数值分析第六章 数值积分与数值微分【PPT课件】

数值计算方法 汉学院信息系 授课人：江成顺 第 6章 数值积分与数值微分 插值型求积公式 三个常用的求积公式及其误差 复化求积公式 数值微分法 016/10/25 2 为什么要进行数值积分 ？ 在微积分里 ， 按 要求被积函数 f(x) 有解析表达式； f(x)的原函数 F(x)为初等函数 ( ) ( ) ( ) ( )f f x d x F b F a 数值积分 近似计算 ba (2016/10/25 3 f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂 . 但是在许多实际问题经常遇到下列情况： f(x)没有解析表达式 ， 只有数表形式 f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 它们的原函数都不是初等函数 . 24 21 1 2 1 1l n a r c t a n ( 2 1 ) a r c t a n ( 2 1 ) 1 4 2 2 1 2 2x x xx 210xe d xx 1 2 3 4 5 f(x) 4 8 0s i n x 016/10/25 4 插值型求积公式 近似 计算 ba (思路 利用 插值多项式 则积分易算。 ( ) ( )nL x f x 在 a, b上取 a b，做 f 的 n 次插值 多项式 ，即得到 0( ) ( ) ( )nn i x f x l x 0( ) ( ) ( )x d x f x l x d x i ()()ji 由 节点 决定，与 f (x)无关。 插值型积分公式 ba n (式中 为 求积节点 ； i 称为 求积系数 . 机械求积公式 2016/10/25 5 当 时，可得到 插值型求积公式的余项 ( 1 ) () ( , )nf x M x a b ( ) ( ) b f f x L x d x( 1 )0() ()( 1 ) !n x x d () x d x 0( 1 ) !f x x d 2016/10/25 6 求积公式的的代数精度 定义 6若求积公式对于任意次数 多项式均能准确地成立，但对于 m+1次多项式不能准确成立，则称该求积公式的 代数精度为 m 对于代数精度为 f(x)是不超过 求积公式是精确成立的 确定代数精度的方法 一般地，欲使求积公式 具有 0( ) d ( )x x f x 精度，只要令它对于 f (x) = 1， x， ， 能准确成立，而 对于 1不成立。 2016/10/25 7 解 逐次检查公式是否精确成立 取 f(x) = 1： 10 1111 122= 取 f(x) = x ： 1012x d x 1 1 1 3 1 32 3 2 4 2 4 此求积公式的 代数精度为 0 例 6 , 求其代数精度。 101 1 1 3( ) ( ) ( )2 3 2 4f x d x f f2016/10/25 8 解 : 3h=A2 + + 9 故求积公式的形式为 解之得 h, , h. 9 4 3 4 f(x) f(0) + f(2h) 3h 4 9h 4 3h 0 由公式的构造知 ,公式 至少 具有 2次代数精度 ; 当 f(x)= 公式的左边 = 右边 =18公式的左边 右边 ,说明此公式对 f(x)= 因此 , 公式只具有 2次代数精度 . 81 4 例 2 试构造形如 f(x) )+ h)+ h) 的数值求积公式 ,使其代数精度尽可能高 ,并指出其代数精度的阶数. 3h 0 求积公式有 令公式对 f(x)=1, x, 准确成立 , 则有 2016/10/25 9 例 3 给定形如 的 求积公式，试确定系数 ，使公式具有尽可能高的 代数精度 . )0()1()0()( 01010 010 , 当 时，得 1)( 111010 时，得 )( ;211001 分别代入求积公式使它精确成立 2,1)( 当 时 ， 得 2)( ,于是得 61,31,32010 0(61)1(31)0(32)(10当 时， 而上式右端为 ，故公 式对 不精确成立，其代数精度为 2. 3)( : 2016/10/25 10 定理 6对任给的 n+1个互异的求积节点 , 一个机械求积公式的代数精度有 n 次 该 公式为 插值型求积公式 。 插值型求积公式 是代数精度 最高 的求积公式 2016/10/25 11 三个常用的求积公式及其误差 当节点 等距分布 时： .,1,0, 00()()()x d x d )!(! )1)()( )(令 )( 数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间 a, b均无关。 