1.3二项式定理（通用） (2)

第一章计数原理,1.3二项式定理,问题:今天是星期五,7天后的这一天是星期几呢？,15天后的这一天呢？,算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算,问题思考,若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?,推陈出新,=?,=?,?,归纳猜想,(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2=(a+b)*(a+b)=(a+b)*(a+b)=aa+ab+ba+bb每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一项都是的形式。,a2-kbk(k=0,1,2),问题探究,(a+b)2(a+b)(a+b),展开后其项的形式为：a2，ab，b2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b,恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21,恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22,每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20,对(a+b)2展开式的分析,(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？,问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？,2)各项前的系数代表着什么？,3)你能分析说明各项前的系数吗？,a4a3ba2b2ab3b4,各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数,问题探究,a4a3ba2b2ab3b4,项：,系数：,(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4,结果：,3)你能分析说明各项前的系数吗？,知识，只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵。,尝试猜想,=?,=?,猜想与证明,猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢？,归纳总结,(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展开式共有2n项,而且每一项都是,的形式.,证明:,an-kbk(k=0，1，2，n),归纳总结,二项式,二项展开式,记作:,二项式定理（binomialtheorem),1.系数规律：,2.指数规律：,（1）各项的次数均为n；（2）a的次数按降幂排列，由n降到0，b的次数按升幂排列，由0升到n.,3.项数规律：,展开式共有n+1个项,二项式,二项展开式,第项的二项式系数,通项,定理赏析,在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：,在上式中，令x=1，则有：,定理赏析,例1:求的展开式,求展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数,学以致用,解:,被7除的余数是1，因此天后的这一天是星期六.,学以致用,的展开式的第四项的二项式系数是_,第四项的系数是.,1.写出的展开式.,2.求的展开式的第三项.,3.求的展开式的第三项.,当堂检测,1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。,2.方法收获：正