山西省八校2017届高三上第一次适应性联考数学试卷含解析

第 1 页（共 23 页） 2016年山西省八校高三（上）第一次适应性联考数学试卷 一、选择题：本题共 16 小题，每题 5 分；共 60 分在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项 1（文）已知集合 A=0， 2017， 2018， 2019， 2015，集合 B=4n 1， n Z，则集合 AB=（ ） A 2019， 2017 B 2015 C 0， 2017， 2018 D 2017， 2019， 2015 2设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x）满足：（ i） T=f（ x） |x S；（ 任意 S，当 ，恒有 f（ f（ 那么称这两个集合 “保序同构 ”，以下集合对不是 “保序同构 ”的是（ ） A A=N*， B=N B A=x| 1 x 3， B=x|x= 8 或 0 x 10 C A=x|0 x 1， B=R D A=Z， B=Q 3已知定义在 R 上的奇函数 f （ x）满足 f（ x） =f（ 4 x），且在区间 0， 2上是增函数，那么（ ） A f（ 6） f（ 4） f（ 1） B f（ 4） f（ 6） f（ 1） C f（ 1） f（ 6） f（ 4）D f（ 6） f（ 1） f（ 4） 4函数 f（ x） =x+2 的零点所在区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某人持有资金 120 万元，他可以在 任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）如果他在 刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ） A 40 万元 B 60 万元 C 120 万元 D 140 万元 6已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m ， m n，则 n B若 m ， m n，则 n C若 m ， n，则 m n D若 m n， n，则 m 7张老师给学生出了一道题， “试写一个程序框图，计算 S=1+ + + + ”发现同学们有如下几种做法，其中有 一个是错误的，这个错误的做法是（ ） 第 2 页（共 23 页） A BC D 8 2016 年山西八校联考成绩出来之后，李老师拿出甲、乙两个同学的 6 次联考的数学成绩，如表所示计甲、乙的平均成绩分别为 ， ，下列判断正确的是（ ） 姓名 /成绩 1 2 3 4 5 6 甲 125 110 86 83 132 92 乙 108 116 89 123 126 113 A ，甲比乙成绩稳定 B ，乙比甲成绩稳定 C ，甲比乙成绩稳定 D ，乙比甲成绩稳定 9若动直线 x=a 与函数 f（ x） = g（ x） =图象分别交于 M， N 两点，则 |最大值为（ ） A 1 B C D 2 10已知数列 等差数列， 等 比数列，且满足： ， b6，则（ ） A 1 B 1 C D 11若 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x 3|+2y 的最小值为（ ） 第 3 页（共 23 页） A 4 B C 6 D 7 12若 x 0， +），则下列不等式恒成立的是（ ） A 1+x+ C D 13椭圆 的左右焦点分别为 内切圆周长为 ，A， B 两点的坐标分别为（ （ 则 |为（ ） A B C D 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 15若 f（ x） =2 1） + f（ 0）等于（ ） A 2 B 0 C 2 D 4 16若 f（ x）是定义在 R 上的可导函数，且满足（ x 1） f（ x） 0，则必有（ ） A f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） B f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） C f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1）D f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 二、填空题： 4 小题，每题 5 分，共 20 分 17（文）已知指数函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， 4），若 f（ m） =16，则 m= 18计算： 2 19已知平面向量 =（ 1， ）， =（ 3， ），则向量 与向量 + 的夹角为 20命题 “ x R， 2 0”是真命题，实数 a 的取值范围是 21已知定义在 R 上的 偶函数满足： f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且当 x 0， 2时， y=f（ x）单调递减，给出以下四个命题： f（ 2） =0； x= 4 为函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 8， 10单调递增； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的两根为 