华师大八年级数学上《第14章勾股定理》单元测试含答案解析

第 1页（共 40页） 第 14章 勾股定理 一、选择题（共 10小题） 1如图，在边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、 线段 ） A 5 B 6 C 7 D 25 2如图，在 C=90 ， ，点 B， ，则 ） A 1 B +1 C 1 D +1 3如图，矩形纸片 ， 则矩形的一边 ） A 1 B C D 2 4 C=5， ，点 点 D ， 点 E，则 ） A 5 5如图，在 0 ， D 交 ， 知 ， ，则图中长为 4 的线段有（ ） 第 2页（共 40页） A 4条 B 3条 C 2条 D 1条 6如图，在四边形 足为点 E，连接 ，点 ， ，则 长为（ ） A 2 B C 2 D 7在边长为正整数的 ， C，且 ： 2的两部分，则 ） A B C D 8如图， C， D、 C 上， 点若， ，则关于 列何者正确？（ ） A 如图，在 0 ，点 ，如果 ，则它的周长为（ ） 第 3页（共 40页） A B +1 C +2 D +3 10如图， 、 B、 的正方形网格的格点上， 则 长为（ ） A B C D 二、填空题（共 15小题） 11如图，在 C=4， O， O 上的一个动点， 0 ，则当 12在 302 13如图，四边形 点 ，取 中点 F，连接 设 AB=x， AD=y，则 y 4） 2的值为 第 4页（共 40页） 14正方形 ，点 D 边的中点，点 腰长为 15如图，在一张长为 7为 5要剪下一个腰长为 4等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 16如图， ， 若 ， ，则 17等腰 C=102 18已知直角三角形的两边的长分别是 3和 4，则第三边长为 19如图，在等腰 C， 上的高 的高 20如图，四边形 B=90 ，连接 21如图，点 C+ ， ， 3，则线段 第 5页（共 40页） 22如图， 0 ， 直平分 足为 O， ， ，则 23如图，在 0 ， C=2，以 ， 的一个动点，连接 24如图，直径为 10 的 （ 0， 6）和点 O（ 0， 0），与 ， B是 25如图，在 0 ， C， B 于点E，交 若 ，则 长为 第 6页（共 40页） 三、解答题（共 5小题） 26如图，在四边形 A= C=45 ， 05 （ 1）若 ，求 （ 2）若 D=2 +2，求 27如图，在 ， （ 1）求 （ 2）在 28在 C=4， 0 ，以 接 画出图形，并直接写出 29如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： 第 7页（共 40页） ； ； （ 1）观察上述等式，猜想：在 C=90 ，都有 （ 2）如图 ，在 C=90 ， A、 B、 a、 b、 c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想 （ 3）已知： A+ B=90 ，且 ，求 30如图， 连接 的切线交于点 D，连接 （ 1）求证： （ 2）若 = ，求 第 8页（共 40页） 第 14 章 勾股定理 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10小题） 1如图，在边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、 线段 ） A 5 B 6 C 7 D 25 【考点】勾股定理 【专题】网格型 【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解 【解答】解：如图所示： =5 故选： A 【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用 2如图，在 C=90 ， ，点 B， ，则 ） A 1 B +1 C 1 D +1 第 9页（共 40页） 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】根据 B， B+ B=据勾股定理求出 长，从而求出 【解答】解： B， B+ B= A= ， 在 = =1； +1 故选 D 【点评】本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角 形外角的性质，二者结合，是一道好题 3如图，矩形纸片 ， 则矩形的一边 ） A 1 B C D 2 【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质 【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接 先利用线段垂直平分线的性质证明 C求出 【解答】解：如图，连接 E， C（线段垂直平分线的性质） 又 点 ， C， 故 ， 第 10页（共 40页） 利用勾股定理可得 D= = 故选： C 【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明 题难度中等 4 C=5， ，点 点 D ， 点 E，则 ） A 5 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【专题】动点型 【分析】过 F ，连结 据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得 长，由图形得 入数值，解答出即可 【解答】解：过 F ，连结 C=5， ， ， =3， 8 3= 5 5 12= 5 （ E） E= 故选： A 第 11页（共 40页） 【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰 三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想 5如图，在 0 ， D 交 ， 知 ， ，则图中长为 4 的线段有（ ） A 4条 B 3条 C 2条 D 1条 【考点】勾股定理；角平分线的性质；含 30度角的直角三角形 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出 