式 0( ) ( ) ( )x d x b a C f a i h 这时求积公式 2016/10/25 12 梯形公式 f(a) f(b) 曲边梯形的面积 f(x) a b ( ) d ( ) ( ) 2f x x f a f b () ( ) ( ) , ( , ) ,2!f x a x b d x a b 其中 3 3 2 2 311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6a x b d x b a a b b a 3 ( ) , ( , ) f f ah b 梯形公式的 代数精度为 1； 梯形公式的余项 用 梯形 面积近似 1n 2016/10/25 13 a 物形 面积近似 普森）公式 ( ) d ( ) 4 ( ) ( ) 62f x xb a a bf a f f b 将区间 a,b二等分 ，取端点 a， a+b)/2为节点 ( 4 )51 ( ) , ( , ) f f a b 数精度为 3； 2n 2016/10/25 14 特斯）公式 ( ) 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 9 0 4 2 4f x xb a a b a b a bf a f f f f b 取区间 a,b的 4等分 点为节点 ( 6 )78 ( ) , ( , ) f f a 数精度为 5； 项 4n 2016/10/25 15 3n 取区间 a,b的 3等分 点为节点， ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 8 3 3f x xb a a b a bf a f f f b 5 ( 5 )3 ( ) , ( , ) f h f a b s 3/8数精度为 3； s 3/8式的 代数精度至少为 n 次。 n 为 偶数阶 的 公式至少有 n+1 次代数精度。 2016/10/25 16 例 6别利用 梯形公式、 计算积分 的近似值 。 12041I d 解 24011, , ( )a b f x x 10 012( ) ( ) ( )T f f f 1 4 2 32 1 0 10 4 162( ) ( ) ( ) ( )S f f f f 3 1 3 3 3 34 33715 . 1 1 1 37 0 3 2 1 2 3 2 7 19 0 4 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C f f f f f f 66772125 3 1 4 2 1 2.3 1 4 1 5 9 2 6.2016/10/25 17 中距形公式 2)(d)(a+b)/2, 用 0次插值多项式求积分得到 中矩形求积公式 3 ( ) , ( , ) f f a b 中矩形公式的 代数精度为 1； 中矩形公式公式的余项 (a+b)/2 f(x) a b 2016/10/25 18 8n 的牛顿 ()111221 2 126 3 61 3 3 1388887 16 2 16 7490 45 15 45 9019 25 25 25 25 195288 96 144 144 96 28841 9 9 34 9 9 416840 35 280 105 280 35 840751 357 7 132 3 298 9 298 9 132 3 357 7 7517172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80989 588 88283 50 283 592830 28104 96 104 96 588 8 989283 50 283454 0 92850 283 50 228 350 50 283 5028350柯特斯系数表 当 时，柯特斯系数 出现负值 8n )(计算结果误差增大， 即计算不稳定， )1(0C )1(1C)2(0C )2(1C )2(2C)3(2C)3(0C )3(1C )3(3C)4(2C)4(0C )4(1C )4(3C (4)4 0/25 19 柯特斯系数的性质 01(2) 系数有对称性。 i n (3) 当 n8时开始出现负值的柯特斯系数。 (1) 取 f(x)1， 则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0， 于是 01 d ( ) ,b a c 012016/10/25 20 1. 5个节点的牛顿 3. 数值求积公式 的代数精度为 11 ( ) d 2 ( 0 )f x x f 52. 要使求积公式 具有 2次代数精度 1 1101( ) d ( 0 ) ( )4f x x f A f x1x 则 1A 342312016/10/25 21 10s i n 例 用牛顿 解 取i n)( ，则 1n , 1( 0 ) ( 1 ) 0 . 9 2 0 7 3 5 52T f f 2n , 11 ( 0 ) 4 ( ) ( 1 ) 0 . 