老师上课用的ppt高代char3

,第3章行列式,机动目录上页下页返回结束,第3章,3.1二阶与三阶行列式3.2n阶行列式的定义与性质3.3线性方程组唯一解公式3.4展开定理3.5更多的例子,3.1二阶与三阶行列式,机动目录上页下页返回结束,第3章,3.2n阶行列式的定义与性质,机动目录上页下页返回结束,第3章,n元排列的总数为n！将1,2,n按从小到大的顺序得到的排列(12n)称为标准排列。在任意一个排列中,可能出现顺序“颠倒”的情况：pjq,也就是较大的数jp反而排在较小的数jq的前面。每出现一对这样的(jp,jq)称为这个排列的一个逆序。,定义3.1.1由1,2,n按任意顺序重新排列而成的有序数组称为一个n元排列。,1.排列,定义排列每出现一对qjq,就称(jpjq)为这个排列的一个逆序。排列中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。,例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12n)的逆序数为0,因此自然排列是偶排列。,定义3.1.3将排列中的某两个数码jp,jq互相交换位置,称为这个排列的一个对换。,定理3.1.1任意一个排列经过任一次对换,必改变奇偶性。,证明:首先考虑相邻两个数ki,ki+1的对换.,若kiki+1则对换后逆序数减少1;若kiki+1,则对换后逆序数增加1;无论哪种情形,奇偶性都改变.,不妨设ij,将ki与ki+1对换,再与ki+2对换,换了j-i次后再将kj与kj-1对换,再与ki-2对换,经过了j-i-1次后,ki与kj实现对换,一共进行了2(j-i)-1次相邻对换,因此奇偶性发生改变。,一般情形,ki与kj的对换可通过相邻数的对换来实现:,机动目录上页下页返回结束,定理3.1.2每个排列(j1j2jn)都可以经过有限次对换变成标准排列(12n).同一排列(j1j2jn)变成标准排列经过的对换次数s不唯一,但奇偶性唯一,并且与排列的奇偶性相同。,证明:,对n数学归纳.因为(12n)为偶排列,当(j1j2jn)偶,经过s次对换后成标准排列,奇偶性改变s次后仍为偶,故s为偶;奇排列同理.,对于排列(j1j2jn),规定,sgn(j1j2jn)=(-1)s,机动目录上页下页返回结束,2.n阶行列式的定义,将n2个数aij(i,j=1,2,n)排成n行n列的形式,按如下方式计算：,(3.2.1),得到一个数，称为n阶行列式,上面的式子中的求和号表示对所有的排列(i1i2in)求和。,例1求行列式的值.,=a11a22ann,例2求行列式的值.,=a11a22ann,行列式看成n阶矩阵的函数,记作detA或者|A|.,主对角线,、上三角矩阵,下三角矩阵,、,和对角阵,计算一般行列式的方法:,化为上(下)三角矩阵.,答案：0和0。,例计算.,行列式的性质,在定义行列式的和式(3.2.1)中,从每一行中各取了一个元素、使它们各在不同列中,将这些元素相乘得到一个乘积.这些元素既然各在不同的列中,就可以在乘积中将它们按列指标从小到大的顺序重新排列,得到同样的乘积,这样的重新排列可以这样来实现:,将排列(j1j2jn)中的各数码j1,j2,jn经过s次对换变成标准排列(12n),对应的各因子经过同样这些对换变成顺序因而各因子的行指标经过相应的s次对换变成按顺序i1,i2,in排列.,这说明排列(j1j2jn)与(i1i2in)的奇偶性相同:当s是偶数时同为偶排列,当s是奇数时同为奇排列.因此,进而,命题3.2.1,(3.2.1),定义3.2.1将mn矩阵A的行列互换得到矩阵B,称为矩阵A的转置,记作AT.,设行列式=detA,则detAT称为得转置,记作T.,定理3.2.1行列式有如下的性质:,性质1.detA=detAT.