江苏省扬大附中东部分校2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1页（共 34页） 2015）期中数学试卷 一、选择题（本题共 8题，每题 3分，共 24分） 1解方程 x（ x+2） =3（ x+2），最适当的解法是（ ） A直接开平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法 2关于 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B可能有实数根，也可能没有 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 3如图所示，点 A， B， C， D， E， F， G， H， 8方格纸中的 格点，为使 点 、 G、 H、 ） A F B G C H D K 4如图， 20 ，则 D=（ ） A 60 B 45 C 30 D 20 5某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185元降到了 580元，设平均每次降价的百分率为 x，列出方程正确的是（ ） A 580（ 1+x） 2=1185 B 1185（ 1+x） 2=580 C 580（ 1 x） 2=1185 D 1185（ 1 x） 2=580 6如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A 10 B 15 C 20 D 30 第 2页（共 34页） 7在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5的三角形按图 1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与 原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 8如图， 0 曲线 叫做 “ 等腰直角三角形的渐开线 ” ，其中弧 的圆心依次按 A、 B、 果 ，那么曲线 长度为（ ） A B C D 二、填空题 （本题共 10题，每题 3分，共 30分） 9已知 3x=4y，则 = 10若 9=0，则 x= 11如图，在 = ， ，则 12如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、 B、 C 都在横格线上若线段 线段 第 3页（共 34页） 13如图，在菱形 接 D 于点 F，若 = 14如图，在 ，将 顺时针旋转 60 后得到 图中阴影部分的面积是 15如图，四边形 ，若 30 ，则 16如图， B 与弦 延长线交于点 E，若 B， 4 ，则 E= 第 4页（共 34页） 17若 x=1是关于 px+q=0的一根，则代数式 2q 的值是 18如图，在圆的正中央摆放着一个正方形 正方形的顶点 角线 ， ，则 三、解答题（本题共 10题，共 96 分） 19解方程： （ 1）（ x 3）（ x+1） =x 3 （ 2） 2x 99=0 20已知关于 0x+24 a=0 （ 1）若此方程有两个不相等的实数根，求 （ 2）在（ 1）的条件下，当 此时方程的解 21已知： 个顶点的坐标分别为 A（ 0， 3）、 B（ 3， 4）、 C（ 2， 2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （ 1）画出 个单位长度得到的 ； （ 2）以点 网格内画出 位似比为 2： 1，点 ； （ 3） 平方单位 22小明在一幅长为 80为 50成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400金色纸边的宽度 第 5页（共 34页） 23如图，四边形 0 ， B 中点 （ 1）求证： B （ 2）若 ， ，求 的值 24如图， 、 F （ 1）若 E= 证： （ 2）若 E= F=42 时，求 （ 3）若 E= ， F= ，且 请你用含有 、 的代数式表示 25如图，有一路灯杆 部 在灯光下，小明在点 F=3m，沿 处再测得自己得影长 m，如果小明的身高为 路灯杆 26如图，以 为圆心的圆，经过 A， 与 ， 接 ，若 C （ 1）求证： （ 2）若 7， 3，求 r 第 6页（共 34页） 27如图，在平面直角坐标系中，点 8， 0），点 6， 0）点 开始沿 以 1cm/ 开始沿 以相同的速度移动，若 P、 动时间为 t（ s）（ 0 t 6） （ 1）当 （ 2）是否存在这样 得线段 ： 5的两部分若存在，求出 不存在，请说明理由 （ 3）当 t=2时，试判断此时 B 的位置关系，并说明理由 28问题情境：如图 1， 线 、 B，则 点 （ 1）探究： 如图 2，在 （不为点 A、 连接 证明： （ 2）直接运用：如图 3，在 0 ， C=2，以 ， 的一个动点，连接 最小值是 （ 3）构造运用：如图 4，在边长为 2的菱形 A=60 ， B 边上一动点，将 N 所在的直线翻折得到 A连接 AC ，请求出 AB 长度的 最小值 第 7页（共 34页） 解：由折叠知 AM=又 得 A=故点 A 在以 直径的圆上（请继续完成解题过程） （ 4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成） 如图 5， E， D 上两个动点，满足 F连接 ，连接 若正方形的边长为 2，则线段 如图 6，平面直角坐标系中，分别以点 A（ 2， 3）， B（ 3， 4）为圆心，以 1、 2为半径作 A、 B， M、 A、 B 上的动点， P为 值等于 第 8页（共 34页） 2015年江苏省扬大附中东部分校九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8题，每题 3分，共 24分） 1解方程 x（ x+2） =3（ x+2），最适当的解法是（ ） A直接开平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】先把方程变形为 x（ x+2） 3（ x+2） =0，则利用因式分解法容易把原方程化为两个一次方程 x+2=0或 x 3=0 【解答】解： x（ x+2） 3（ x+2） =0， （ x+2）（ x 3） =0， 所以 x+2=0或 x 3=0 故选 B 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 2关于 根的情况是（ ） A 有两个相等的实数根 B可能有实数根，也可能没有 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =4 