9 4 6 1 3 5 962S f f f ， 3 , 0 . 9 4 6 1 1 0 9 ， 4 , 0 . 9 4 6 0 8 3 0 , 5 , 0 . 9 4 6 0 8 3 0 。 1n , 有 1 位； 2 , 3n ，有 3 位； 4 , 5n ，有 6 位有效数字。 2016/10/25 22 陷 ： 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精度，必须 增加节点 个数，而节点个数的增加，会导致 （ 1） 插值多项式出现 （ 2） n7） 余项： 对于给定的被积函数而言， 积分区间缩短 时，求积误差以更快的速度减小。 2016/10/25 23 数值计算方法 汉学院信息系 授课人：江成顺 复化求积公式 复化求积的基本思想 把积分区间分成若干子区间 (通常是 等分 )，再在每个子区间上用低阶求积公式，然后把他们加起来作为整个区间上的积分，目的是提高精度 . 2016/10/25 25 化梯形公式 1 ( ) ( ) 2i i f x f x将区间 a,b划分为 点 i=0,1,n, 在每个子区间 ( i=0,1,n 采用梯形公式 ,i a ih h n ba ( 110()x 110 ( ) ( ) ( ) i f x f x R f 复化梯形公式 11 ( ) 2 ( ) ( ) ,2f a f x f b 余项 2( ) ( ) f h f 2016/10/25 26 复化梯形 公式 1122( ) ( ) ( ) ( )f f a f x f b 复化梯形 公式的几何意义 小梯形 面积 之和 近似 2016/10/25 27 复化 将区间 a,b分为 每个子区间 上采用记 ，则得 1212x h1 / 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) 6i i i f x f x f x ba ( 110()x 11 / 2 10 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) i i f x f x f x R f 复化 辛普森 公式 111 / 201 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ,6i f a f x f x f b 4 4 4 4 4 4( 4 ) ( ) , ( , )1 8 0 2b a hR f f a b 余项 2016/10/25 28 复化 小抛物 面积 之和 近似 2016/10/25 29 将每个小区间 做 4等分，分点分别记为 ， 在区间 采用 复化 1414x h 1 / 4 1 / 2 3 / 4 17 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 90i i i i i f x f x f x f x f x 11 / 4 1 / 2 3 / 4 10 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 90nn i i i i f x f x f x f x f x 1 1 1 11 / 4 1 / 2 3 / 40 0 0 1 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 1 4 ( ) 7 ( ) ,6n n n ni i i ii i i ih f a f x f x f x f x f b 121 ,2x h343 ,4x h 复化 6 ( 6 )2 ( )( ) ( ) ( ) , ( , ) 5 4a hR f I C f a b 复化 2016/10/25 30 例 6将区间做 4等分，然后用复化梯形公式及复化 公式计算 12041.I d 解 复化梯形 将积分区间 0,1划分为 4等分，则 5323 3 . 1 3 1 1 8 ;17003 . 1 4 1 5 9 2 5 041 1 1 1 3 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 ) 2 4 4 2 4T f f f f f 41 1 1 2 3 4 ( 0 ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( )6 4 8 8 8 85 6 74 ( ) 2 ( ) 4 ( ) (1 ) 8 8 8S f f f f ff f f f 2位有效数字， 6位有效数字 , 精度差别很大 . 