C，再利用全等三角形的判定与性质得出 E，进而得出答案 【解答】解： 0 ， D 交 点 D， E=4， C， ， ， C=4 ， 在 ， E=4 ， 图中长为 4 的线段有 3条 故选： B 【点评】此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出 6如图，在四边形 足为点 E，连接 ，点 ， ，则 长为（ ） 第 12页（共 40页） A 2 B C 2 D 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【专题】几何图形问题 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 G，根据等腰三角形的性质可得 据三角形外角的性质可得 根据平行线的性质和等量关系可得 据等腰三角形的性质可得 G，再根据勾股定理即可 求解 【解答】解： 0 ， 又 点 G， G=3， 在 =2 故选： C 【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中 线，解题的关键是证明 G=3 7在边长为正整数的 ， C，且 ： 2的两部分，则 ） A B C D 【考点】勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质 第 13页（共 40页） 【分析】设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，分为的两部分边长分别为 n，再根据题意列出关于 x、 n、 n 表示出 x、 三角形的三边关系舍去不符合条件的 x、 【解答】解：设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，分为的两部分边长分别为 n，得 或 ， 解得 或 ， 2 （此时不能构成三角形，舍去） 取 ，其中 的倍数 三角形的面积 S = = 于 S = 当 n 0时， S 随着 当 n=3时， S = 取最小 故选： C 【点评】本题考查的是三角形的面积及三角形的三边关系，根据题意列出关于 x、 n、 程组是解答此题的关键 8如图， C， D、 C 上， 点若， ，则关于 列何者正确？（ ） A 考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性 第 14页（共 40页） 【分析】利用勾股定理列式求出 为 度，然后求出 根据 据三角形的高线的性质可得 根据等腰三角形三线合一的性质可得 【解答】解： ， ， = =5， C=5， C 3=2， ， ， 角形的三条高相交于同一点）， 又 C， 故选 A 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的高线的定义，锐角三角函数的增减性，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 9如图，在 0 ，点 ，如果 为 1，则它的周长为（ ） A B +1 C +2 D +3 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 第 15页（共 40页） 【专题】计算题 【分析】根据 “ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 ；然后利用勾股定理、三角形的面积求得（ C）的值，则易求该三角形的周长 【解答】解：如图， 在 0 ，点 B 的中点，且 ， 又 ， C=1，则 C=2 （ C） 2=C=9， C=3（舍去负值）， C+ ，即 + 故选： D 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线此题借助于完全平方和公式求得（ C）的长度，减少了繁琐的计算 10如图， 、 B、 的正方形网格的格点上， 则 长为（ ） A B C D 【考点】勾股定理；三角形的面积 第 16页（共 40页） 【专题】计算题 【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得 长度 【解答】解：如图，由勾股定理得 = 2= D，即 2 2= 故选： C 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段 长度是解题的关键 二、填空题（共 15小题） 11如图，在 C=4， O， O 上的一个动点， 0 ，则当 2 或 2 或 2 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】利用分类讨论，当 0 时，如图 2，由对顶角的性质可得 0 ，易得 0 ，易得 长，利用勾股定理可得 0 时，分两种情况讨论，情况一：如图 1，利用直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半得出 O，易得 用锐角三角函数可得 得 用勾股定理可得 况二：如图 3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论 【解答】解：当 0 时（如图 1）， O， 第 17页（共 40页） O， 0 ， 0 ， C=4， B4 =2 ； 当 0 时（如图 2）， 0 ， 0 ， = =2 ， 在直角三角形 =2 ， 情况二：如图 3， O， 0 ， O， 0 ， O=2， 故答案为： 2 或 2 或 2 第 18页（共 40页） 【点评】本题主要考查了勾股定理，含 30 直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键 12在 302 126或 66 【考点】勾股定理 【专题】压轴题 【分析】此题分两种情况： B、 用勾股定理即可求出 用三角形的面积公式得结果 【解答】解：当 图 1）， 在 = =5 在 = =16 1， S = 21 12=126 当 图 2）， 在 = =5 在 = =16 D 6 5=11 S = 11 12=66 故答案为： 126或 66 第 19页（共 