x1+ 8 上述命题中所有正确命题的序号为 三、综合题： 70 分 22在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边已知 a=1， b=2， ； （ 1）求边 c 的值； （ 2）求 C A）的值 第 4 页（共 23 页） 23在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c角 A， B， C 成等差数列 （ ）求 值； （ ）边 a， b， c 成等比数列，求 值 24甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示 （ ）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更保险，请说明理由； （ ）用简单随机抽样方法从甲的这 5 次测试成绩中抽取 2 次，它们的得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 2 的概率 25如图三棱柱 ，每个侧面都是正方形， D 为底边 点， E 为侧棱 于点 O （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 26已知椭圆的一个顶点为 A（ 0， 1），焦点在 x 轴上若右焦点到直线 x y+2 =0 的距离为 3 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设椭圆与直 线 y=kx+m（ k 0）相交于不同的两点 M、 N当 |，求 m 的取值范围 27设函数 f（ x） = 2x， a R （ ）当 a=1 时，试求函数 f（ x）在区间 1， e上的最大值； （ ）当 a 0 时，试求函数 f（ x）的单调区间 选修 4何证明选讲 28如图， 圆 O 相切于点 A， D 是 中点，过点 D 引圆 O 的割线，与圆 O 相交于点 B， C，连结 求证： 第 5 页（共 23 页） 选修 4标系与参数方程 29已知圆锥曲线 C： （ 为参数）和定点 A（ 0， ）， 此圆锥曲线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 直角坐标方程； （ 2）经过点 与直线 直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、 N 两点，求 | |的值 选修 4等式选讲 30已知函数 f（ x） =|x+a| （ ）当 a= 1 时，求不等式 f（ x） |x+1|+1 的解集； （ ）若不等式 f（ x） +f（ x） 2 存在实数解，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2016年山西省八校高三（上）第一次适应性联考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 16 小题，每题 5 分；共 60 分在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项 1（文）已知集合 A=0， 2017， 2018， 2019， 2015，集合 B=4n 1， n Z，则集合 AB=（ ） A 2019， 2017 B 2015 C 0， 2017， 2018 D 2017， 2019， 2015 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=0， 2017， 2018， 2019， 2015，集合 B=4n 1， n Z， AB=2017， 2019， 2015， 故选： D 2设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f（ x）满足：（ i） T=f（ x） |x S；（ 任意 S，当 ，恒有 f（ f（ 那么称这两个集合 “保序同构 ”，以下集合对不是 “保序同构 ”的是（ ） A A=N*， B=N B A=x| 1 x 3， B=x|x= 8 或 0 x 10 C A=x|0 x 1， B=R D A=Z， B=Q 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 利用题目给出的 “保序同构 ”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即 B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数排除掉是 “保序同构 ”的，即可得到要选择的答案 【解答】 解：对于 A=N*， B=N，存在函数 f（ x） =x 1， x N*，满足：（ i） B=f（ x） |x A；（ 任意 A，当 ，恒有 f（ f（ 所以选项 A 是 “保序同构 ”； 对于 A=x| 1 x 3， B=x|x= 8 或 0 x 10，存在函数，满足： （ i） B=f（ x） |x A；（ 任意 A，当 ，恒有 f（ f（ 所以选项 B 是 “保序同构 ”； 对于 A=x|0 x 1， B=R，存在函数 f（ x） =），满足：（ i） B=f（ x） |x A； （ 任意 A，当 ，恒有 f（ f（ 所以选项 C 是 “保序同构 ”； 第 7 页（共 23 页） 前三个选项中的集合对是 “保序同构 ”，由排除法可知，不是 “保序同构 ”的只有 D 故选 D 3已知定义在 