即转置不改变行列式的值.,行列式的行和列是同等地位的.,n次齐次多项式、n次齐次函数,(aj1,aj2,ajn)=Aj1aj1+Aj2aj2+Ajnajn(其中Aj1,Aj2,Ajn其中是由中第k行以外的元决定的常数)为一次齐次函数(线性函数)满足:,性质2.中某行(列)可拆成两个向量的和,则可以拆成相应两个1,2的和.,性质3.将行列式的任意一行(列)乘以常数则行列式的植变为原来的倍.,性质4.行列式两行(列)对换,行列式的值变为原来的相反数.,性质5.如果行列式某行(列)元全为0,则行列式为0.,性质6.如果行列式某两行(列)相等,则行列式为0.,性质7.如果行列式某两行(列)对应成比例,则行列式为0.,性质8.如果行列式某一行(列)的倍加到另一行(列),行列式的值不变.,例3.求行列式,解:,例2.求n阶行列式,解:,各行加到第1行,各列减去第1列,例3.求n阶行列式,解:,所有其他列加到第1列；提公因子,每一行减去上一行,各行加到第1行,第1行加到各行,例4.求n阶行列式,解,各行减去上一行得x1倍,由此得到递推关系:,注意到,由数学归纳法得,3.3线性方程组唯一解公式,机动目录上页下页返回结束,第3章,线性方程组唯一解的条件,即Ax=b有唯一解的条件是：系数矩阵A=(a1,an)线性无关.,定理3.3.1设A是由n个方程组成的n元一次方程组Ax=b的系数矩阵.则,证明:我们只需要证明如下定理即可.,定理设a1,anFnx1,是依次以a1,an为各列组成的行列式,则:a1,an是Fnx1的一组基当且仅当0.,推论,例1取什么值时,方程组有非零解.并在有非零解时求出通解.,解移项,整理得,上述方程有非零解，则系数行列式为0。而,由(-2)(+1)2=0解得=2获=-1.,当=2，对方程组的系数矩阵进行初等行变换,对应方程组,通解为t(1,1,1).,当=-1,对方程组的系数矩阵进行初等行变换,对应方程x1+x2+x3=0,通解为t1(1,-1,0)+t2(1,0,-1).,例2设a,b,c不全为0,为任意实数，且,求证：,证明：将a,b,c看成未知数,上述等式看成方程,有非零解,系数行列式等于0，即,行列式的秩,如果方阵A的行列式|A|0，就称A是非退化的,否则称A是退化的.定理3.3.1证明了：非退化方阵A的各行(列)线性无关,rankA=n，这样的方阵也称为是满秩的.,机动目录上页下页返回结束,一般地，对任意矩阵A，以及正整数i1is,j1js,，我们将A的第i1,is行和第j1,js,列交叉位置的元组成的行列式称为A的一个s,阶子式（minor），记作,设r是正整数，mn矩阵A含有r阶非零子式，不含更大阶非零子式，即A中非零子式的最大阶是r，则r称为A得行列式秩.,A中含有某个r阶子式k=,先证明A的列秩大于或等于r，为此，我们证明A的第j1,j2,jr列组成列向量组的极大线性无关组。,非零子式k的各列是线性无关的r维列向量。因此将这些列向量添加若干分量得到A的第j1,j2,jr列，为线性无关向量组。因此，rrankA,机动目录上页下页返回结束,反之，如果s=rankA，则A得某s列如第j1,j2,js列线性无关，把这s列组成矩阵As，则它的列秩与行秩都为s，于是As中有s行，如i1,i2,is行线性无关，这s行排成方阵Bs于是|Bs|0,而|Bs|为A的s阶非零子式，所以sr.于是我们有,定理3.3.2矩阵A的行列式秩=A的行秩=A的列秩.,定义3.3.1设矩阵A所含的非零子式的最高阶数为r，就称r是A的秩(rank)，记为rankA。,例3设n元线性方程组,的系数行列式,对每个1jn，分别用列向量,替换行列式的第j行，得到两个相等的行列式，由此得到Cramer法则.,解,设(x1,x2,xn)是原方程(*)的解，则,用此等式两边的向量替换系数行列式的第j行，得到两个相等行列式,将这个等式右边的行列是记为j.