40页） 【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键 13如图，四边形 点 ，取 中点 F，连接 设 AB=x， AD=y，则 y 4） 2的值为 16 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质 【专题】压轴题 【分析】根据矩形的性质得到 B=x， D=y，然后利用直角 F=，则在直角 用勾股定理求得 y 4） 2= 【解 答】解： 四边形 矩形， AB=x， AD=y， B=x， D=y， 0 又 ， F= y 在直角 4 y） 2=42=16， y 4） 2= 4 y） 2=16 故答案是： 16 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质根据 “ 直角 求得 长度是解题的突破口 第 20页（共 40页） 14 正方形 ，点 D 边的中点，点 腰长为 2 ，或 ，或 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性质 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】分情况讨论：（ 1）当 点重合，求出 度即可；若B 为顶点，则 （ 2）当 P 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点 E； 由题意得出 ，证明 出比例式 ，即可求出 设 CE=x，则 x，根据勾股定理得出方程求出 由勾股定理求出 【解答】解：分情况讨论： （ 1）当 点重合，如图 1所示： 四边形 C=D=4， A= C= D=90 ， P=2， 根据勾股定理得： = =2 ； 若 根据 E 得， E 为 点，此时腰长 ； （ 2）当 正方形的边交于两点，即为点 E； 当 B 上 时，如图 2所示： 则 ， A=90 ， ，即 ， ； 当 D 上时，如图 3所示： 设 CE=x，则 x， 根据勾股定理得： 第 21页（共 40页） 42+2+（ 4 x） 2， 解得： x= ， ， = = ； 综上所述：腰长为： 2 ，或 ，或 ； 故答案为： 2 ，或 ，或 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键 15如图，在一张长为 7为 5要剪下一个腰长为 4等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 8 第 22页（共 40页） 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （ 1） 接利用面积公式求解即可； （ 2）先利用勾股定理求出 F，再代入面积公式求解； （ 3）先求出 F，再代入面积公式求解 【解答】解：分三种情况计算： （ 1）当 F=4时，如图： S F= 4 4=8（ （ 2）当 F=4时，如图： 则 4=1， = = ， S F= 4 =2 （ （ 3）当 F=4时，如图： 第 23页（共 40页） 则 4=3， = = ， S F= 4 =2 （ 故答案为： 8或 2 或 2 【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度 16如图， ， ， ，则 8 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【专题】计算题 【分析】由 “ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ” 求得 0；然后在直角 用勾股定理来求线段 【解答】解：如图， ， C 的中点， ， ， 0 在直角 0 ， ， 0，则根据勾股定理，得 = =8 故答案是： 8 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 第 24页（共 40页） 17等腰 C=102 8 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】利用等腰三角形的 “ 三线合一 ” 的 性质得到 后在直角 用勾股定理求得高线 长度 【解答】解：如图， C=102 D=6 在直角 勾股定理得到： = =（ 8 故答案是： 8 【点评】本题主要考 查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形 18已知直角三角形的两边的长分别是 3和 4，则第三边长为 5或 【考点】勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论： 3 是直角边， 4是斜边； 3 、 4 均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长 【解答】解： 长为 3的边是直角边，长为 4的边是斜边时： 第三边的长为： = ； 长为 3、 4的边都是直角边时： 第三边的长为： =5； 综上，第三边的长为： 5或 故答案为： 5或 第 25页（共 40页） 【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解 19（如图，在等腰 ， C， D=6 E=8 12 【考点】勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据三角形的面积求得 = ，根据勾股定理求得 6，依据这两个式子求出 可求得周长 【解答】解： E= D， ， ， = ， = ， C， C= 6， = ， 整理得； ， 解得： ， 第 26页（共 40页） = ， 2C=2 + =12 故答案为： 12 【点评】本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出 20如图，四边形 B=90 ，连接 8 【考点】勾股定理；直角梯形 【专题】计算题 【分析】首先过点 E ，易得四边形 可由勾股定理求得 长，易得 可求 得 而求得答案 【解答】解：过点 E ， 在梯形 四边形 E， C=4 0 ， =3（ D=5 E+ 故答案为： 8 