R 上的奇函数 f （ x）满足 f（ x） =f（ 4 x），且在区间 0， 2上是增函数，那么（ ） A f（ 6） f（ 4） f（ 1） B f（ 4） f（ 6） f（ 1） C f（ 1） f（ 6） f（ 4）D f（ 6） f（ 1） f（ 4） 【考 点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 4 x）， 函数 f（ x）关于 x=2 对称， 则 奇函数 f （ x）在区间 0， 2上是增函数， 函数 f（ x）在区间 2， 2上是增函数， 则函数 f（ x）在在区间 2， 6上是减函数， 则 f（ 1） =f（ 3）， f（ 6） f（ 4） f（ 3）， f（ 6） f（ 4） f（ 1）， 故选： A 4函数 f（ x） =x+2 的零点所在区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意，函数 f（ x） =x+2 在定义域上单调递增，再求端点函数值即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x+2 在定义域上单调递增， f（ 1） =1 2 0， f（ 2） =2+2 0， 故函数 f（ x） =x+2 的零点所在区间是（ 1， 2）； 故选 B 5甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某人持有资金 120 万元，他可以在 任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）如果他在 刻卖 出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ） A 40 万元 B 60 万元 C 120 万元 D 140 万元 【考点】 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 第 8 页（共 23 页） 【分析】 根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润 【解答】 解：甲在 6 元时，全部买入，可以买 120 6=20（万）份，在 刻，全部卖出，此时获利 20 2=40 万， 乙在 4 元时，买入，可以买 4=40（万）份，在 刻，全部卖出，此时获利 40 2=80 万， 共获利 40+80=120 万， 故选： C 6已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m ， m n，则 n B若 m ， m n，则 n C若 m ， n，则 m n D若 m n， n，则 m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中， n 或 n；在 B 中，由线面垂直的判定定理得 n ；在 C 中， m 与n 平行或异面；在 D 中， m 与 相交、平行或 m 【解答】 解：由 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，知： 在 A 中：若 m ， m n，则 n 或 n，故 A 正确； 在 B 中：若 m ， m n，则由线面垂直的判定定理得 n ，故 B 正确； 在 C 中：若 m ， n，则 m 与 n 平行或异面，故 C 错误； 在 D 中：若 m n， n，则 m 与 相交、平行或 m，故 D 错误 故选： B 7张老师给学生出了一道题， “试写一个程序框图，计算 S=1+ + + + ”发现同 学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ） 第 9 页（共 23 页） A BC D 【考点】 程序框图 【分析】 要分析流程图的正误，可逐个的模拟运行，并写出程序的运行结果，然后和题目要求进行比较，如果一致，则说明流程图编写正确，如果不一致，说明错误 【解答】 解：对答案中列示的流程 图逐个进行分析， 根据分析程序框图结果知： A， B， D 的功能均为累加计算 S=1+ + + + ，故 A、 B、 D 均正确； C 的功能为累加计算 S=1+ + + ，与题目要求不一致， 故 C 答案对应的流程图不正确 故选 C 8 2016 年山西八校联考成绩出来之后，李老师拿出甲、乙两个同学的 6 次联考的数学成绩，如表所示计甲、乙的平均成绩分别为 ， ，下列判断正确的是（ ） 姓名 /成绩 1 2 3 4 5 6 甲 125 110 86 83 132 92 乙 108 116 89 123 126 113 A ，甲比乙成绩稳定 B ，乙比甲成绩稳定 C ，甲比乙成绩稳定 D ，乙比甲成绩稳定 第 10 页（共 23 页） 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 分别计算出平均成绩 ， ，根据数据估计出乙比甲成绩稳定，从而求出答案 【解答】 解： = = = ， 结合数据得：乙比甲成绩稳定， 故选： D 9若动直线 x=a 与函数 f（ x） = g（ x） =图象分别交于 M， N 两点，则 |最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 正弦函数的图象；余弦函数的图象 【分析】 可令 F（ x） =|其最大值即可 【 解答】 解：由题意知： f（ x） =g（ x） = F（ x） =| |x ） | 当 x = +x= +当 a= +，函数 F（ x）取 到最大值 故选 B 10已知数列 等差数列， 等比数列，且满足： ， b6，则（ ） A 1 B 1 C D 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 利用等差数列的性质求出 a1+比数列的性质求出所求表 达式的分母，然后求解即可 【解答】 解：数列 等差数列， 等比数列，且满足： ， b6， 所以 a1+， b7b8=b6， 所以 故选： D 11若 x， y 满足不等式组 ， 则 z=|x 3|+2y 的最小值为（ ） 第 11 页（共 23 页） A 4 B C 6 D 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出其平面区域，化简 z=|x 3|+2y= ，从而分别求最小值，从而解得 【解答】 解：由题意作出其平面区域如右图， 易知 A（ 0， 2）， B（ 5， 3）， C（ 3， 5）， D（ 3， ）； z=|x 3|+2y= ， 当 x 3 时， z=x+2y 3 在点 D 处取得最小值为 ， 当 x 3 时， z= x+2y+3 ， 故 z=|x 3|+2y 的最小值为 ， 故选 B 12若 x 0， +），则下列不等式恒成立的是（ ） A 1+x+ C D 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 对于 A，取 x=3， 1+3+32，； 对于 B，令 x=1， ，计算可得结论； 第 12 页（共 23 页） 对于 C，构造函数 ， h（ x） = x， h（ x） = 0，从而可得函数 在 0， +）上单调增，故成立； 对于 D，取 x=3， 【解答】 解：对于 A，取 x=3， 1+3+32，所以不等式不恒成立； 对于 B， x=1 时，左边 = ，右边 =等式成立； x= 时，左边 = ，右边 = ，左边大于 右边，所以 x 0， +），不等式不恒成立； 对于 C，构造函数 ， h（ x） = x， h（ x） = 0， h（ x）在 0， +）上单调增 h（ x） h（ 0） =0， 函数 在 0， +）上单调增， h（ x） 0， ； 对于 D，取 x=3， ，所以不等式不恒成立； 故选 C 13椭圆 的左右焦点分别为 内切圆周长为 ，A， B 两点的坐标分别为（ （ 则 |为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析 】 先根据椭圆方程求得 a 和 c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆周长求得内切圆半径，进而根据 面积 = 面积 + 面积求得 面积=3|而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得 |值 【解答】 解：椭圆： ， a=5， b=4， c=3， 左、右焦点 3， 0）、 3， 0）， 内切圆周长为 ，则内切圆的半径为 r= ， 而 面积 = 面积 + 面积 = | | | （ | |3| A、 B 在 x 轴的上下两侧） 又 面积 = |r（ | = （ 2a+2a） =a=5 所以 3|5， 第 13 页（共 23 页） | 故选 A 14已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的简单性 质 【分析】 由题意因为圆 C： x2+6x+5=0 把它变成圆的标准方程知其圆心为（ 3， 0），利用双曲线的右焦点为圆 C 的圆心及双曲线的标准方程建立 a， b 的方程再利用双曲线的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切，建立另一个 a， b 的方程，解出它们，即可得到所求方程 【解答】 解：因为圆 C： x2+6x+5=0（ x 3） 2+， 由此知道圆心 C（ 3， 0），圆的半径为 2， 又因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心， 而双曲线 =1（ a 0， b 0）， a2+ 又双曲线的两条渐近线均和圆 C： x2+6x+5=0 相切， 而双曲线的渐近线方程为： y= x =2 联立 ，解得： 双曲线的方程： =1 故选 B 15若 f（ x） =2 1） + f（ 0）等于（ ） A 2 B 0 C 2 D 4 【考点】 导数的运算 【分析】 利用导数的运算法则求出 f（ x），令 x=1 得到关于 f（ 1）的方程，解方程求出 f（ 1），求出 f（ x）；令 x=0 求出 f（ 0） 【解答】 解： f（ x） =2f（ 1） +2x f（ 1） =2f（ 1） +2 f（ 1） = 2 f（ x） = 4+2x 第 14 页（共 23 页） f（ 0） = 4 故选 D 16若 f（ x）是定义在 R 上的可导函数，且满足（ x 1） f（ x） 0，则必有（ ） A f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） B f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） C f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1）D f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 