复化 4 , h 2016/10/25 31 （ 1） 使用 复化 梯形 公式、 先要确定步长 h ； （ 2） 而步长要根据 余项 确定，这就涉及到 高阶导数 的估计； （ 3） 高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大； 注意 事项： 步长 2016/10/25 32 龙贝格求积公式 /* 变步长复化求积公式的思想 将 积分区间逐次分半 ，建立递推公式计算，直到满足精度要求. 变步长复化梯形公式 逐次分半算法 1,n 0 12 ( ) ( ) ,2 f a f b ,h b a2,n / 2 ,h b a )()2(2)(422 1 4,n / 4 ,h b a)()4 )(3(2)2(2)4(2)(842 2 直到满足精度要求为止。 10221 ()2 2 2h b f a 222110 21 ()22 f x 2016/10/25 33 设将区间 a,b 分为 有 n+1个分点， 如果将求积区间再二分一次，则分点增至 2n+1个， 每个 区间 经过二分增加了一个分点 12 11 ( ) ,2 x x 11 ( ) 2 ( ) ( ) ,2f a f x f b 用复化梯形公式求该子区间上的积分值 12 1 ( ) 2 ( ) ( ) f x f x f x112 1 100 2( ) ( ) ( )42i f x f x f x 110 21 ( ) f x 2016/10/25 34 120( ( 2 1 ) ) , 1 , 2 , 4 ,2 2 2b a b aT f a i 变步长复化梯形公式实际计算时的递推公式 )()(21直到 为止， 作为积分的近似值 . 2 2 0/25 35 解 12041 .I d 例 6用变步长复化梯形公式计算 24( ) ,1fx x 先对整个区间 使用梯形公式，即 h=1 1,011 ( 0) ( 1 ) 3 f f 将区间二等分， h=1/2 ，求出中点的函数值 1 1 6( ) 3 25f 211 1 1( ) 3 . 1 2T T f 进一步二分求积区间， h=1/4 ， 并计算新分点上的函数值 1 6 4 3 6 4( ) , ( ) 7 4 2 5421 1 1 3( ) ( ) 3 . 1 3 1 1 7 6 4 7 2 4 4T T f f 的近似值，精确到 21 0 . 1 0 . 0 0 0 0 0 1 记 42 0 . 0 3 1 1 7 6 4 7 2 0 . 0 0 0 0 0 1 这样不断二分下去，计算结果见表 6 它表明用复化梯形公式计算积分 I 要达到 7位有效数字的精度需要二分区间 10次，即要有分点 1025个，计算量很大 . 2016/10/25 36 由 复化 梯形公式的余项知 () 变化不大时 由此得到近似关系式 21( ) ,12 h f 222 ( ) 2nb a f 42 21 4 1()3 3 3n n n n T T T T 221()3n n T T 收敛慢！ 2016/10/25 37 110 21233()nn n n h f x 10 212 )(221 nk 144 2 变步长复化辛普森公式 利用复化 梯形 公式前后两次积分近似值 作出的 线性组合 ，即为复化 有 更高的精度 。 2016/10/25 38 一般有： 144 2144222144323列 法： ? ? ? ) 0 ( 0 T ) 3 ( 0 T ) 2 ( 0 T ) 1 ( 0 T ) 0 ( 1 T ) 0 ( 3 T ) 1 ( 1 T ) 0 ( 2 T ) 1 ( 2 T ) 2 ( 1 T 2016/10/25 39 例 6龙贝格算法计算积分 1204 d 解 110 ( 0 ) ( 1 ) 2T f f3121 0 1()2 2 224 21 1 3( ( ) ( ) )2 2 4 4TT f f 1 1 7 6 448 31 1 3 5 7( ( ) ( ) ( ) ( ) )2 2 8 8 8 8TT f f f f 3 0 9 4 1 61 1 01 ( 4 )3S T T3 3 3 3 3 32 2 11 ( 4 )3S T T3 1 5 6 8 72 2 11 ( 1 6 )15C S S3 2 1 1 7 7k 0 1 2 3 4 5 3 nT nS nC 016/10/25 40 前面介绍的 n+1个节点的 特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于构造，复合求积公式易于形成。但同时也限制了公式的精度。 数精度为 n+1， 数精度为 n 。 我们知道 n+1个节点 的插值型求积公式的代数精确度不低于 n 。 设想： 能不能在区间 a,b上适当选择 n+1个节点 , x n , 使插值求积公式的代数精度高于 n？ 答案是肯定的 ， 适当选择节点 ， 可使公式的精度最高达到 2n+1， 这就是本节所要介绍的高斯求积公式 。 2016/10/25 41 数值计算方法 汉学院信息系 授课人：江成顺 * )()(构造具有 2n+1次代数精度的求积公式 将节点 及系数 作为待定系数。