【解答】解： =4 ） 2 4 1 =4+8=0， 方程有两个相等的实数根 第 9页（共 34页） 故选： A 【点评】此题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 3如图所示，点 A， B， C， D， E， F， G， H， 8方格纸中的格点，为使 点 、 G、 H、 ） A F B G C H D K 【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型 【分析】由图形可知 边 ， ，当 似比是 1： 2，则 ，则点 【解答】解：根据题意， ， ， ， M： ， ， 故选 C 【点评】本题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的各种性质 4如图， 20 ，则 D=（ ） 第 10页（共 34页） A 60 B 45 C 30 D 20 【考点】圆周角定理 【分析】根据邻补角的性质求得 数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得 【解答】解： 20 80 0 0 【点评】此题考查了圆周角定理注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 5某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185元降到了 580元，设平均每次降价的百分率为 x，列出方程正确的是（ ） A 580（ 1+x） 2=1185 B 1185（ 1+x） 2=580 C 580（ 1 x） 2=1185 D 1185（ 1 x） 2=580 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】根据降价后的价格 =原价（ 1降低的百分率），本题可先用 根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 由题意得出方程为： 1185（ 1 x） 2=580 故选： D 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式 a（ 1+x） 2=c，其中 6如图，是 某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A 10 B 15 C 20 D 30 【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体 第 11页（共 34页） 【分析】根据三视图可以判定此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可以知圆锥的底面半径为 3，圆锥的母线长为 5，代入公式求得即可 【解答】解：由三视图可知此几何体为圆锥， 圆锥的底面半径为 3，母线长为 5， 圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， 圆锥的底面周长 =圆锥的侧面展开扇形的弧长 =2r=2 3=6 ， 圆锥的侧面积 = = 6 5=15 ， 故选 B 【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积 7在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5的三角形按图 1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似 乙：将邻边为 3和 5的矩形按图 2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对 应边间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A甲对，乙不对 B甲不对，乙对 C两人都对 D两人都不对 【考点】相似三角形的应用 【分析】甲：根据题意得： AB ， AC ， BC ，即可证得 A= A ， B= B ，可得 ABC ； 乙：根据题意得： D=3， C=5，则 AB=CD=3 +2=5， AD=BC=5 +2=7，则可得 ，即新矩形与原矩形不相似 【解答】解：甲：根据题意得： AB ， AC ， BC ， A= A ， B= B ， 第 12页（共 34页） ABC ， 甲说法正确； 乙： 根据题意得： D=3， C=5，则 AB=CD=3 +2=5， AD=BC=5 +2=7， = = ， = = ， ， 新矩形与原矩形不相似 乙说法正确 故选： A 【点评】此题考查了相似三角形以及相似多 边形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 8如图， 0 曲线 叫做 “ 等腰直角三角形的渐开线 ” ，其中弧 的圆心依次按 A、 B、 果 ，那么曲线 长度为（ ） A B C D 【考点】弧长的计算 【分析】弧 1， +1， +2，圆心角分别为 135 ， 135 ，90 ，分别代入扇形弧长公式相加即可 【解答】解：曲线 第 13页（共 34页） + + = 故选： D 【点评】本题考查了弧长的计算公式，理解弧 圆心角以及得出扇形的半径长是解题的关键 二、填空题 （本题共 10题，每题 3分，共 30分） 9已知 3x=4y，则 = 【考点】等式的性质 【专题】计算题 【分析】根据等式的性质 2 可得出答案 【解答】解：根据等式性质 2，等式 3x=4y， 得： = 故答案为： 【点评】本题考查的是等式的性质： 等式性质 1，等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等； 等式性质 2，等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为 0）结果仍相等； 10若 9=0，则 x= 3 【考点】解一元二次方程 【分析】直接利用开平方法解方 程得出答案 【解答】解： 9=0， ， x= 3 故答案为： 3 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方运算是解题关键 11如图，在 = ， ，则 18 第 14页（共 34页） 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定，可得 据相似三角形的性质，可得答案 【解答】解； 在 = ， =（ ） 2= ， ， S 8， 故答案为： 18 【点 