左边的行列式可以拆成n各行列式之和,当jk时，()求和号中的行列式,的第j,k两列相等，行列式的值为0。当j=k时行列式()就是原方程组的系数行列式求和号中的行列式。因此，()就是,也就是说：原方程组(*)如果有解，只有唯一一组解,如果常数项bi(1in)全部为零，所有的i=0(1in)，()就是这确实是原方程组(*)的解，因而是原方程的唯一解。这说明原方程组的系数矩阵的n列现行无关，组成n维列向量空间Fnx1的一组基，Fnx1中的每个列向量(b1,bn)T都能唯一地表示成这组基的线性组合，也就是说原方程组对常数项b1,bn的任意一组值都有唯一解，()确实是原方程组的唯一解。这就是Cramer法则。,定理3.3.3,3.4展开定理,机动目录上页下页返回结束,第3章,机动目录上页下页返回结束,引理3.4.1证明,机动目录上页下页返回结束,分析：,每一项的特点,得到,排列(i1irir+1in)的逆序数是,机动目录上页下页返回结束,例2计算.,解：,例3平面上建立直角坐标系，求证：对任意n个横坐标不同的已知点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)都有唯一的不超过n-1次的多项式f(x)=a0+a1x+an-1xn-1，使它的图像经过这n个已知点.,解：归结为多项式的系数满足的如下方程有唯一解,方程组的行列式为Vandermonde行列式，在题设条件下不为零，即证.,行列式按一行(列)展开,我们知道:如果n阶行列式的第一行或第一列除了第一个元以外全都为0，就可以利用公式,如果行列是式的第一行只有一个非零元，但不再第1列而在另外某一列，则可以通过列的互换将这个非零元换到第1列，仍然利用上述公式来计算。,例1行列式,的第1行除了第j列的元a1j以外地其余元都是0，试将化为n-1阶行列式来计算。,解将的第j列依次与它左边的j-1列互换位置，经过j-1次变号变为,从而,引理3.4.2,引理3.4.3,定理3.4.1,将行列式看成前r行元的函数,后n-r行元为常数,有,3.5更多的例子,机动目录上页下页返回结束,第3章,例1(勾股数)略,例2如下n阶行列式的对角元依次为1,n,非对角元全为1,求的值.,解：如下某个对角元i=1,将第i行的-1倍加到其余各行，将对非对角元变为0，对角元依次为1-1,i-1-1,i+1-1,n-1,此时=(1-1)(i-1-1)(i+1-1)(n-1).,设所有i1,例3(广义Vandermonde行列式)求n阶行列式,解：考虑n+1个字母的Vandermonde行列式,将x1,xn看成常数,x看成自变量，将Vn+1按最后一行展开成x的多项式f(x),则有,例4由5个电阻组成的电路。设在两点A,B之间加电压V。在五个电阻上流过的电流所满足的线性方程组的解的唯一性。,解：电流满足的方程组为,系数行列式为,假定所有电阻都大于等于0。除以下情况，其余都有0，方程组有唯一解。,例5,例6.证明：(1)奇数阶反对称方阵A的行列式|A|=0；(2)将偶数阶反对称方阵A的行列式|A|的每个元加上同一个数,得到的行列式的值仍等于|A|。,证明：(1),(2)设A=(aij)nxn是反对称方阵，n为偶数，是任意一个数，则,第1行乘-1加到其余各行,其中,是n+1（奇数）阶反对称方阵的行列式的倍，等于0.,因此,如所欲证,例7计算n阶行列式,解,将第n列拆成两列之和，从而将行列式拆成两个行列式之和,将上式右端以一个行列式的第n行的-1倍加到其余各行，第二个行列式按第n列展开，得,（3.5.10）,将n转置，行列式不变，x与y的位置互换，由上式得,（3.5.11）,将（3.5.10）与（3.5.11）两边相减，得,从而,n阶行列式：,余子式:,元素aij余子式是一个n1阶行列式，,是由行列式A中划去第i行第j列后剩下的,n1行与n1列元素组成的行列式.,