令 f (x) = 1, x, , 代入可求解，得到的公式具有 2n+1 次代数精度。 一般 n+1节点的求积公式的代数精度最高为 2n+1次 . 定义 6若具有 n+1个求积节点的机械求积公式的代数精度至少为 2n+1，则称之为 高斯求积公式 ，此时求积节点 , 斯点 。 2016/10/25 43 例 6积公式 试确定节点 10 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ,f x d x f x f x 及 和系数 ，使其具有近可能高的代数精度 . 0x 1x 01,解 令公式对于 准确成立，得 32 ,1)( 330 0 1 1( 4 ) 0 01( 1 ) 2 , 0 0 1 1( 2) 0 , 220 0 1 12( 3 ) ,3 221 1 1 0( ) 0 ,x x x 20)2()4( x由此得 1 1 1 02( ) x x 1 0 1 0( ) 2 .x x x 0)1()2( x0)2()3( x由此得出 与 异号，即 ，从而有 0x 1x 01 21111 , 不是线性方程组，不易求解。 2016/10/25 44 例 6积公式 试确定节点 10 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ,f x d x f x f x 及 和系数 ，使其具有近可能高的代数精度 . 0x 1x 01,解 令公式对于 准确成立，得 32 ,1)( 330 0 1 1( 4 ) 0 01( 1 ) 2 , 0 0 1 1( 2) 0 , 220 0 1 12( 3 ) ,3 于是可取 . 再由第 (1)式得 ，于是有 01 1)()3 3()(11当 时，两端分别为 及 ，对 不精确成立，故公式的 代数精度为 3. 4)( 5292 4)( 33,3310 0/25 45 定义 6称仅以区间 上的 i=0,1, n)为零点且首项系数为 1的 n+1次多项式，即 010( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn i x x x x x x x x x 为 让德 )多项式 。 当积分区间是 a,b时， 做变换 ,22可将 a,b化为 ，从而 11 2016/10/25 46 10 ,1由 有递推 111 2 1( ) ( )k k k x P k P 定理 62!( ) ( 1 ) ( 2 ) !nn x xn d x勒让德多项式 的 零点 就是求积公式的 高斯点 . ( ) (正交多项式 2016/10/25 47 由 造以 斯 积公式 . 0k )(1 00 勒让德求积公式 ),0(2)(11中矩形公式 1k )13(21)( 22 1)31()(11两点高斯 三点高斯 )5)0(98)515(95)(1101111 , ( 1 ) ( 2 1 )k k k x P k P 2016/10/25 48 式的余项： Q： 什么样的 插值多项式 在 有 2n+1 阶？ A： 项式！ 满足 )()(),()( ba ()(2122122222()()()()( ) !()()( ) !x d x d ( 2 2 )21() ( ) . ( , )( 2 2 ) !n x x d x a 2016/10/25 49 例 6分别利用 1点、 2点和 3点 d 解 做变量代换 则 11,22112201481 4 ( 1 )d x d 1111( ) ( ) ( )33g x d x g g 两点高斯 三点高斯 115 1 5 8 5 1 5( ) ( ) ( 0 ) ( )9 5 9 9 5g x d x g g g 记 28()4 ( 1 )gx x 一点高斯 11( ) 2 ( 0)g x d x g 16 192 3 7 5 4 0 9 8618528 3 1 0 6 8 1 42715先将区间 0,1化为 ， 2016/10/25 50 数值微分法 为什么要作数值微分？ 对于用离散数据或者图形表示的函数 ， 计算微分只有求助于数值方法。 微分是重要的数学工具，是微分方程、 概率论等的基础；在实际问题中有直接应用。 2016/10/25 51 函数 y=f(x)以离散值给出 (如已知 f(a), f(a+h), f( ()()( ()()( )()( T 0 x A y=f(x) B C a a+h 计算在点 x=a 处的 导数 向前差商 向后差商 最常用的中心差商公式 其中 为 步长 . 2016/10/25 52 分别将 在 x 处做泰勒展开有 ( )f x h2345( 4 ) ( 5 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! 3 !( ) ( )4 ! 5 !x h f x h f