评】本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质 12如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、 B、 C 都在横格线上若线段 线段 24 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出 可求出 【解答】解：如图所示：过点 点分别为 D， E，可得： 则 = ， 第 15页（共 34页） 即 = ， 解得： 4， 故答案为： 24 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出 13如图，在菱形 接 D 于点 F，若 = 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质 【分析】根据菱形性质得出 C， 出 = = ，证 出比例式，即可得出答案 【解答】解： 四边形 C， = = ， = = ， 故答案为： 第 16页（共 34页） 【点评】本题考查了相似三角形的性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的对边相等且平行，相似三角形的对应边的比相等，题目是一道中等题，难度适中 14如图，在 ，将 顺时针旋转 60 后得到 图中阴影部分的面积是 6 【考点】扇形面积的计算 【分析】图中阴影部分的面积 =扇形 三角形 角形 面积又由旋转的性质知 以三角 形 三角形 【解答】解： 根据旋转的性质知 0 ， S S S 阴影 =S 扇形 S 扇形 =6 故答案是： 6 【点评】本题考查了扇形面积的计算解题的难点是找出图中阴影部分的面积 =扇形 三角形 角形 面积 15如图，四边形 ，若 30 ，则 65 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】由圆周角定理，可求得 由圆的内接四边形的性质，可得 A 【解答】解： 30 ， 第 17页（共 34页） A= 5 ， A+ 80 ， 80 ， A=65 故答案为： 65 【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 16 如图， B 与弦 延长线交于点 E，若 B， 4 ，则 E= （ ） 【考点】圆的认识 【分析】利用半径相等得到 E，则 E= 据三角形外角性质得 1= E，所以 1=2 E，同理得到 C+ E=3 E，然后利用 E= 【解答】解：连结 图， E， D， E， E= 1= E， 1=2 E， D， C= 1， C=2 E， C+ E=3 E， E= 74= （ ） 故答案是：（ ） 第 18页（共 34页） 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了等腰三角形的性质 17若 x=1是关于 px+q=0的一根，则代数式 2q 的值是 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=1代入已知方程可以求得 p q=1，然后将其代入整理后的代数式进行求值即可 【解答】解： x=1是关于 px+q=0的一根， 1 p+q=0， p q=1， 2q=（ p+q）（ p q） 2q=p+q 2q=p q=1 故答案是： 1 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是求出 p q=1 18如图，在圆的正中央摆放着一个正方形 正方形的顶点 角线 ， ，则 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【分析】连接 ，由题意点 O 为圆心，由 ，由此即可解决问题 【解答】解：如图连接 ，由题意点 0 ， 第 19页（共 34页） 四边形 0 ， 在 ， ， =2 ， ， ， ， 故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，转化为方程解决问题，属于中考常考题型 三、解答题（本题共 10题，共 96 分） 19解方程： （ 1）（ x 3）（ x+1） =x 3 （ 2） 2x 99=0 【考点】解一元二次方程 【专题】计算题 【分析】（ 1）先移项得到（ x 3）（ x+1）（ x 3） =0，然后利用因式分解法解方程； （ 2）利用因式分解法解方程 【解答】解：（ 1）（ x 3）（ x+1）（ x 3） =0， （ x 3）（ x+1 1） =0， x 3=0或 x+1 1=0， 第 20页（共 34页） 所以 ， ； （ 2）（ x 11）（ x+9） =0， x 11=0或 x+9=0， 所以 1， 9 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先 把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 20已知关于 0x+24 a=0 （ 1）若此方程有两个不相等的实数根，求 （ 2）在（ 1）的条件下，当 此时方程的解 【考点】根的判别式；解一元二次方程 【分析】（ 1）先根据方程有两个不相等的实数根可知 0，求出 （ 2）根据（ 1）中 入原方程求出 【解答】解：（ 1） 关于 0x+24 a=0 有两个不相等的实数根， =400 4（ 24 a） 0，解得 a 1； （ 2） a 1， a=0， 此时方程为 0x+24=0 解得： 4， 6 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 bx+c=0（ a 0）中，当 0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键 21已知： 个顶点的坐标分别为 A（ 0， 3）、 B（ 3， 4）、 C（ 2， 2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （ 1）画出 个单位长度得到的 （ 2， 2） ； （ 2）以点 网格内画出 位似比为 2： 1，点 （ 1， 0） ； 第 21页（共 34页） （ 3） 10 平方单位 【考点】作图 图 变换 【专题】作图题 【分析】（ 1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （ 2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （ 3）利用等腰直角三角形的性质得出 【解答】解：（ 1）如图所示： 2， 2）； 故答案为：（ 2， 