二、用矩阵表示消元的过程,三、线性方程组解的情况,例1解二元线性方程组,解:用高斯消元法,(1.1),(1.2),(1.1),(1.2),(1.3),一、消元法解线性方程组及几何意义,(1.3),(1.4),二元线性方程组解的几何解释,从行图像来看,,两直线交点(x=1,y=2)就为方程组的解。,从列图像来看,方程组可表示为向量形式:,列向量的线性组合,当x=1,y=2时,可表示为和的线性组合。,当左侧向量1、2不共线,其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量b,都可找到唯一的x、y,使得组合成立,即线性方程组有唯一解。,当左侧向量1、2共线,线性方程组有无穷多个解或无解。,思考:是否所有二维向量方程x1+y2=b,都能找出相应的x、y,使得方程成立?,例2解三元线性方程组,解:用高斯消元法,(1.1),(1.2),(1.1),(1.2),(1.3),(1.3),(1.4),行阶梯形方程组,回代易得,(1.5),(1.6),(1.7),(1.4),(1.5),(1.6),三元线性方程组解的几何解释,从行图像来看,,三个平面的交点(x=2,y=1,z=-2)就为方程组的解。,从列图像来看,方程组可表示为向量形式:,列向量的线性组合,当x=2,y=1,z=-2时,可表示为的线性组合。,思考:是否所有三维向量方程x1+y2+z3=b,都能找出相应的x、y、z,使得方程成立?,当左侧向量1、2、3不共面,其所有的组合生成了整个三维空间。故对于所有的右侧向量b,都可找到唯一的x、y、z,使得组合成立,即线性方程组有唯一解。,当左侧向量1、2、3共面,线性方程组有无穷多个解或无解。,右侧向量b在其平面内,线性方程组有无穷多个解。,右侧向量b不在其平面内,线性方程组无解。,回顾上述化简消元的过程,我们发现只对方程组进行了三种变换:(1)交换两个方程的次序;(2)用非零数乘以某个方程;(3)用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。这三个变换称为初等变换。,而且只对方程组的系数和常数项进行运算,而未知量、+、=没有变化,故省去。那求解的过程可用相应的数表表示出来:,二、用矩阵表示消元的过程,同理,我们只对数表进行了三种变换:(1)交换两行次序;记为rirj(行交换)(2)用非零数乘以某行;记为kri(行倍乘)(3)用第j行的k倍加到第i行上。记为ri+krj(行倍加)这三个变换称为初等行变换。,增广矩阵,系数矩阵,例2用矩阵表示求解三元线性方程组:,行阶梯形矩阵:下方元素均为零,每个台阶只有一行,竖线后第一个数为非零。,有唯一解,单位矩阵E,解向量,备注:1)增广矩阵(A,b)只能进行初等行变换。,2)增广矩阵,即可得到解X,,但实际上,矩阵行变换到行阶梯形矩阵可更快速求出解。,3)解齐次线性方程组,只需对系数矩阵A进行初等行变换即可。,线性方程组解一共有三种情况:有唯一解,无穷个解,无解。,三、线性方程组解的情况,例2求解线性方程组,解:将增广矩阵初等行变换:,得,,3有效方程4个未知数,故有无穷多个解,令x3=任意值c,得,主元:每行第一个非零元素,x1x2x4,非自由未知量,x3,自由未知量,如何求出所有的解呢?,例3求解齐次线性方程组,解:将系数矩阵初等行变换:,得,,主元,令x3=c1,x4=c2,(c1,c2为任意常数),得,例4求解线性方程组,解:将增广矩阵初等行变换:,得,故方程组无解。,例5当a为何值时,下列解线性方程组有唯一解?无解?无穷多解?,解:将增广矩阵初等行变换:,总结:
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