第 27页（共 40页） 【点评】此 题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 21如图，点 C+ ， ， 3，则线段 4 【考点】勾股定理；角 平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形 【专题】压轴题 【分析】作 ，作 F，作 根据三角函数设x，则 x，在 据勾股定理得到 ， ，设 EF=y，则 +y，则 y，在 据勾股定理得到 ， ，设 DG=z，则 z，则（ ） 2 ） 2（ z） 2，依此可得 2，在 ，据勾股定理得到 ，在 勾股定理得到 【解答】解：作 C 于 E，作 ，作 G C+ C， ， 设 x，则 x， 在 （ ） 2=（ 4x） 2+（ 7x） 2， 解得 1（不合题意舍去）， ， ， ， 设 EF=y，则 +y，则 y， 第 28页（共 40页） 在 （ 6 y） 2=42+ 解得 y= ， y= ， ， 设 DG=z，则 z，则 （ ） 2 ） 2（ z） 2， 解得 z=1， 2， 在 =8， 在 =4 故答案为： 4 【点评】考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到 22如图， 0 ， 直 平分 足为 O， ， ，则 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 【专题】几何图形问题 【分析】先根据勾股定理求出 长，再根据 C 得出 据相似三角形的判定定理得出 相似三角形的对应边成比例即可得出结论 【解答】解： 0 ， ， ， 第 29页（共 40页） = =5， C，垂足为 O， ， B=90 ， A= C， = ，即 = ，解得 故答案为： 【点评】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 23如图，在 0 ， C=2，以 ， 的一个动点，连接 1 【考点】勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短；等腰直角三角形 【分析】找到 中点 E，连接 半圆于 半圆上取 接 见， 根据勾股定理求出 长，然后减掉半径即可 【解答】解：找到 中点 E，连接 半圆于 半圆上取 接 可见， 即 P 的最小值， = ， ， 1 故答案为： 1 第 30页（共 40页） 【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键 24 如图，直径为 10 的 （ 0， 6）和点 O（ 0， 0），与 ， B是 【考点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义 【分析】连接 得 直径，在直角 出 由圆周角定理，即可求得 【解答】解：连接 0 ， 即 0， 点 C（ 0， 6）， ， =8， = = ， 故答案为： 第 31页（共 40页） 【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用 25如图，在 0 ， C， B 于点E，交 若 ，则 长为 1 【考点】勾股定理；三 角形内角和定理；等腰三角形的性质；含 30度角的直角三角形；平行线分线段成比例 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】过 G 据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 F，在 据三角函数可得 F=2， ，根据平行线分线段成比例可得比例式 F： 得 2 ，再根据平行线分线段成比例可得比例式 F： 此即可得到 1 【解答】解：过 G 在 C， D= ， 5 ， 5 ， F， 180 30 ） 2=75 ， 第 32页（共 40页） 5 15=60 ， 在 F= =2， D ， F： 1=2：（ 2+ ）， 解得 2 ， F： ） =（ 4 2 ）： 2， 解得 1 故答案为： 1 【点评】综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径 三、解答题（共 5小题） 26如图，在四边形 A= C=45 ， 05 （ 1）若 ， 求 （ 2）若 D=2 +2，求 【考点】勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【分析】（ 1）在四边形 ，由 A= C=45 ， 05 ，得 65 105=60 ， 得 用锐角三角函数得 （ 2）设 DE=x，利用（ 1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定 理，表示 结果 第 33页（共 40页） 【解答】解：（ 1）过 E 点 F A= C=45 ， 05 ， 60 A C 60 45 45 105=165 ， 65 105=60 ， ， E= = ， 05 ， 05 45 30=30 ， = = ， ； （ 2）设 DE=x，则 AE=x， = = ， =2x， 0 ， 0 ， =x， = = ， ， E+， F+CF=x ， D=2 +2， +1 第 34页（共 40页） 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有 30 角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线 造直角三角形，求出相应角的度数 27如图，在 ， （ 1）求 （ 2）在 【考点】勾股定理；三角形中位线定理 【分析】（ 1）直接利用勾股定理得出 （ 2）利用平行线分线段成比例定理得出 而求出即可 【解答】解：（ 1） ， ， =3； （ 2）延长 点 E ， ，即 第 35页（共 40页） 【点评】此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出 解题关键 28在 C=4， 0 ，以 等边 接 画出图形，并直接写出 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数