2）； （ 2）如图所示： 1， 0）； 故答案为：（ 1， 0）； （ 3） 0， 20， 40， 20=10平方单位 故答案为： 10 第 22页（共 34页） 【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键 22小明在一幅长为 80为 50成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400金色纸边的宽度 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设金色纸边的宽度为 挂图的长为（ 80+2x） 就为（ 50+2x） 据题目条件列出方程，求出其解就可以 【解答】解：设金色纸边的宽度为 挂图的长为（ 80+2x） 就为（ 50+2x） 根据题意得：（ 80+2x）（ 50+2x） =5400， 解得： 70（不符合题意，舍去）， 答：金色纸边的宽度为 5 【点评】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题 的运用及一元二次方程解法的运用解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方 23如图，四边形 0 ， B 中点 （ 1）求证： B （ 2）若 ， ，求 的值 第 23页（共 34页） 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（ 1）由 分 0 ，可证得 后由相似三角形的对应边成比例 ，证得 B （ 2）易证得 后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值 【解答】（ 1）证明： 分 0 ， C： B （ 2）解： 0 ， B 中点， E， F： 6=3， ， ， = 第 24页（共 34页） 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 24如图， 、 F （ 1）若 E= 证： （ 2）若 E= F=42 时，求 （ 3）若 E= ， F= ，且 请你用含有 、 的代数式表示 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】（ 1）根据外角的性质即可得到结论； （ 2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果； （ 3）连结 图，根据圆内接四边形的性质得 A，再根据三角形外角性质得 1+ 2，则 A= 1+ 2，然后根据三角形内角和定理有 A+ 1+ 2+ E+ F=180 ，即 2A+ +=180 ，再解方程即可 【解答】解：（ 1） E= F， E+ F+ （ 2）由（ 1）知 0 ， A=90 42=48 ； （ 3）连结 图， 第 25页（共 34页） 四边形 ， A， 1+ 2， A= 1+ 2， A+ 1+ 2+ E+ F=180 ， 2 A+ +=180 ， A=90 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补 25如图，有一路灯杆 部 在灯光下，小明在点 F=3m，沿 处再测得自己得影长 m，如果小明的身高为 路灯杆 【考点】相似三角形的应用 【专题】应用题；压轴题 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答 【解答】解： 可以得到 ， ， 又 F， 第 26页（共 34页） ， ， ， D+D+3， D+G=， ， ， +3=12， ， 解得， 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果 26如图，以 为圆心的圆，经过 A， 与 ， 接 ，若 C （ 1）求证： （ 2）若 7， 3，求 r 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】（ 1）连接 图，根据垂径定理得 D+ 0 ，再由 F， D，加上 以 0 ，则 后根据切线的判定定理即可得到 （ 2）先表示出 OD=r， 7 r，再在 17 r） 2=132，然后解方程即可得到 【解答】（ 1）证明：连接 图， E 的中点， 0 ， 第 27页（共 34页） D+ 0 ， F， D， D， 而 0 ，即 0 ， （ 2）解： OD=r， 7 r， 在 17 r） 2=132， 解得 r=5（舍去）， r=12； 即 2 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了垂径定理 27如图，在平面直角坐标系中，点 8， 0），点 6， 0）点 开始沿 以 1cm/ 开始沿 以相同的速度移动，若 P、 动时间为 t（ s）（ 0 t 6） （ 1）当 （ 2）是否存在这样 得线段 ： 5的两部分若存在，求出 不存在，请说明理由 （ 3）当 t=2时，试判断此时 B 的位置关系，并说明理由 第 28页（共 34页） 【考点】圆的综合题 【分析】（ 1）根据平行得到相似三角形，然后根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得 （ 2） 假设存在分当 面积是 和当 面积的 时两种情况求得 （ 3）设 ，过点 M，作 H，利用面积法求得 长后与圆的半径比较即可得到位置关系 【解答】解：（ 1） ， 即 = ， t= ； （ 2）假设存在 当 ， t（ 6 t） = 6 8 ， 解之， t=2或 t=4； 当 ， t（ 6 t） = 6 8 ， 即 6t+40=0， 方程无解，此种情况不存在； 综上可知，当 t=2或 t=4时，线段 ： 5的两部分 （ 3）当 t=2时，点 P（ 2， 0）， Q（ 0， 4） 设 ，则点 1， 2）， ， 第 29页（共 34页） 过点 M，作 ，连结 用面积法， 6 1+ 8 2+ 10 6 8， 解之， ， B 相离 【点评】本题考查了圆的综合知识及相似三角形的知识，解题的关键是能够将圆与相似三角形结合起来，（ 2）题能够分类讨论是本题的难点，应加强训练 28问题情境：如图 1， 线 、 B，则 点 （ 1）探究： 如图 2，在 （不为点 A、 连接 证明： （ 2）直接运用：如图 3，在 0 ， C=2，以 ， 的一个动点，连接 最小值是 1 （ 3）构造运用：如图 4，在边长为 2的菱形 A=60 ， B 边上一动点，将 N 所在的直线翻折得到 A连接 AC ，请求出 AB 长度的最小值 解：由折叠知 AM=又 得 A=故点 A 在以 直径的圆上（请继续完成解题过程）