对 x 分段讨论，解不等式求出 f（ x）的符号，判断出 f（ x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值 f（ 0）， f（ 2）与 f（ 1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项 【解答】 解： （ x 1） f（ x） 0 x 1 时， f（ x） 0； x 1 时， f（ x） 0 f（ x）在（ 1， +）为增函数；在（ ， 1）上为减函数 f（ 2） f（ 1） f（ 0） f（ 1） f（ 0） +f（ 2） 2f（ 1） 故选 D 二、填空题： 4 小题，每题 5 分，共 20 分 17（文）已知指数函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， 4），若 f（ m） =16，则 m= 4 【考点】 指数函数的图象与性质 【分析】 设出函数 f（ x）的解析式，代入点的坐标求得 a 值，再由 f（ m） =16 求得 m 值 【解答】 解：设 f（ x） =a 0 且 a 1）， 函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， 4）， ，得 a=2， f（ x） =2x， 由 f（ m） =2m=16，得 m=4 故答案为： 4 18 计算： 2 【考点】 对数的运算性质 【分析】 利用对数的运算法则，直接代入运算，可得答案 【解答】 解： 2 19已知平面向量 =（ 1， ）， =（ 3， ），则向量 与向量 + 的夹角为 60 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知向量的坐标求得 的坐标，然后代入数量积求夹角公式得答案 【解答】 解： =（ 1， ）， =（ 3， ）， ，则 ， =4， ， 向量 与向量 + 的夹角为 60 故答案为： 60 第 15 页（共 23 页） 20命题 “ x R， 2 0”是真命题，实数 a 的取值范围是 a 【考点】 全称命题 【分析】 根据全称命题的性质即可得到结论 【解答】 解：命题 “ x R， 2 0”是真命题， 则判别式 =44 3 0， 故 3， 即 a ， 故答案为： a 21已知定义在 R 上的偶函数满足： f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），且当 x 0， 2时， y=f（ x）单调递减，给出以下四个命题： f（ 2） =0； x= 4 为函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 8， 10单调 递增； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的两根为 x1+ 8 上述命题中所有正确命题的序号为 【考点】 命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质 【分析】 根据 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，及在 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），中令 x= 2 可得 f（ 2） =f（ 2） =0，从而有 f（ x+4） =f（ x），故得函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数，再结合 y=f（ x）单调递减、奇偶性画出函数 f（ x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论 【解答】 解： f（ x） 是定义在 R 上的偶函数， f（ x） =f（ x）， 可得 f（ 2） =f（ 2）， 在 f（ x+4） =f（ x） +f（ 2），中令 x= 2 得 f（ 2） =f（ 2） +f（ 2）， f（ 2） =f（ 2） =0， f（ x+4） =f（ x）， 函数 f（ x）是周期为 4 的周期函数，又当 x 0， 2时， y=f（ x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数 f（ x）的简图，如图所示 从图中可以得出： x= 4 为函数 y=f（ x）图象的一条对称轴； 函数 y=f（ x）在 8， 10单调递减； 若方程 f（ x） =m 在 6， 2上的两根为 x1+ 8 故答案为： 第 16 页（共 23 页） 三、综合题： 70 分 22在 ， a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边已知 a=1， b=2， ； （ 1）求边 c 的值； （ 2）求 C A）的值 【考点】 解三角形 【分析】 （ 1）由 a， b 及 值，利用余弦定理列出关于 c 的方程，开方即可求出 c 的值； （ 2）由 值大于 0，得到 C 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系 求出 值，再由 a， c 及 值，利用正弦定理求出 值，由三角形的大边对大角，得到 A 也为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出 