消元法解线性方程组及其矩阵表示ppt课件

1.1消元法解线性方程组及其矩阵表示,一、消元法解线性方程组,二、用矩阵表示消元的过程,三、线性方程组解的情况,例1解二元线性方程组,解:用高斯消元法,（1.1）,（1.2）,（1.1）,（1.2）,（1.3）,一、消元法解线性方程组及几何意义,（1.3）,（1.4）,二元线性方程组解的几何解释,从行图像来看，,两直线交点（x=1，y=2）就为方程组的解。,从列图像来看，方程组可表示为向量形式：,列向量的线性组合,当x=1，y=2时，可表示为和的线性组合。,当左侧向量1、2不共线，其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的x、y，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。,当左侧向量1、2共线，线性方程组有无穷多个解或无解。,思考：是否所有二维向量方程x1+y2=b，都能找出相应的x、y，使得方程成立？,例2解三元线性方程组,解:用高斯消元法,（1.1）,（1.2）,（1.1）,（1.2）,（1.3）,（1.3）,（1.4）,行阶梯形方程组,回代易得,（1.5）,（1.6）,（1.7）,（1.4）,（1.5）,（1.6）,三元线性方程组解的几何解释,从行图像来看，,三个平面的交点（x=2，y=1，z=-2）就为方程组的解。,从列图像来看，方程组可表示为向量形式：,列向量的线性组合,当x=2，y=1，z=-2时，可表示为的线性组合。,思考：是否所有三维向量方程x1+y2+z3=b，都能找出相应的x、y、z，使得方程成立？,当左侧向量1、2、3不共面，其所有的组合生成了整个三维空间。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的x、y、z，使得组合成立，即线性方程组有唯一解。,当左侧向量1、2、3共面，线性方程组有无穷多个解或无解。,右侧向量b在其平面内，线性方程组有无穷多个解。,右侧向量b不在其平面内，线性方程组无解。,回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行了三种变换：（1）交换两个方程的次序；（2）用非零数乘以某个方程；（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。这三个变换称为初等变换。,而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、+、=没有变化，故省去。那求解的过程可用相应的数表表示出来：,二、用矩阵表示消元的过程,同理，我们只对数表进行了三种变换：（1）交换两行次序；记为rirj（行交换）（2）用非零数乘以某行；记为kri（行倍乘）（3）用第j行的k倍加到第i行上。记为ri+krj（行倍加）这三个变换称为初等行变换。,增广矩阵,系数矩阵,例2用矩阵表示求解三元线性方程组：,行阶梯形矩阵：下方元素均为零，每个台阶只有一行，竖线后第一个数为非零。,有唯一解,单位矩阵E,解向量,备注：1）增广矩阵（A,b）只能进行初等行变换。,2）增广矩阵,即可得到解X，,但实际上，矩阵行变换到行阶梯形矩阵可更快速求出解。,3）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵A进行初等行变换即可。,线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，无解。,三、线性方程组解的情况,例2求解线性方程组,解:将增广矩阵初等行变换：,得，,3有效方程4个未知数，故有无穷多个解,令x3=任意值c，得,主元：每行第一个非零元素,x1x2x4,非自由未知量,x3,自由未知量,如何求出所有的解呢？,例3求解齐次线性方程组,解:将系数矩阵初等行变换：,得，,主元,令x3=c1，x4=c2，（c1，c2为任意常数），得,例4求解线性方程组,解:将增广矩阵初等行变换：,得,故方程组无解。,例5当a为何值时，下列解线性方程组有唯一解?无解？无穷多解？,解:将增广矩阵初等行变换：,总结：