值，最后利用两角和与差的正弦函数公式化简 C A），把各种的值代入即可求出值 【解答】 解：（ 1） ， 根据余弦定理得： c2=a2+2ab+4 3=2， 则 c= ； （ 2）由 0，得到 C 为锐角， = ， 根据正弦定理 = 得： = ， 又 a b，得到 A 为锐角， = ， 则 C A） = = 23在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c角 A， B， C 成等差数列 （ ）求 值； （ ）边 a， b， c 成等比数列，求 值 【考点】 数列与三角函数的综合 【分析】 （ ）在 ，由角 A， B， C 成等差数列可知 B=60，从而可得 值； （ ）（解法一），由 b2=，结合正弦定理可求得 值； （解法二），由 b2=，根据余弦定理 可求得 a=c，从而可得 等边三角形，从而可求得 值 【解答】 解：（ ）由 2B=A+C， A+B+C=180，解得 B=60， ； 6 分 （ ）（解法一） 第 17 页（共 23 页） 由已知 b2=据正弦定理得 又 ， 12 分 （解法二） 由已知 b2= ， 根据余弦定理 解得 a=c， B=A=C=60， 12 分 24甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示 （ ）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更保险，请说明理由； （ ）用简单随机抽样方法从甲的这 5 次测试成绩中抽取 2 次，它们的 得分组成一个样本，求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 2 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 【分析】 （ ）计算甲乙的平均数与方差，即可得出结论 （ ）用列举法求得从甲的这 5 次测试成绩中抽取 2 次，全部可能的基本结果有 10 个，而所求事件包括 2 个基本事件，由此求得所求事件的概率 【解答】 解：（ ） = = = =x 甲 = （ 74 2+（ 85 2+（ 86 2+（ 90 2+（ 93 2= = （ 76 2+（ 83 2+（ 85 2+（ 87 2+（ 97 2= ， 甲的水平更稳定，所以派甲去； （ ）取得的样本情况为：（ 74， 85），（ 74， 86），（ 74， 90），（ 74， 93），（ 85， 86），（ 85，90） （ 85， 93），（ 86， 90），（ 86， 93），（ 90， 93） 样本平均数分别为： 80， 82， 89， 88， 总体平均数 离不超过 2 的有 个，故 P= = 第 18 页（共 23 页） 25如图三棱柱 ，每个侧面都是正方形， D 为底边 点， E 为侧棱 于点 O （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）说明三棱柱为正三棱柱，连结 明 用直线与平面平行的判定定理证明 平面 （ ）证明 平面 过平面与平面垂直的判定定 理证明平面 平面 【解答】 证明：（ ） 棱柱的每个侧面为正方形， 底面 三棱柱为正三棱柱， 连结 D 为 点， O 为对面线 点， 又 E 为 点， 平行四边形， 又 面 面 平面 （ ） C= 又直棱柱侧面 底面 平面 由（ ） 又正方形中， 1B=O， 面 平面 又 面 平面 平面 26已知椭圆的一个顶点为 A（ 0， 1），焦点在 x 轴上若右焦点到直线 x y+2 =0 的距离为 3 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设椭圆与直线 y=kx+m（ k 0）相交于不同的两点 M、 N当 |，求 m 的取值范围 【考点】 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题 第 19 页（共 23 页） 【分析】 （ 1）依题意可设椭圆方程为 ，由题设 解得 ，故所求椭圆的方程为 （ 2）设 P 为弦 中点，由 得（ 3） （ 1） =0，由于直线与椭圆有两个交点， 0，即 3由此可推导出 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）依题意可设椭圆方程为 ， 则右焦点 F（ ）由题设 解得 故所求椭圆的方程为 ； （ 2）设 P 为弦 中点，由 得（ 3） （ 1） =0 由于直线与椭圆有两个交点， 0，即 3 从而 又 | 则 即 2m=3 把 代入 得 2m 得 0 m 2 由 得 解得 故所求 m 的取范围是（ ） 27设函数 f（ x） = 2x， a R （ ）当 a=1 时，试求函数 f（ x）在区间 1， e上的最大值； （ ）当 a 0 时，试求函数 f（ x）的单调区间 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）函数 f（ x）的定义域为（ 0， +），求导函数，确定函数 f（ x）在区间 1， e上单调递增； 第 20 页（共 23 页） （ ）求导函数，再分类讨论分 a=0、 a 1、 0 a 1，研究函数的单调区间 【解答】 解：（ ）函数 f（ x）的定义域为（ 0， +） 当 a=1 时， f（ x） =1 2x，因为 ， 所以函数 f（ x）在区间 1， e上单调递增，则当 x=e 时，函数 f（ x）取得最大值 f（ e） =1+ 2e （ ）求导函数，可得